الفرق بين مربعين

إن إثبات متطابقة التحليل إلى عوامل أولية أمرٌ مباشر. بدءًا من الطرف الأيمن ، نطبق قانون التوزيع لنحصل على $${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$ بحسب قانون التبادل ، فإن الحدين الأوسطين يلغيان بعضهما البعض: $${\displaystyle ba-ab=0}$$ مغادرة ^{[ 1 ]}$${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}.}$$ تُعدّ المتطابقة الناتجة من أكثر المتطابقات استخدامًا في الرياضيات. ومن بين استخداماتها العديدة، أنها تُقدّم برهانًا بسيطًا لمتباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي في متغيرين.

لا يقتصر البرهان على الأعداد فحسب، بل ينطبق أيضًا على عناصر أي حلقة تبديلية . وبالعكس، إذا تحققت هذه المتطابقة في حلقة R لجميع أزواج العناصر a و b ، فإن R تكون تبديلية. ولإثبات ذلك، نطبق قانون التوزيع على الطرف الأيمن من المعادلة فنحصل على $${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$ لكي يكون هذا مساوياً لـ${\displaystyle \textstyle a^{2}-b^{2}}$، يجب أن يكون لدينا $${\displaystyle ba-ab=0}$$ لكل الأزواج a و b ، لذا فإن R تبادلية.

يمكن أيضًا توضيح الفرق بين مربعين هندسيًا على أنه الفرق بين مساحتي مربعين في مستوى واحد . في الرسم التوضيحي، يمثل الجزء المظلل الفرق بين مساحتي المربعين، أي${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$يمكن إيجاد مساحة الجزء المظلل عن طريق جمع مساحتي المستطيلين؛${\displaystyle a(ab)+b(ab)}$، والتي يمكن تحليلها إلى${\displaystyle (a+b)(ab)}$. لذلك،${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$.

يُجرى برهان هندسي آخر على النحو التالي. نبدأ بالشكل الموضح في الرسم التخطيطي الأول أدناه، وهو مربع كبير أُزيل منه مربع أصغر. طول ضلع المربع الكامل هو a، وطول ضلع المربع الصغير المُزال هو b؛ وبالتالي، فإن مساحة المنطقة المظللة هي${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$يتم إجراء قطع يقسم المنطقة إلى قطعتين مستطيلتين، كما هو موضح في الرسم التخطيطي الثاني. القطعة الأكبر، في الأعلى، عرضها a وارتفاعها ab. أما القطعة الأصغر، في الأسفل، فعرضها ab وارتفاعها b. الآن، يمكن فصل القطعة الأصغر وتدويرها ووضعها على يمين القطعة الأكبر. في هذا الترتيب الجديد، الموضح في الرسم التخطيطي الأخير أدناه، تشكل القطعتان معًا مستطيلًا عرضه${\displaystyle a+b}$وطوله${\displaystyle ab}$مساحة هذا المستطيل هي${\displaystyle (a+b)(ab)}$بما أن هذا المستطيل ناتج عن إعادة ترتيب الشكل الأصلي، فلا بد أن تكون مساحته مساوية لمساحة الشكل الأصلي. لذلك،${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$[ ^{2 ]​}

يمكن استخدام صيغة الفرق بين مربعين لتحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على مربع كمية أولى مطروحًا منه مربع كمية ثانية. على سبيل المثال، كثيرة الحدود${\displaystyle x^{4}-1}$يمكن تحليلها على النحو التالي:

$${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1).}$$

كمثال ثانٍ، الحدّان الأولان من${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy}$يمكن اعتبارها عاملاً${\displaystyle (x+y)(xy)}$إذن لدينا: $${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy=(x+y)(xy)+xy=(xy)(x+y+1).}$$ علاوة على ذلك، يمكن استخدام هذه الصيغة أيضًا لتبسيط التعبيرات: $${\displaystyle (a+b)^{2}-(ab)^{2}=(a+b+ab)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab.}$$

يمكن استخدام الفرق بين مربعين لإيجاد العوامل الخطية لمجموع مربعين، باستخدام معاملات الأعداد المركبة .

على سبيل المثال، الجذور المعقدة لـ${\displaystyle z^{2}+4}$يمكن إيجادها عن طريق إدخال عامل من${\displaystyle -i^{2}=1}$وباستخدام الفرق بين مربعين:

$${\displaystyle {\begin{align}z^{2}+4&=z^{2}-4i^{2}\\&=z^{2}-(2i)^{2}\\&=(z+2i)(z-2i).\\\end{محاذاة}}}$$

لذلك، فإن العوامل الخطية هي${\displaystyle (z+2i)}$و${\displaystyle (z-2i)}$.

