تاريخ مفهوم الوظيفة

في المجلد الأول من نصه الأساسي " مقدمة في التحليل اللانهائي" ، الذي نُشر عام 1748، قدم أويلر تعريفًا للدالة مطابقًا تقريبًا لتعريف أستاذه برنولي، باعتبارها تعبيرًا أو صيغة تتضمن متغيرات وثوابت، على سبيل المثال.${\displaystyle {x^{2}+3x+2}}$[ ^{14 ]} تعريف أويلر نفسه هو ^:

الدالة ذات الكمية المتغيرة هي تعبير تحليلي يتكون بأي شكل من الأشكال من الكمية المتغيرة وأعداد أو كميات ثابتة. ^{[ 15 ]}

كما سمح أويلر بالدوال متعددة القيم التي يتم تحديد قيمها بواسطة معادلة ضمنية.

لكن في عام 1755، قدم أويلر في كتابه "Institutiones calculi differentialis " مفهومًا أكثر عمومية للدالة:

عندما تعتمد بعض الكميات على كميات أخرى بحيث تتغير بتغير الكميات الأخرى، تُسمى الكميات الأولى دوالًا للكميات الثانية. وهذا المصطلح واسع النطاق للغاية؛ إذ يشمل جميع الطرق التي يمكن من خلالها تحديد كمية ما بدلالة كميات أخرى. ^{[ 16 ]}

يرى ميدفيديف ^{[ 17 ]} أن "هذا هو التعريف الذي أصبح يُعرف بتعريف ديريشليه". كما ينسب إدواردز ^{[ 18 ]} إلى أويلر مفهومًا عامًا للدالة، ويقول أيضًا إن

لا يُنظر إلى العلاقات بين هذه الكميات على أنها معطاة بصيغ، ولكن من ناحية أخرى، من المؤكد أنها لا تُعتبر من النوع العام لمجموعات نظرية المجموعات، التي تسمح بكل شيء، من فضاءات المنتج التي يقصدها علماء الرياضيات المعاصرون عندما يستخدمون كلمة "دالة".

في كتابه "النظرية التحليلية للحرارة " ^{[ 19 ]} ، ادعى جوزيف فورييه أنه يمكن تمثيل أي دالة بمتسلسلة فورييه . ^{[ 20 ]} كان لدى فورييه مفهوم عام للدالة، يشمل الدوال غير المتصلة وغير المعرفة بتعبير تحليلي. ^{[ 21 ]} وقد كانت المسائل المتعلقة بطبيعة الدوال وتمثيلها، والناشئة عن حل معادلة الموجة لوتر مهتز، موضع جدل بين جان لو رون دالمبير وأويلر، وكان لها أثر كبير في تعميم مفهوم الدالة. ويلاحظ لوزين ما يلي:

إن الفهم الحديث للدالة وتعريفها، الذي يبدو لنا صحيحًا، لم يتبلور إلا بعد اكتشاف فورييه. فقد أظهر اكتشافه بوضوح أن معظم سوء الفهم الذي نشأ في النقاش حول الوتر المهتز كان نتيجة الخلط بين مفهومين يبدوان متطابقين ظاهريًا، ولكنهما في الواقع مختلفان اختلافًا كبيرًا، وهما مفهوم الدالة ومفهوم تمثيلها التحليلي. في الواقع، قبل اكتشاف فورييه، لم يكن هناك تمييز بين مفهومي "الدالة" و"التمثيل التحليلي"، وكان هذا الاكتشاف هو الذي أدى إلى فصلهما. ^{[ 22 ]}

خلال القرن التاسع عشر، بدأ علماء الرياضيات في صياغة فروع الرياضيات المختلفة بشكل رسمي. وكان أوغستين لويس كوشي من أوائل من فعلوا ذلك ؛ وقد صُقلت نتائجه، التي كانت غير دقيقة إلى حد ما، لاحقًا بشكل كامل على يد فايرشتراس، الذي دعا إلى بناء حساب التفاضل والتكامل على الحساب بدلاً من الهندسة ، مما رجّح تعريف أويلر على تعريف لايبنتز (انظر: حسابية التحليل ). ووفقًا لسميثيز، فقد اعتبر كوشي الدوال مُعرّفة بمعادلات تتضمن أعدادًا حقيقية أو مركبة ، وافترض ضمنيًا أنها متصلة.

يُقدّم كوشي بعض الملاحظات العامة حول الدوال في الفصل الأول، القسم الأول من كتابه " التحليل الجبري" (1821). ويتضح مما ذكره هناك أنه يعتبر الدالة عادةً مُعرّفةً بتعبير تحليلي (إذا كان صريحًا) أو بمعادلة أو نظام معادلات (إذا كان ضمنيًا)؛ ويكمن اختلافه عن أسلافه في استعداده للنظر في إمكانية تعريف الدالة ضمن نطاق محدود من المتغير المستقل. ^{[ 23 ]}

يُنسب تقليديًا إلى نيكولاي لوباتشيفسكي ^{[ 24 ]} وبيتر جوستاف ليجون ديريشليه ^{[ 25 ]} تقديم التعريف "الرسمي" الحديث للدالة بشكل مستقل على أنها علاقة يكون فيها لكل عنصر أول عنصر ثانٍ فريد.

يكتب لوباتشيفسكي (1834) أن

يتطلب المفهوم العام للدالة تعريف دالة لـ x كعدد مُعطى لكل قيمة لـ x ويتغير تدريجيًا مع x . يمكن تحديد قيمة الدالة إما بتعبير تحليلي، أو بشرط يوفر وسيلة لفحص جميع الأعداد واختيار أحدها؛ أو قد يكون الارتباط موجودًا ولكنه يبقى غير معروف. ^{[ 26 ]}

بينما يكتب ديريشليه (1837)

إذا كان لدينا الآن قيمة y محدودة فريدة لكل x ، وعلاوة على ذلك، بحيث عندما تتراوح x بشكل مستمر على الفترة من a إلى b ،${\displaystyle {y=f(x)}}$إذا كانت y تتغير باستمرار، فإنها تُسمى دالة متصلة لـ x في هذه الفترة. ليس من الضروري هنا أن تُعطى y بدلالة x بقانون واحد على امتداد الفترة بأكملها، وليس من الضروري اعتبارها علاقة مُعبر عنها باستخدام العمليات الحسابية. ^{[ 27 ]}

يؤكد إيفز أن "طالب الرياضيات عادة ما يتعرف على تعريف ديريشليه للدالة في دورته التمهيدية في حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 28 ]}

