دالة شور

في الرياضيات ، وخاصة في مجال نظرية التمثيل ، تُعرف دوال شور (نسبةً إلى إسحاق شور ) بأنها دوال معينة من فئة الوحدات النمطية على حلقة تبديلية ثابتة إلى نفسها. وهي تُعمم بناء القوى الخارجية والقوى المتناظرة لفضاء متجهي . تُفهرس دوال شور بواسطة مخططات يونغ بحيث يُقابل المخطط الأفقي ذو n خلية دالة القوة المتناظرة رقم n ، ويُقابل المخطط الرأسي ذو n خلية دالة القوة الخارجية رقم n . إذا كان الفضاء المتجهي V تمثيلاً لمجموعة G ، فإن${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }V}$كما أن له تأثيرًا طبيعيًا من النوع G لأي دالة شور${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(-)}$.

تُفهرس دوال شور بواسطة التقسيمات ، ويتم وصفها كما يلي: ليكن R حلقة تبديلية، وE وحدة نمطية على R ، و λ تقسيمًا لعدد صحيح موجب n . ليكن T جدول يونغ ذو شكل λ ، وبالتالي يُفهرس عوامل الضرب المباشر من الرتبة n ، E × E × ... × E ، بمربعات T. لنعتبر هذه التطبيقات لوحدات R النمطية .${\displaystyle \varphi :E^{\times n}\to M}$استيفاء الشروط التالية

1. ${\displaystyle \varphi }$متعدد الخطوط،
2. ${\displaystyle \varphi }$يتناوب في المدخلات المفهرسة بواسطة كل عمود من T ،
3. ${\displaystyle \varphi }$يستوفي شرط التبادل الذي ينص على أنه إذا${\displaystyle I\subset \{1,2,\dots ,n\}}$إذا كانت الأرقام من العمود i من الجدول T ، فإن

${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{x'}\varphi (x')}$

حيث يكون المجموع على n من المجموعات المرتبة x ′ التي تم الحصول عليها من x عن طريق تبديل العناصر المفهرسة بواسطة I مع أي${\displaystyle |I|}$العناصر المفهرسة بالأرقام الموجودة في العمود${\displaystyle i-1}$(بالترتيب).

الوحدة النمطية R العالمية${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }E}$وهذا يمتد${\displaystyle \varphi }$إلى خريطة لوحدات R${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M}$هي صورة E تحت دالة شور المفهرسة بواسطة λ .

كمثال على الشرط (3) الموضوع على${\displaystyle \varphi }$ لنفترض أن λ هو التقسيم${\displaystyle (2,2,1)}$ويتم ترقيم الجدول T بحيث تكون مدخلاته 1، 2، 3، 4، 5 عند قراءته من أعلى إلى أسفل (من اليسار إلى اليمين).${\displaystyle I=\{4,5\}}$(أي الأرقام الموجودة في العمود الثاني من T ) لدينا

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}),}$

بينما إذا${\displaystyle I=\{5\}}$ثم

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3},x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{2},x_{5},x_{4},x_{3}).}$

لنفترض فضاءً متجهيًا V على حقل ذي خاصية صفرية. نحدد التقسيمات ومخططات يونغ المقابلة لها. تنطبق الأوصاف التالية: ^{[ 1 ]}

• بالنسبة للقسم α = ( n ) دالة Schur S ^lect ( V ) = Sym ⁿ ( V ).
• بالنسبة للتقسيم λ = (1، ...، 1) (مكرر n مرة) دالة شور S ^λ ( V ) = Λ ⁿ ( V ).
• بالنسبة للتقسيم λ = (2, 1) فإن دالة شور S ^λ ( V ) هي النواة المشتركة لخريطة الضرب المشترك للقوى الخارجية Λ ³ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ V .
• بالنسبة للتقسيم λ = (2, 2)، فإن دالة شور Sλ ( V ) هي خارج قسمة Λ² ⁽ V ) ⊗ Λ² ⁽ V ) على صورتين لدالتين. الأولى هي التركيب Λ³ ⁽ V ⁾ ⊗ V → Λ² ⁽ V ) ⊗ V ⊗ V → Λ² ⁽ V ) ⊗ Λ² ⁽ V ) ، حيث الدالة الأولى هي الضرب المشترك على طول الإحداثي الأول. أما الدالة الأخرى فهي الضرب المشترك Λ⁴ ⁽ V ) → Λ² ⁽ V ) ⊗ Λ² ⁽ V ) .
• بالنسبة للتقسيم λ = ( n , 1, ..., 1 )، مع تكرار 1 m مرة، فإن دالة شور S ^λ ( V ) هي خارج قسمة Λ ⁿ ( V ) ⊗ Sym ^m ( V ) على صورة تركيب الضرب المشترك في القوى الخارجية والضرب في القوى المتناظرة:

  ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m}(V)}$

ليكن V فضاءً متجهيًا معقدًا ذو بُعد k . وهو تمثيلٌ منطقيٌّ لمجموعة التشاكلات الذاتية GL( V ). إذا كان λ مخططًا لا يحتوي كل صف فيه على أكثر من k خلية، فإن Sλ ⁽ V ) هو تمثيلٌ غير قابل للاختزال لـ GL( V ) ذي أعلى وزن λ . في الواقع، أي تمثيلٍ كسريٍّ لـ GL( V ) متماثلٌ مع مجموعٍ مباشرٍ لتمثيلاتٍ من الشكل Sλ ⁽ V ) ⊗ det( V ) ^{⊗ m} ، حيث λ مخطط يونغ يكون كل صف فيه أقصر من k ، و m أي عدد صحيح (قد يكون سالبًا).

في هذا السياق ، تنص ثنائية شور-ويل على أن وحدة GL( V )

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^{\lambda }}}$

أين${\displaystyle f^{\lambda }}$يمثل عدد الجداول القياسية للشباب ذات الشكل λ . وبشكل أعم، لدينا تحليل حاصل الضرب الموتري كما يلي:${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\times {\mathfrak {S}}_{n}}$-وحدة ثنائية

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatorname {Specht} (\lambda )}$

أين${\displaystyle \operatorname {Specht} (\lambda )}$وحدة سبيشت المفهرسة بواسطة λ . يمكن أيضًا استخدام دوال شور لوصف حلقة الإحداثيات لأنواع معينة من الأعلام .

بالنسبة لمخططي يونغ λ و μ، نعتبر تركيب دوال شور المناظرة Sλ ⁽ Sμ ⁽ −)). يُسمى هذا التركيب بتعددية λ و μ . من النظرية العامة، من المعروف ^{[ 1 ]} أنه، على الأقل بالنسبة للفضاءات المتجهة فوق حقل مميز صفري، فإن التعددية متماثلة مع مجموع مباشر لدوال شور. تبقى مسألة تحديد مخططات يونغ التي تظهر في هذا الوصف وكيفية حساب تعدديةها مفتوحة، باستثناء بعض الحالات الخاصة مثل Symm ⁽ Sym2 ( ^V ) ).

• شاب متناظر
• متعددة حدود شور
• قاعدة ليتلوود-ريتشاردسون
• دالة متعددة الحدود

• دوال شور | مقهى الفئات المتعددة