بما أن العاملين الناتجين بهذه الطريقة هما عددان مركبان مترافقان ، فيمكننا استخدام هذه الطريقة عكسياً لضرب عدد مركب والحصول على عدد حقيقي. وتُستخدم هذه الطريقة للحصول على مقامات حقيقية في الكسور المركبة. ^{[ 3 ]}

يمكن أيضًا استخدام الفرق بين مربعين، بشكل عكسي، في ترشيد المقامات غير النسبية . ^{[ 4 ]} هذه طريقة لإزالة الجذور الصماء من التعبيرات (أو على الأقل نقلها)، وهي قابلة للتطبيق على القسمة على بعض التركيبات التي تتضمن جذورًا تربيعية .

على سبيل المثال، مقام الكسر${\displaystyle {\frac {5}{4+{\sqrt {3}}}}}$يمكن تبرير ذلك على النحو التالي:

$$\begin{aligned}{\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}&={\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}\times {\dfrac {4-{\sqrt {3}}}{4-{\sqrt {3}}}}\\[10mu]&={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{4^{2}-{\sqrt {3}}^{2}}}={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{16-3}}={\frac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{13}}.\end{aligned}}}$$

هنا، المقام غير النسبي${\displaystyle 4+{\sqrt {3}}}$تم ترشيدها إلى${\displaystyle 13}$.

يمكن استخدام الفرق بين مربعين كطريقة مختصرة في العمليات الحسابية. إذا كان متوسط ​​عددين قابلاً للتربيع بسهولة، فيمكن إعادة كتابة حاصل ضربهما على شكل الفرق بين مربعين. على سبيل المثال: $${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=891.}$$

الفرق بين مربعين كاملين متتاليين يساوي مجموع الأساسين n و n + 1. ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{2}-n^{2}&=((n+1)+n)((n+1)-n)\\[5mu]&=2n+1.\end{aligned}}}$$

لذا، فإن الفرق بين مربعين كاملين متتاليين هو عدد فردي. وبالمثل، يُحسب الفرق بين أي مربعين كاملين كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+k)^{2}-n^{2}&=((n+k)+n)((n+k)-n)\\[5mu]&=k(2n+k).\end{aligned}}}$$

لذلك، فإن الفرق بين مربعين كاملين زوجيين هو من مضاعفات العدد 4 ، والفرق بين مربعين كاملين فرديين هو من مضاعفات العدد 8 .

ينص قانون غاليليو للأعداد الفردية ، وهو امتداد لقانون الفرق بين مربعي عددين متتاليين، على أن المسافة التي يقطعها جسم يسقط دون مقاومة تحت تأثير الجاذبية الأرضية المنتظمة في فترات زمنية متساوية متتالية تتناسب طرديًا مع الأعداد الفردية. أي أنه إذا قطع جسم ساقط من السكون مسافة معينة خلال فترة زمنية محددة، فإنه سيقطع 3 ، 5 ، 7 ، وهكذا، أضعاف تلك المسافة في الفترات الزمنية اللاحقة التي لها نفس الطول.

من معادلة التسارع الخطي المنتظم، المسافة المقطوعة $${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$ للسرعة الابتدائية${\displaystyle u=0,}$تسارع ثابت${\displaystyle a}$(التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية بدون مقاومة الهواء)، والوقت المنقضي${\displaystyle t,}$ويترتب على ذلك أن المسافة${\displaystyle s}$يتناسب مع${\displaystyle t^{2}}$(بالرموز،${\displaystyle s\propto t^{2}}$وبالتالي، فإن المسافة من نقطة البداية هي مربعات متتالية لقيم صحيحة للوقت المنقضي. ^{[ 5 ]}

تستخدم العديد من الخوارزميات في نظرية الأعداد وعلم التشفير فرق المربعات لإيجاد عوامل الأعداد الصحيحة والكشف عن الأعداد المركبة. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك طريقة فيرما للتحليل إلى عوامل ، والتي تأخذ في الاعتبار متتالية الأعداد.${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$، ل${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$إذا كان أحد${\displaystyle x_{i}}$يساوي مربعًا كاملًا${\displaystyle b^{2}}$، ثم${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$هو تحليل (قد يكون غير تافه) لـ${\displaystyle N}$.

يمكن تعميم هذه الحيلة على النحو التالي. إذا${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$تعديل${\displaystyle N}$و${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$تعديل${\displaystyle N}$، ثم${\displaystyle N}$وهو مركب ذو عوامل غير تافهة${\displaystyle \gcd(ab,N)}$و${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$يشكل هذا أساس العديد من خوارزميات التحليل (مثل المنخل التربيعي ) ويمكن دمجه مع اختبار فيرما الأولي لإعطاء اختبار ميلر-رابين الأولي الأقوى .

إذا كان a و b عنصرين من حلقة تبديلية، فإن ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}$$

يبدو العامل الثاني مشابهاً لتوسيع ذي الحدين لـ${\displaystyle (a+b)^{n-1}}$باستثناء أنها لا تتضمن معاملات ذات الحدين .${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$⁠ .