التقاطع (نظرية المجموعات)

في نظرية المجموعات ، تقاطع مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle A\cap B,}$^{[ 1 ]} هي المجموعة التي تحتوي على جميع عناصر${\displaystyle A}$التي تنتمي أيضًا إلى${\displaystyle B}$أو ما يعادل ذلك، جميع عناصر${\displaystyle B}$التي تنتمي أيضًا إلى${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]} تم تعميممفهوم التقاطع كعمليةجبريةمع مجموعات كمعاملاتالهندسة، حيث يتممواجهتهفي حالة المجموعات الهندسية منالنقاط، مثل النقاط الفردية والخطوط (مجموعات لا نهائية غير قابلة للعدمن النقاط) والمستويات وما إلى ذلك.

يُكتب التقاطع باستخدام الرمز "${\displaystyle \cap }$" بين المصطلحات؛ أي في تدوين الوسط . على سبيل المثال: $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ يمكن كتابة تقاطع أكثر من مجموعتين (التقاطع المعمم) على النحو التالي: $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$ وهو ما يشبه تدوين سيجما الكبيرة .

للحصول على شرح للرموز المستخدمة في هذه المقالة، يرجى الرجوع إلى جدول الرموز الرياضية .

تقاطع مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle A\cap B}$[ ^{3 ]} هي مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى كلتا ^{المجموعتين}${\displaystyle A}$و${\displaystyle B.}$ بالرموز: $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

إنه،${\displaystyle x}$هو عنصر من عناصر التقاطع${\displaystyle A\cap B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$وهو عنصر من${\displaystyle A}$وعنصر من${\displaystyle B.}$^{[ 3 ]}

على سبيل المثال:

• تقاطع المجموعتين {1، 2، 3} و {2، 3، 4} هو {2، 3}.
• إن العدد 9 ليس في تقاطع مجموعة الأعداد الأولية {2، 3، 5، 7، 11، ...} ومجموعة الأعداد الفردية {1، 3، 5، 7، 9، 11، ...}، لأن 9 ليس عددًا أوليًا.
• إن تقاطع مجموعتين هندسيتين من النقاط مثل خطين هو مجموعة أحادية من نقطة واحدة للخطوط غير المتوازية المتميزة في نفس المستوى.

التقاطع الثنائي هو عملية تجميعية ؛ أي أنه لأي مجموعات${\displaystyle A,B,}$و${\displaystyle C,}$يمتلك المرء

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$وبالتالي، يمكن حذف الأقواس دون أي لبس: يمكن كتابة أي من العبارتين أعلاه على النحو التالي${\displaystyle A\cap B\cap C}$التقاطع أيضًا تبادلي . أي أنه لأي${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$يمتلك المرء$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$ ينتج عن تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الفارغة المجموعة الفارغة؛ أي أنه لأي مجموعة${\displaystyle A}$، $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ كذلك، فإن عملية التقاطع هي عملية متطابقة ؛ أي أن أي مجموعة${\displaystyle A}$يفي بذلك${\displaystyle A\cap A=A}$جميع هذه الخصائص تنبع من حقائق مماثلة حول الاقتران المنطقي .

يتوزع التقاطع على الاتحاد ، ويتوزع الاتحاد على التقاطع. أي، بالنسبة لأي مجموعات${\displaystyle A,B,}$و${\displaystyle C,}$يمتلك المرء $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ داخل الكون${\displaystyle U,}$يمكن تعريف المكمل${\displaystyle A^{c}}$ل${\displaystyle A}$أن تكون مجموعة جميع عناصر${\displaystyle U}$ليس في${\displaystyle A.}$علاوة على ذلك، فإن تقاطع${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يمكن كتابتها على أنها مكمل لاتحاد مكملاتها ، وهو ما يُستمد بسهولة من قوانين دي مورغان :$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

المفهوم الأكثر عمومية هو تقاطع مجموعة غير فارغة من المجموعات. إذا${\displaystyle M}$إذا كانت مجموعة غير فارغة وعناصرها عبارة عن مجموعات، فإن${\displaystyle x}$هو عنصر من عناصر تقاطع${\displaystyle M}$إذا وفقط إذا كان لكل عنصر${\displaystyle A}$ل${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle A.}$ بالرموز: $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

قد تختلف الرموز المستخدمة لهذا المفهوم الأخير اختلافًا كبيرًا. يكتب علماء نظرية المجموعات أحيانًا "${\displaystyle \bigcap M}$بينما سيكتب آخرون بدلاً من ذلك "${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ويمكن تعميم هذه الصيغة الأخيرة إلى "${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$"، وهو ما يشير إلى تقاطع المجموعة${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ هنا${\displaystyle I}$هي مجموعة غير فارغة، و${\displaystyle A_{i}}$مجموعة لكل${\displaystyle i\in I.}$

في حالة مجموعة الفهرس${\displaystyle I}$هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، ويمكن رؤية تدوين مماثل لتدوين الضرب اللانهائي :$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

عندما يكون التنسيق صعباً، يمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي:${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$". هذا المثال الأخير، وهو تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات، شائع جدًا في الواقع؛ للحصول على مثال، انظر المقالة حول جبر سيجما .