وقد تم الطعن في ادعاء ديريشليه بهذا الشكل الرسمي من قبل إيمري لاكاتوس :

لا يوجد تعريفٌ كهذا في مؤلفات ديريشليه على الإطلاق. ولكن ثمة أدلةٌ وافرةٌ على أنه لم يكن لديه أدنى فكرةٍ عن هذا المفهوم. ففي بحثه المنشور عام 1837، على سبيل المثال، عندما يناقش الدوال المتصلة جزئيًا، يقول إن للدالة قيمتين عند نقاط عدم الاتصال : ... ^{[ 29 ]}

ومع ذلك، يقول غاردينر: "...يبدو لي أن لاكاتوس يبالغ، على سبيل المثال، عندما يؤكد أن "هناك أدلة وافرة على أن [ديريشليه] لم يكن لديه أي فكرة عن مفهوم [الدالة الحديثة]". ^{[ 30 ]} علاوة على ذلك، وكما ذكر أعلاه، يبدو أن ورقة ديريشليه تتضمن تعريفًا على غرار ما يُنسب إليه عادةً، على الرغم من أنه (مثل لوباتشيفسكي) يذكره فقط للدوال المتصلة لمتغير حقيقي.

وبالمثل، يلاحظ لافين ما يلي:

لا يزال هناك جدلٌ حول مدى استحقاق ديريشليه للتعريف الحديث للدالة، ويعود ذلك جزئيًا إلى اقتصاره تعريفه على الدوال المتصلة... أعتقد أن ديريشليه عرّف مفهوم الدالة المتصلة ليؤكد أنه لا حاجة إلى قاعدة أو قانون حتى في حالة الدوال المتصلة، وليس بشكل عام. كان هذا الأمر يستحق تأكيدًا خاصًا نظرًا لتعريف أويلر للدالة المتصلة بأنها دالة تُعطى بتعبير واحد - أو قانون واحد. لكنني أشك أيضًا في وجود أدلة كافية لحسم هذا الجدل. ^{[ 31 ]}

نظرًا لأن لوباتشيفسكي وديريشلي يُعتبران من أوائل من قدموا مفهوم التناظر العشوائي، يُشار إلى هذا المفهوم أحيانًا باسم تعريف ديريشلي أو لوباتشيفسكي-ديريشلي للدالة. ^{[ 32 ]} وقد استخدم بورباكي (1939) نسخة عامة من هذا التعريف لاحقًا ، ويُشير إليه بعض العاملين في المجال التربوي باسم تعريف "ديريشلي-بورباكي" للدالة.

ينسب ديودونيه، الذي كان أحد الأعضاء المؤسسين لمجموعة بورباكي، تعريفًا حديثًا دقيقًا وعامًا للدالة إلى ديديكيند في عمله Was sind und was sollen die Zahlen ، ^{[ 33 ]} الذي ظهر عام 1888 ولكنه كان قد تمت صياغته بالفعل في عام 1878. ويلاحظ ديودونيه أنه بدلاً من أن يقتصر، كما في المفاهيم السابقة، على الدوال الحقيقية (أو المركبة)، فإن ديديكيند يعرف الدالة على أنها تطبيق أحادي القيمة بين أي مجموعتين:

كان الجديد والضروري بالنسبة للرياضيات بأكملها هو المفهوم العام للدالة . ^{[ 34 ]}

عرّف هاردي (1908 ، الصفحات 26-28 ) الدالة بأنها علاقة بين متغيرين x و y بحيث "تُقابل بعض قيم x، على الأقل، قيمًا لـ y ". لم يشترط هاردي تعريف الدالة لجميع قيم x، ولا ربط كل قيمة من قيم x بقيمة واحدة من قيم y . يشمل هذا التعريف الواسع للدالة علاقات أكثر مما يُعتبر عادةً دوالًا في الرياضيات المعاصرة. فعلى سبيل المثال، يتضمن تعريف هاردي الدوال متعددة القيم ، وما يُسمى في نظرية الحوسبة بالدوال الجزئية .  

انصبّ اهتمام علماء المنطق في ذلك الوقت بشكل أساسي على تحليل القياسات المنطقية (بصيغها الأرسطية التي يعود تاريخها إلى ألفي عام، وغيرها)، أو كما وصفها أوغسطس دي مورغان (1847): "دراسة ذلك الجزء من الاستدلال الذي يعتمد على كيفية تكوين الاستدلالات، والبحث في المبادئ والقواعد العامة لبناء الحجج". ^{[ 35 ]} في ذلك الوقت، لم يكن مفهوم "الدالة" (المنطقية) واضحًا، ولكنه كان ضمنيًا على الأقل في أعمال دي مورغان وجورج بول : إذ نرى تجريدًا لأشكال الحجج، وإدخال المتغيرات، وإدخال جبر رمزي فيما يتعلق بهذه المتغيرات، وبعض مفاهيم نظرية المجموعات.

يُشير دي مورغان في كتابه "المنطق الصوري أو حساب الاستدلال الضروري والمحتمل" الصادر عام 1847 إلى أن " الحقيقة المنطقية تعتمد على بنية العبارة ، وليس على الأمور المحددة التي تتحدث عنها"؛ ولا يُضيّع وقتًا (في المقدمة، الصفحة الأولى) في التجريد: "في صيغة القضية، تُجعل الرابطة مجردة مثل المصطلحات". ثم يُحوّل مباشرةً (الصفحة 1) ما يُسميه "القضية" ( الوظيفة أو العلاقة  القضوية في عصرنا الحالي ) إلى صيغة مثل "س هو ص"، حيث تُمثل الرموز س، و"هو"، وص، على التوالي، الموضوع ، والرابطة ، والمسند. على الرغم من أن كلمة "دالة" لا تظهر، إلا أن مفهوم "التجريد" موجود، و"المتغيرات" موجودة، ومفهوم التضمين في رمزيته "كل Δ موجود في O" (ص 9) موجود، وأخيرًا رمزية جديدة للتحليل المنطقي لمفهوم "العلاقة" (يستخدم الكلمة فيما يتعلق بهذا المثال "X)Y" (ص 75)) موجودة:  

"A ₁ X)Y لأخذ X من الضروري أخذ Y" [أو لكي تكون X من الضروري أن تكون Y]

"A ¹ Y)X لأخذ Y يكفي أن تأخذ X" [أو لكي تكون Y يكفي أن تكون X]، إلخ.

في كتابه " طبيعة المنطق" الصادر عام 1848 ، يؤكد بول أن "المنطق... هو، بمعنى أدق، علم الاستدلال بالرموز"، ويناقش بإيجاز مفهومي "الانتماء إلى" و"الفئة": "قد يمتلك الفرد مجموعة كبيرة ومتنوعة من الصفات، وبالتالي ينتمي إلى مجموعة كبيرة ومتنوعة من الفئات المختلفة". ^{[ 36 ]} ومثل دي مورغان، يستخدم مفهوم "المتغير" المستمد من التحليل؛ ويعطي مثالاً على "تمثيل فئة الثيران بالرمز x وفئة الخيول بالرمز y ، ورمز العطف " و" بالرمز +... يمكننا تمثيل الفئة الكلية للثيران والخيول بالرمز x + y ". ^{[ 37 ]}

في سياق "حساب التفاضل والتكامل"، عرّف بول (حوالي عام 1849) مفهوم الدالة على النحو التالي:

«تُسمى الكمية التي يكون تغيرها منتظمًا بالمتغير المستقل. أما الكمية التي يُنسب تغيرها إلى تغير الكمية السابقة فتُسمى دالة لها. يُمكّننا حساب التفاضل والتكامل في كل حالة من الانتقال من الدالة إلى النهاية. ويتم ذلك من خلال عملية معينة. ولكن في جوهر فكرة العملية تكمن فكرة العملية العكسية. إن إجراء تلك العملية العكسية في هذه الحالة هو من اختصاص حساب التكامل.» ^{[ 38 ]}

في كتابه "تحقيق في قوانين الفكر"، عرّف بول الآن الدالة بدلالة الرمز x على النحو التالي:

"8. التعريف. – أي تعبير جبري يتضمن الرمز x يسمى دالة لـ x ، ويمكن تمثيله بالشكل المختصر f ( x )" ^{[ 41 ]}

ثم استخدم بول التعبيرات الجبرية لتعريف المفاهيم الجبرية والمنطقية ، على سبيل المثال، 1 − x هو NOT( x )، و xy هو AND( x , y )، و x + y هو OR( x , y )، و x ( x + y ) هو xx + xy ، و"القانون الخاص" xx = x ² = x . ^{[ 42 ]}

في كتابه "المنطق الرمزي " الصادر عام 1881 ^، استخدم فين مصطلح "الدالة المنطقية" والرموز المعاصرة ( x = f ( y )، y = f⁻¹ ( x )، انظر الصفحة 21) بالإضافة إلى مخططات الدوائر المرتبطة تاريخيًا بفين لوصف "علاقات الفئات"، ^{[ 43 ]} ومفاهيم "تحديد كمية" المسند، و"القضايا من حيث امتدادها"، و"علاقة الاحتواء والاستبعاد بين فئتين"، و"الدالة القضوية" (جميعها في الصفحة 10)، والخط فوق المتغير للدلالة على نفي x (الصفحة 43)، إلخ. في الواقع، ساوى فين بشكل قاطع بين مفهوم "الدالة المنطقية" و"الفئة" [المجموعة الحديثة]: "... وفقًا للرؤية المعتمدة في هذا الكتاب، فإن f ( x ) لا تمثل أبدًا أي شيء سوى فئة منطقية. قد تكون فئة مركبة مُجمّعة من العديد من الفئات البسيطة؛ وقد تكون فئة يُشار إليها بعمليات منطقية عكسية معينة، وقد تتكون من مجموعتين من الفئات متساوية، أو ما هو الشيء نفسه، وهو اعتبار الفرق بينهما مساوياً للصفر، أي معادلة منطقية. ولكن مهما كانت طريقة تركيبها أو اشتقاقها، فإن f ( x ) بالنسبة لنا لن تكون إلا تعبيراً عاماً عن تلك الفئات المنطقية من الأشياء التي قد تجد مكاناً لها في المنطق العادي. ^{[ 44 ]} 

سبق كتاب غوتلوب فريجه " Begriffsschrift " (1879) كتاب جوزيبي بيانو (1889)، لكن بيانو لم يكن على دراية بكتاب فريجه 1879 إلا بعد نشره لكتابه عام 1889. ^{[ 45 ]} وقد أثر الكاتبان بشكل كبير على راسل (1903) . بدوره، أثر راسل على جزء كبير من الرياضيات والمنطق في القرن العشرين من خلال كتابه "Principia Mathematica" (1913) الذي شارك في تأليفه مع ألفريد نورث وايتهيد .

في البداية، يتخلى فريجه عن مفهومي " الموضوع والمسند " التقليديين، ويستبدلهما بمفهومي "الحجة " و "الوظيفة" على التوالي، وهو ما يعتقد أنه "سيصمد أمام اختبار الزمن. من السهل أن نرى كيف يؤدي اعتبار المحتوى وظيفة للحجة إلى تكوين المفاهيم. علاوة على ذلك، فإن إظهار العلاقة بين معاني الكلمات " إذا"، و"و"، و"ليس"، و"أو"، و"يوجد"، و"بعض"، و"كل"، وما إلى ذلك، يستحق الاهتمام". ^{[ 46 ]}

يبدأ فريجه مناقشته لمفهوم "الوظيفة" بمثال: لنبدأ بالعبارة ^{[ 47 ]} "الهيدروجين أخف من ثاني أكسيد الكربون". الآن، احذف رمز الهيدروجين (أي كلمة "هيدروجين") واستبدله برمز الأكسجين (أي كلمة "أكسجين")؛ وهذا يُشكّل عبارة ثانية. كرّر هذه العملية (باستخدام أيٍّ من العبارتين) واستبدل رمز النيتروجين (أي كلمة "نيتروجين")، ولاحظ أن "هذا يُغيّر المعنى بحيث يدخل "الأكسجين" أو "النيتروجين" في العلاقات التي كان "الهيدروجين" يُمثّلها سابقًا". ^{[ 48 ]} إذن، لدينا ثلاث عبارات:

• "الهيدروجين أخف من ثاني أكسيد الكربون."
• "الأكسجين أخف من ثاني أكسيد الكربون."
• "النيتروجين أخف من ثاني أكسيد الكربون."

والآن لاحظ في الثلاثة جميعها "مكونًا ثابتًا، يمثل مجمل العلاقات"؛ ^{[ 49 ]} لنسمي هذا الدالة ، أي

"... أخف من ثاني أكسيد الكربون"، هذه هي الوظيفة.