في القسم السابق، استبعدنا الحالة التي${\displaystyle M}$كانت المجموعة الفارغة (${\displaystyle \varnothing }$والسبب هو كالتالي: تقاطع المجموعة${\displaystyle M}$يُعرَّف بأنه المجموعة (انظر تدوين بناء المجموعة ) $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ لو${\displaystyle M}$فارغ، لا توجد مجموعات${\displaystyle A}$في${\displaystyle M,}$وبذلك يصبح السؤال "أي${\displaystyle x}$" هل تفي بالشرط المذكور؟" يبدو أن الإجابة هي كل ما هو ممكن${\displaystyle x}$. متى${\displaystyle M}$إذا كانت المجموعة فارغة، فإن الشرط المذكور أعلاه يُعد مثالاً على حقيقة فارغة . لذا، ينبغي أن يكون تقاطع المجموعة الفارغة هو المجموعة الشاملة ( العنصر المحايد لعملية التقاطع)، ^{[ 4 ]} ولكن في نظرية المجموعات القياسية ( ZF )، لا توجد المجموعة الشاملة.

لكن عند حصرها في سياق المجموعات الفرعية لمجموعة ثابتة معينة${\displaystyle X}$مفهوم تقاطع مجموعة فارغة من المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$محدد جيدًا. في هذه الحالة، إذا${\displaystyle M}$إذا كانت فارغة، فإن تقاطعها هو${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$بما أن الجميع${\displaystyle x\in X}$تحقق بشكل فارغ الشرط المطلوب، وهو تقاطع المجموعة الفارغة من المجموعات الجزئية لـ${\displaystyle X}$هو كل شيء${\displaystyle X.}$ في الصيغ،${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$ يتوافق هذا مع الحدس القائل بأنه كلما صغرت مجموعات المجموعات الفرعية، زادت تقاطعاتها؛ في الحالة القصوى، يكون للمجموعة الفارغة تقاطع يساوي المجموعة الأساسية بأكملها.

كذلك، في نظرية الأنواع${\displaystyle x}$هو من نوع محدد${\displaystyle \tau ,}$لذا يُفهم أن التقاطع من النوع${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$(نوع المجموعات التي تكون عناصرها في${\displaystyle \tau }$ويمكننا تعريف${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$أن تكون المجموعة الشاملة لـ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$(المجموعة التي تتكون عناصرها من جميع المصطلحات من النوع${\displaystyle \tau }$).

• جبر المجموعات – الهويات والعلاقات التي تتضمن المجموعات 
• العددية - حجم المجموعة في الرياضيات 
• المتممة - مجموعة العناصر غير الموجودة في مجموعة جزئية معينة 
• التقاطع (الهندسة الإقليدية) - شكل يتكون من نقاط مشتركة بين أشكال أخرى. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• رسم بياني للتقاطع – رسم بياني يمثل التقاطعات بين مجموعات معطاة 
• نظرية التقاطع – فرع من فروع الهندسة الجبرية 
• قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها – معادلات لتراكيب المجموعات 
• العطف المنطقي – الرابط المنطقي و 
• MinHash – تقنية استخراج البيانات 
• نظرية المجموعات البسيطة – نظريات المجموعات غير الرسمية 
• الفرق المتناظر – العناصر الموجودة في مجموعة واحدة فقط من المجموعتين 
• الاتحاد - مجموعة من العناصر في أي من بعض المجموعات 

• ديفلين، كيه جيه (1993). متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-94094-4.
• مونكرز، جيمس ر. (2000). "نظرية المجموعات والمنطق". الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر: برنتيس هول. ISBN 0-13-181629-2.
• روزن، كينيث (2007). "البنى الأساسية: المجموعات، والدوال، والمتتاليات، والمجاميع". الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها (  الطبعة السادسة). بوسطن: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-322972-0.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "التقاطع" . عالم الرياضيات .