يُطلق فريجه على وسيط الدالة اسم "الرمز [مثل الهيدروجين أو الأكسجين أو النيتروجين]، الذي يُعتبر قابلاً للاستبدال برموز أخرى، والذي يدل على الكائن الذي تربطه هذه العلاقات". ^{[ 50 ]} ويشير إلى أنه كان بإمكاننا اشتقاق الدالة على النحو التالي: "الهيدروجين أخف من..."، مع وضع الوسيط على اليمين ؛ وقد أشار بيانو إلى هذه الملاحظة تحديدًا (انظر المزيد أدناه). أخيرًا، يسمح فريجه بحالة وجود وسيطين (أو أكثر). على سبيل المثال، يمكن حذف "ثاني أكسيد الكربون" للحصول على الجزء الثابت (الدالة) على النحو التالي:

• "...أخف من ..."

تُعمم دالة فريجه ذات الوسيط الواحد إلى الشكل Φ(A) حيث A هو الوسيط وΦ( ) تمثل الدالة، بينما يرمز لدالة الوسيطين بالرمز Ψ(A, B) حيث A وB هما الوسيطان وΨ( , ) تمثل الدالة، ويحذر من أن "Ψ(A, B) تختلف عمومًا عن Ψ(B, A)". وباستخدام رموزه الفريدة، يترجم للقارئ الرموز التالية:

يمكننا قراءة |--- Φ(A) على النحو التالي: "A لها الخاصية Φ". ويمكن ترجمة |--- Ψ(A, B) على النحو التالي: "B تقع في العلاقة Ψ مع A" أو "B هي نتيجة تطبيق الإجراء Ψ على الكائن A". ^{[ 51 ]}

عرّف بيانو مفهوم "الدالة" بطريقة مشابهة إلى حد ما لفرجه، ولكن دون الدقة نفسها. ^{[ 52 ]} أولًا، عرّف بيانو الرمز "K تعني فئة ، أو مجموعة من الكائنات"، ^{[ 53 ]} التي تحقق كائناتها ثلاثة شروط مساواة بسيطة، ^{[ 54 ]} a = a ، ( a = b ) = ( b = a )، إذا كان (( a = b ) و( b = c )) فإن ( a = c ). ثم قدّم φ، "رمزًا أو مجموعة رموز بحيث إذا كان x كائنًا من الفئة s ، فإن التعبير φx يدل على كائن جديد". أضاف بيانو شرطين على هذه الكائنات الجديدة: أولًا، أن تتحقق شروط المساواة الثلاثة للكائنات φx ؛ ثانيًا، أنه "إذا كان x و y كائنين من الفئة s ، وإذا كان x = y ، نفترض أنه من الممكن استنتاج φx = φy " . ^{[ 55 ]} إذا تحققت جميع هذه الشروط، فإن φ هي "علامة ما قبل الدالة". وبالمثل، يُحدد "علامة ما بعد الدالة". على سبيل المثال، إذا كانت φ هي علامة ما قبل الدالة a +، فإن φ x تُعطي a + x ، أو إذا كانت φ هي علامة ما بعد الدالة + a، فإن x φ تُعطي x + a . ^{[ 54 ]}

على الرغم من أن تأثير كانتور وبيانو كان بالغ الأهمية، ^{[ 56 ]} إلا أن راسل ، في الملحق (أ) بعنوان "المذاهب المنطقية والحسابية لفريجه" من كتاب "مبادئ الرياضيات "، يتطرق إلى مناقشة مفهوم فريجه للدالة ، "...وهي نقطةٌ بالغة الأهمية في عمل فريجه، وتتطلب دراسة متأنية". ^{[ 57 ]} وقد أضاف راسل هذا القسم في اللحظة الأخيرة ردًا على مراسلاته مع فريجه عام 1902 حول التناقض الذي اكتشفه في كتاب فريجه " Begriffsschrift" .

يرى راسل أن المفهوم المُعقّد هو مفهوم المتغير : "6. لا تتميز القضايا الرياضية فقط بكونها تُؤكد على الاستلزام، بل أيضاً باحتوائها على متغيرات . يُعد مفهوم المتغير من أصعب المفاهيم التي يتعامل معها المنطق. في الوقت الراهن، أودّ أن أوضح جلياً وجود متغيرات في جميع القضايا الرياضية، حتى في المواضع التي قد تبدو للوهلة الأولى غائبة عنها... سنجد دائماً، في جميع القضايا الرياضية، أن كلمتي " أي" أو "بعض " تظهران؛ وهاتان الكلمتان هما علامتان على وجود متغير واستلزام صوري". ^{[ 58 ]}

كما أوضح راسل، فإن "عملية تحويل الثوابت في القضية إلى متغيرات تؤدي إلى ما يُسمى بالتعميم، وتمنحنا، إن صح التعبير، الجوهر الشكلي للقضية... طالما أمكن تحويل أي حد في قضيتنا إلى متغير، فإنه يمكن تعميم قضيتنا؛ وطالما كان ذلك ممكنًا، فإن مهمة الرياضيات هي القيام بذلك"؛ ^{[ 59 ]} وقد أطلق راسل على هذه التعميمات اسم الدوال القضية . ^{[ 60 ]} بل إنه يستشهد ويقتبس من كتاب فريجه " ^{Begriffsschrift} " ويقدم مثالًا واضحًا من كتاب فريجه " Function und Begriff" الصادر عام 1891 : أن "جوهر الدالة الحسابية 2x³ + x هو ما يتبقى عند حذف x ، أي في المثال أعلاه 2( x³ + x² ). لا ينتمي الوسيط x إلى الدالة ^، ولكنهما معًا يشكلان الكل". ^{[ 57 ]} اتفق راسل مع مفهوم فريجه عن "الوظيفة" بمعنى واحد: "إنه يعتبر الوظائف - وأنا أتفق معه في ذلك - أكثر جوهرية من المحمولات والعلاقات " ، لكن راسل رفض "نظرية الموضوع والتأكيد" لفريجه، وعلى وجه الخصوص "يعتقد أنه إذا ورد مصطلح a في قضية، فيمكن دائمًا تحليل القضية إلى a وتأكيد حول a ". ^{[ 57 ]}      

واصل راسل تطوير أفكاره في كتابه "المنطق الرياضي" الصادر عام 1908، والذي استند إلى نظرية الأنواع، وفي كتابه "مبادئ الرياضيات" الذي شارك في تأليفه مع وايتهيد بين عامي 1910 و1913 . وبحلول وقت صدور "مبادئ الرياضيات "، كان راسل، مثل فريجه، يعتبر الدالة الافتراضية أساسية: "الدوال الافتراضية هي النوع الأساسي الذي تُشتق منه أنواع الدوال الأكثر شيوعًا، مثل "sin x " أو log x أو "مشتق x ". تُسمى هذه الدوال المشتقة "الدوال الوصفية". دوال القضايا... هي حالة خاصة من الدوال الافتراضية". ^{[ 61 ]}

الدوال الافتراضية : نظرًا لاختلاف مصطلحات راسل عن المصطلحات المعاصرة، قد يجد القارئ صعوبة في فهم "الدالة الافتراضية". قد يساعد مثالٌ في توضيحها. يكتب راسل الدالة الافتراضية بصيغتها الأصلية، على سبيل المثال، φŷ : " ŷ مصاب". (لاحظ علامة التشكيل أو "القبعة" فوق المتغير y ). في مثالنا، سنُسند أربع قيم فقط للمتغير ŷ : "بوب"، "هذا الطائر"، "إميلي الأرنب"، و" y ". استبدال إحدى هذه القيم بالمتغير ŷ يُنتج قضية ؛ تُسمى هذه القضية "قيمة" للدالة الافتراضية. في مثالنا، توجد أربع قيم للدالة الافتراضية، على سبيل المثال، "بوب مصاب"، "هذا الطائر مصاب"، "إميلي الأرنب مصابة"، و" y مصاب". القضية، إذا كانت ذات دلالة - أي إذا كانت صحتها محددة - لها قيمة صدقأو كذب . إذا كانت قيمة الصدق لقضية ماهي "الصدق"، يُقال إن قيمة المتغير تحقق دالة القضية. وأخيرًا، وفقًا لتعريف راسل، " الفئة [المجموعة] هي جميع العناصر التي تحقق دالة قضية ما" (ص٢٣). لاحظ كلمة "جميع" - من هنا تدخل المفاهيم المعاصرة "لكل" و"يوجد على الأقل مثال واحد" في هذا السياق (ص١٥).  

استكمالاً للمثال: لنفترض (من خارج نطاق الرياضيات/المنطق) أننا حددنا أن العبارة "بوب مصاب" تحمل قيمة صدق "خطأ"، وأن العبارة "هذا الطائر مصاب" تحمل قيمة صدق "صدق"، وأن العبارة "إيميلي الأرنب مصابة" تحمل قيمة صدق غير محددة لأن "إيميلي الأرنب" غير موجودة، وأن العبارة " ص مصاب" غامضة من حيث قيمة صدقها لأن المتغير ص نفسه غامض. في حين أن العبارتين "بوب مصاب" و"هذا الطائر مصاب" لهما دلالة (لكل منهما قيمة صدق)، فإن قيمة "هذا الطائر" للمتغير ص هي فقط التي تحقق الدالة المنطقية φص : " ص مصاب". عندما يذهب المرء لتشكيل الفئة α: φŷ : " ŷ مصاب"، يتم تضمين "هذا الطائر" فقط، بالنظر إلى القيم الأربع "بوب"، "هذا الطائر"، "إميلي الأرنب" و" y " للمتغير ŷ وقيم الصدق الخاصة بها: الكذب، الصدق، غير محدد، غامض.

يُعرّف راسل دوال القضايا ذات الوسائط ، ودوال الصدق f ( p) . ^{[ 62 ]} على سبيل المثال، لنفترض أننا نُكوّن "دالة القضايا ذات الوسائط" p1 : "NOT( p ) AND q " ونُسند لمتغيراتها القيمتين _p : "بوب مصاب" و q : "هذا الطائر مصاب". (نحن مُقيدون بالروابط المنطقية NOT وAND وOR وIMPLIES، ولا يُمكننا إسناد سوى قضايا "مهمة" للمتغيرين p و q ). عندئذٍ ، تكون "دالة القضايا ذات الوسائط" هي p1 : NOT("بوب مصاب") AND "هذا الطائر مصاب". لتحديد قيمة الصدق لهذه "الدالة"، نُخضعها لـ"دالة صدق"، مثل _f ( p1 ) _: f ( NOT("بوب مصاب") AND "هذا الطائر مصاب")، والتي تُعطي قيمة صدق "truth".

مفهوم العلاقة الوظيفية "متعددة-واحد" : يناقش راسل أولاً مفهوم "الهوية"، ثم يُعرّف دالة وصفية (الصفحات 30 وما بعدها) على أنها القيمة الفريدة ιx التي تحقق الدالة الافتراضية (ذات المتغيرين) (أي "العلاقة") φŷ .

ملاحظة: يجب تنبيه القارئ هنا إلى أن ترتيب المتغيرات معكوس! y هو المتغير المستقل و x هو المتغير التابع، على سبيل المثال، x = sin( y ). ^{[ 63 ]}

يرمز راسل للدالة الوصفية بأنها "الشيء الذي يرتبط بـ y ": R'y = _DEF ( ιx )( x R y ). ويكرر راسل أن " R'y دالة لـ y ، ولكنها ليست دالة منطقية؛ سنسميها دالة وصفية . جميع الدوال الرياضية العادية من هذا النوع. وبالتالي، في ترميزنا، يُكتب "sin y " على أنه "sin 'y "، و"sin" يرمز إلى العلاقة بين sin 'y و y ". ^{[ 64 ]}

في عام 1902، أرسل راسل رسالة إلى فريجه يشير فيها إلى أن كتاب فريجه "Begriffsschrift" الصادر عام 1879 سمح بأن تكون الدالة وسيطًا لنفسها: "من ناحية أخرى، قد يكون الوسيط محددًا والدالة غير محددة..." ^{[ 70 ]} ومن هذا الوضع غير المقيد، تمكن راسل من صياغة مفارقة:

«تقولون... إن الدالة أيضاً يمكن أن تعمل كعنصر غير محدد. كنتُ أؤمن بهذا سابقاً، لكن هذا الرأي يبدو لي الآن موضع شك بسبب التناقض التالي. ليكن w هو المسند: أن يكون مسنداً لا يمكن إسناده إلى نفسه. هل يمكن إسناد w إلى نفسه؟» ^{[ 71 ]}

أجاب فريجه على الفور قائلاً: "لقد أثار اكتشافك لهذا التناقض دهشتي الكبيرة، بل وأكاد أقول ذهولي، لأنه زعزع الأساس الذي كنت أنوي بناء علم الحساب عليه". ^{[ 72 ]}

من هذه النقطة فصاعدًا، أصبح تطوير أسس الرياضيات بمثابة تمرين في كيفية تجنب "مفارقة راسل"، التي تم تأطيرها في "المفاهيم المجردة [النظرية للمجموعات] للمجموعة والعنصر". ^{[ 73 ]}

يظهر مفهوم "الدالة" في بديهية زيرميلو الثالثة - بديهية الفصل (Axiom der Aussonderung). هذه البديهية تلزمنا باستخدام دالة اقتراحية Φ( x ) لفصل مجموعة جزئية M _Φ عن مجموعة M تم تشكيلها مسبقًا .

"البديهية الثالثة (بديهية الفصل). عندما تكون الدالة الافتراضية Φ( x ) محددة لجميع عناصر المجموعة M ، فإن M تمتلك مجموعة جزئية M _Φ تحتوي على عناصر x من M التي تكون فيها Φ( x ) صحيحة". ^{[ 74 ]}

بما أنه لا توجد مجموعة شاملة - إذ تنشأ المجموعات، وفقًا للبديهية الثانية، من عناصر المجال (غير المجموعة) ب - "...هذا يُنهي تناقض راسل فيما يخصنا". ^{[ 75 ]} لكن "المعيار المحدد" لزيرميلو غير دقيق، وقد حدده كل من فايل ، وفرينكل ، وسكوليم ، وفون نيومان . ^{[ 76 ]}

في الواقع، أشار سكوليم في كتابه عام 1922 إلى هذا "المعيار المحدد" أو "الخاصية" على أنها "قضية محددة":

"... تعبير محدود مُنشأ من قضايا أولية على شكل a ε b أو a = b عن طريق العمليات الخمس [^{[ 77 ]} الاقتران المنطقي ، والفصل، والنفي، والتكميم الكلي ، والتكميم الوجودي.

يلخص فان هيجينورت ما يلي:

تُعتبر الخاصية محددةً وفقًا لمفهوم سكوليم إذا تم التعبير عنها... بصيغة سليمة في حساب التفاضل والتكامل البسيط من الدرجة الأولى، حيث تكون ثوابت التفاضل والتكامل الوحيدة هي ε، وربما =. ... اليوم، عادةً ما يتم تضمين بديهيات نظرية المجموعات في حساب منطقي، ويُعتمد عمومًا نهج فايل وسكوليم في صياغة بديهية الفصل. ^{[ 78 ]}

في هذا الاقتباس، قد يلاحظ القارئ تحولاً في المصطلحات: فلا يُذكر مفهوم "الدالة الافتراضية" في أي مكان، بل تُذكر كلمات مثل "الصيغة" و"حساب المسند" و"المسند" و"الحساب المنطقي". ويُناقش هذا التحول في المصطلحات بمزيد من التفصيل في القسم الذي يتناول "الدالة" في نظرية المجموعات المعاصرة.

إن تاريخ مفهوم " الزوج المرتب " غير واضح. وكما ذُكر سابقًا، اقترح فريجه (1879) ترتيبًا بديهيًا في تعريفه للدالة ذات الوسيطين Ψ(A, B). ويلاحظ نوربرت وينر في كتابه الصادر عام 1914 (انظر أدناه) أن معالجته الخاصة "تعود في جوهرها إلى معالجة شرودر للعلاقة باعتبارها فئة من الأزواج المرتبة". ^{[ 79 ]} وقد نظر راسل (1903) في تعريف العلاقة (مثل Ψ(A, B)) باعتبارها "فئة من الأزواج" ولكنه رفضها.

«ثمة ميلٌ إلى اعتبار العلاقة قابلةً للتعريف في الامتداد كفئة من الأزواج. وهذه هي الميزة الشكلية التي تتجنب الحاجة إلى القضية الأولية التي تؤكد أن كل زوج لا توجد بينه وبين أي أزواج أخرى علاقة. ولكن من الضروري إضفاء معنى على الزوج، وتمييز المرجع [ المجال ] عن العلاقة [ المجال العكسي ]: وهكذا يصبح الزوج متميزًا جوهريًا عن فئة من مصطلحين، ويجب تقديمه كفكرة أولية... لذلك يبدو من الأصح تبني منظور قصدي للعلاقات، وربطها بمفاهيم الفئات بدلًا من الفئات نفسها.» ^{[ 80 ]}

بحلول عامي 1910-1913 وكتابه "مبادئ الرياضيات" ، تخلى راسل عن شرط التعريف القصدي للعلاقة، مصرحًا بأن "الرياضيات تهتم دائمًا بالامتدادات لا بالقصديات" وأن "العلاقات، مثل الفئات، تُؤخذ في الامتداد ". ^{[ 81 ]} ولتوضيح مفهوم العلاقة في الامتداد ، تبنى راسل مفهوم الزوج المرتب : "يمكننا اعتبار العلاقة... فئة من الأزواج... العلاقة المحددة بواسطة φ( x, y ) هي فئة الأزواج ( x, y ) التي تكون فيها φ( x, y ) صحيحة". ^{[ 82 ]} وفي حاشية، أوضح مفهومه وتوصل إلى هذا التعريف:

"لهذا الزوج معنى ، أي أن الزوج ( س، ص ) يختلف عن الزوج ( ص، س ) إلا إذا كان س = ص . سنسميه "زوجًا ذا معنى"، ... ويمكن تسميته أيضًا زوجًا مرتبًا . ^{[ 82 ]}

لكنه يمضي ليقول إنه لن يدخل الأزواج المرتبة أكثر في "معالجته الرمزية"؛ ويقترح "مصفوفته" وبديهيته غير الشعبية عن الاختزال بدلاً منها.

دفعت محاولة حل مشكلة التناقضات راسل إلى اقتراح "مذهبه في الأنواع" في الملحق ب من كتابه " مبادئ الرياضيات " الصادر عام 1903. ^{[ 83 ]} وبعد بضع سنوات، قام بتطوير هذا المفهوم واقترح في كتابه " نظرية الأنواع" الصادر عام 1908 بديهيتين للاختزال ، وكان الغرض منهما اختزال الدوال الافتراضية (ذات المتغير الواحد) والعلاقات (ذات المتغيرين) إلى شكل "أدنى" (وفي النهاية إلى شكل امتدادي كامل )؛ وقد قام هو وألفريد نورث وايتهيد بتطبيق هذا النهج في كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا " (1910-1913) مع إضافة تحسين آخر يُعرف باسم "المصفوفة". ^{[ 84 ]} البديهية الأولى هي *12.1؛ والثانية هي *12.11. وكما قال وينر، فإن البديهية الثانية *12.11 "تُستخدم فقط في نظرية العلاقات". ^{[ 85 ]} مع ذلك، قوبلت كلتا البديهيتين بالتشكيك والمقاومة؛ انظر المزيد في بديهية الاختزال . بحلول عام 1914، قام نوربرت وينر، مستخدمًا رمزية وايتهيد وراسل، بإلغاء البديهية 12.11 (النسخة "ذات المتغيرين" (العلائقية) من بديهية الاختزال) من خلال التعبير عن العلاقة كزوج مرتب باستخدام المجموعة الفارغة. في نفس الوقت تقريبًا، قدم هاوسدورف (1914، ص  32) تعريف الزوج المرتب ( أ ، ب ) على أنه {{ أ ، 1}، { ب ، 2}}. بعد بضع سنوات، قدم كوراتوفسكي (1921) تعريفًا استُخدم على نطاق واسع منذ ذلك الحين، وهو {{ أ ، ب }، { أ }}. ^{[ 86 ]} كما أشار سوبس (1960): "كان لهذا التعريف... أهمية تاريخية في اختزال نظرية العلاقات إلى نظرية المجموعات." ^{[ 87 ]}

لاحظ أنه بينما قام وينر "باختزال" الشكل العلائقي *12.11 لبديهية الاختزال، فإنه لم يختزل أو يغير بأي شكل آخر شكل الدالة الافتراضية *12.1؛ بل أعلن أن هذا "ضروري لمعالجة الهوية والأوصاف والفئات والعلاقات". ^{[ 88 ]}

لا يزال أصل المفهوم العام لـ"الدالة" كعلاقة بين عنصرين غير واضح. يذكر راسل في كتابه " مقدمة في الفلسفة الرياضية" الصادر عام ١٩٢٠ أنه "ينبغي ملاحظة أن جميع الدوال الرياضية تنتج عن علاقات بين عنصرين [كذا - الاستخدام المعاصر هو علاقة بين عنصرين]... الدوال بهذا المعنى هي دوال وصفية ". ^{[ ٨٩ ]} من الاحتمالات المعقولة مفهوم "الدالة الوصفية" الوارد في كتاب " مبادئ الرياضيات " – R 'y = _DEF (ι x )( x R y ): "الكائن المفرد الذي تربطه علاقة R بـ y ". على أي حال، بحلول عام ١٩٢٤، عبّر موسى شونفينكل عن هذا المفهوم، مدعيًا أنه "معروف جيدًا".

"كما هو معروف، فإننا نعني بالدالة في أبسط الحالات وجود علاقة بين عناصر مجال من الكميات، وهو مجال الوسيط، وعناصر مجال من قيم الدالة ... بحيث يكون لكل قيمة وسيط قيمة دالة واحدة على الأكثر". ^{[ 90 ]}

بحسب ويلارد كواين ، فإنّ شونفينكل (1924) "يُقدّم... النطاق الكامل لنظرية المجموعات المجردة. جوهر المسألة هو أن شونفينكل يسمح للدوال بأن تكون وسائط. بالنسبة لشونفينكل، كما هو الحال بالنسبة لفريجه، تُعدّ الفئات أنواعًا خاصة من الدوال. إنها دوال افتراضية، أي دوال تكون قيمها قيمًا صحيحة. جميع الدوال، الافتراضية وغير الافتراضية، هي دوال أحادية المكان بالنسبة لشونفينكل". ^{[ 91 ]} والجدير بالذكر أن شونفينكل يُختزل الرياضيات بأكملها إلى حساب دالي مُختصر للغاية يتكون من ثلاث دوال فقط: الثبات، والدمج (أي التركيب)، والاستبعاد المتبادل. يُشير كواين إلى أن هاسكل كاري (1958) واصل هذا العمل "تحت مسمى المنطق التوافقي ". ^{[ 92 ]}

بحلول عام 1925، قام كل من أبراهام فرانكل (1922) وثورالف سكولم (1922) بتعديل نظرية زيرميلو للمجموعات لعام 1908. لكن فون نيومان لم يكن مقتنعًا بأن هذه البديهيات لا يمكن أن تؤدي إلى التناقضات. ^{[ 93 ]} لذلك اقترح نظريته الخاصة، وهي " بديهيات نظرية المجموعات " لعام 1925. ^{[ 94 ]} وهي تتضمن صراحةً نسخة "معاصرة" من مفهوم "الدالة" في نظرية المجموعات.

[على عكس نظرية المجموعات لزيرميلو]، نُفضّل، مع ذلك، وضع بديهيات "الدالة" بدلاً من "المجموعة". ويشمل المفهوم الأخير بالتأكيد المفهوم الأول. (وبشكل أدق، فإن المفهومين متكافئان تمامًا، حيث يمكن اعتبار الدالة مجموعة من الأزواج، والمجموعة دالة يمكن أن تأخذ قيمتين). ^{[ 95 ]}

يبدأ في البداية بالكائنات من النوع الأول والكائنات من النوع الثاني ، كائنين A و B من النوع الأول (البديهية الأولى)، ونوعين من "العمليات" التي تفترض الترتيب كخاصية هيكلية ^{[ 96 ]،} والمستمدة من الكائنات الناتجة [ x , y ] و( x , y ). يُطلق على "مجالي الكائنات" اسم "الوسائط" (للكائنات من النوع الأول) و"الدوال" (للكائنات من النوع الثاني)؛ ونقطة تداخلهما تُسمى "دوال الوسائط" (يُطلق عليها الكائنات من النوع الأول والثاني). يُقدّم عمليتين عالميتين لمتغيرين: (أ) العملية [ x , y ]: "... تُقرأ 'قيمة الدالة x للمتغير y ... وهي نفسها كائن من النوع الأول'، و(ب) العملية ( x , y ): "... (تُقرأ 'الزوج المرتب x , y' ) الذي يجب أن يكون كل من المتغيرين x و y وسيطين _، وهو يُنتج وسيطًا ( x , y ) _. أهم خصائصه هي أن x₁ ₌ x₂ و y₁ = _y₂ ناتجان عن ( x₁ = y₂ ₎ = ( _x₂ = y₂ )". ولتوضيح زوج الدوال ، يُشير إلى أنه "بدلاً من f ( x ) _، نكتب [ f, x ] للدلالة على أن f ، تمامًا مثل x _، تُعتبر متغيرًا في هذه العملية". لتجنب "تناقضات نظرية المجموعات الساذجة، كما في نظرية راسل أولاً وقبل كل شيء... يجب علينا التخلي عن التعامل مع بعض الدوال كمتغيرات". ^{[ 97 ]} وهو يتبنى مفهومًا من زيرميلو لتقييد هذه "الدوال المحددة". ^{[ 98 ]}

يلاحظ سوبس ^{[ 99 ]} أن بديهيات فون نيومان عُدّلت بواسطة بيرنايز "للبقاء أقرب إلى نظام زيرميلو الأصلي... وقد أدخل علاقتين للانتماء: إحداهما بين المجموعات، والأخرى بين المجموعات والفئات". ثم قام غودل [1940] ^{[ 100 ]} بتعديل النظرية بشكل أكبر: "مفاهيمه الأولية هي مفاهيم المجموعة والفئة والانتماء (مع أن الانتماء وحده كافٍ)". ^{[ 101 ]} تُعرف هذه البديهيات الآن باسم نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل .

في عام 1939، قدم التعاون بين نيكولاس بورباكي ، بالإضافة إلى تقديم التعريف المعروف للزوج المرتب للدالة كمجموعة فرعية معينة من حاصل الضرب الديكارتي E × F ، ما يلي:

لتكن E و F مجموعتين، قد تكونان مختلفتين أو متشابهتين. تُسمى العلاقة بين عنصر متغير x من E وعنصر متغير y من F علاقة دالية في y إذا كان لكل x ∈ E ، يوجد عنصر y ∈ F وحيد في العلاقة المعطاة مع x . نُطلق اسم دالة على العملية التي تربط كل عنصر x ∈ E بالعنصر y ∈ F في العلاقة المعطاة مع x ، ويُقال إن الدالة مُحددة بالعلاقة الدالية المعطاة. علاقتان داليتان متكافئتان تُحددان الدالة نفسها.

تُعرّف كل من الأشكال البديهية والساذجة لنظرية زيرميلو للمجموعات، كما عدّلها فرانكل (1922) وسكوليم (1922)، "الدالة" على أنها علاقة، وتُعرّف العلاقة على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة، وتُعرّف الزوج المرتب على أنه مجموعة من مجموعتين "غير متماثلتين".

بينما يلاحظ قارئ كتاب سوبس (1960) "نظرية المجموعات البديهية" أو كتاب هالموس (1970) " نظرية المجموعات البسيطة" استخدام رمزية الدوال في بديهية الفصل ، مثل φ( x ) (في كتاب سوبس) وS( x ) (في كتاب هالموس)، فلن يجد أي ذكر لمصطلح "القضية" أو حتى "حساب التفاضل والتكامل من الدرجة الأولى". وبدلاً من ذلك، سيجد مصطلحات مثل " تعبيرات لغة الموضوع"، و"الصيغ الذرية"، و"الصيغ الأولية"، و"الجمل الذرية".

يُعرّف كلين (1952) الكلمات على النحو التالي: "في لغات الكلمات، تُعبّر الجملة عن القضية. أما المسند، فيُعبّر عنه بجملة غير مكتملة أو هيكل جملة يحتوي على فراغ. على سبيل المثال، "___ رجل" يُعبّر عن مسند... المسند هو دالة قضية لمتغير واحد . غالبًا ما تُسمى المسندات "خصائص"... سيتناول حساب المسندات منطق المسندات بهذا المعنى العام لكلمة "مسند"، أي كدالة قضية". ^{[ 102 ]}

في عام ١٩٥٤، قدّم بورباكي، في الصفحة  ٧٦ من الفصل الثاني من كتابه "نظرية المجموعات"، تعريفًا للدالة بأنها ثلاثية f = ( F , A , B ). ^{[ ١٠٣ ]} هنا، F هو رسم بياني دالي ، أي مجموعة من الأزواج حيث لا يوجد زوجان لهما نفس العنصر الأول. وفي الصفحة  ٧٧ ( المرجع نفسه )، يذكر بورباكي (ترجمة حرفية): "سنستخدم غالبًا، في بقية هذه الرسالة، كلمة " دالة " بدلًا من " رسم بياني دالي ".

يُعرّف سوبس (1960) في نظرية المجموعات البديهية ، العلاقة رسميًا (ص  57) على أنها مجموعة من الأزواج، والدالة ( ص  86) على أنها علاقة لا يوجد فيها زوجان لهما نفس العضو الأول.

وقد شرح تارسكي (1946) سبب اختفاء عبارة "الدالة الافتراضية" على سبيل المثال، في سوبس (1960) وهالموس (1970) ، بالإضافة إلى مزيد من التوضيح للمصطلحات:

يُطلق على التعبير الذي يحتوي على متغيرات، مثل x عدد صحيح ، والذي يتحول إلى جملة عند استبدال هذه المتغيرات بثوابت، اسم الدالة الجملةية (أي الدالة المنطقية). لكن علماء الرياضيات، بالمناسبة، لا يفضلون هذا التعبير، لأنهم يستخدمون مصطلح "الدالة" بمعنى مختلف. ... الدوال الجملةية والجمل المؤلفة بالكامل من رموز رياضية (وليس كلمات من اللغة الدارجة)، مثل: x + y = 5، يُشار إليها عادةً من قِبل علماء الرياضيات باسم الصيغ. وبدلاً من "الدالة الجملةية"، سنستخدم أحيانًا مصطلح "الجملة" فقط - ولكن فقط في الحالات التي لا يوجد فيها خطر لسوء الفهم. ^{[ 104 ]}

من جانبه، يُطلق تارسكي على الشكل العلائقي للدالة اسم "علاقة وظيفية" أو ببساطة "دالة". ^{[ 105 ]} وبعد مناقشة هذه "العلاقة الوظيفية"، يؤكد ما يلي:

«يختلف مفهوم الدالة الذي نتناوله الآن اختلافًا جوهريًا عن مفهومي الدالة الحُكمية [القضوية] والدالة الدلالية... وبالمعنى الدقيق للكلمة... فإن هذه المفاهيم لا تنتمي إلى مجال المنطق أو الرياضيات؛ فهي تشير إلى فئات معينة من التعبيرات التي تُستخدم في تكوين عبارات منطقية ورياضية، ولكنها لا تشير إلى الأشياء التي تتناولها تلك العبارات... أما مصطلح "الدالة" بمعناه الجديد، فهو تعبير ذو طابع منطقي بحت؛ إذ يشير إلى نوع معين من الأشياء التي يتناولها المنطق والرياضيات.» ^{[ 106 ]}

اطلع على المزيد حول "الحقيقة في ظل التفسير" في موقع ألفريد تارسكي .