حساب الدوال

في الرياضيات ، يُعدّ حساب الدوال نظريةً تُتيح تطبيق الدوال الرياضية على المؤثرات الرياضية . ^{[ 1 ]} وهو الآن فرع (أو بالأحرى، عدة مجالات مترابطة) من مجال التحليل الوظيفي ، ويرتبط بنظرية الأطياف . تاريخيًا، كان المصطلح مرادفًا لحساب التغيرات ؛ ولا يزال المصطلح الأخير شائع الاستخدام في كتب الفيزياء والهندسة، بينما يُطوّر حساب الدوال هذا الموضوع بشكلٍ أعمق من خلال صياغات رياضية أكثر دقةً ورسميةً وتجريدًا. ولا يزال الاستخدام القديم ظاهرًا في المشتق الوظيفي ، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم المشتق التغيري.

هناك العديد من الاستخدامات غير المرتبطة لمصطلح "حساب الدوال": يتم تطبيقه أحيانًا على أنواع المعادلات الوظيفية ، وأحيانًا على أنظمة المنطق في حساب المسند .

تشمل بعض مجالات الرياضيات التي تندرج تحت مصطلح "حساب التفاضل والتكامل الوظيفي" ما يلي:

• الحساب العملي هو أسلوب لحل المعادلات التفاضلية عن طريق تحويلها إلى معادلات متعددة الحدود . وتتمثل الفكرة الأساسية في اعتبار التكامل والتفاضل عمليتين مستقلتين؛ فتظهر المعادلات التفاضلية حينها بصيغة جبرية تشبه صيغة كثيرات الحدود في هاتين العمليتين.
• حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي ، الذي يحاول توسيع التقنيات المستخدمة عادةً لدراسة الدوال الهولومورفية${\displaystyle f(z)}$للتعبيرات${\displaystyle f(T)}$أين${\displaystyle T}$هو مصفوفة أو مؤثر خطي . ويشمل ذلك الحالة الخاصة حيث${\displaystyle f(z)}$هو متعدد الحدود، مما يؤدي إلى "حساب التفاضل والتكامل الوظيفي متعدد الحدود".
• حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المتصل ، الذي يأخذ في الاعتبار تطبيق الدوال المتصلة${\displaystyle f(x)}$إلى العناصر العادية لجبر C* . تُعدّ هذه القدرة السمة المميزة الرئيسية التي تجعل جبر C* مجموعة فرعية من جبر باناخ ، الذي يدعم فقط حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي. طُوّر جبر C* في الأصل لاستكشاف وصياغة معادلات المؤثرات التي كانت تُطوّر لميكانيكا الكم ، وتحديدًا لميكانيكا المصفوفات . تضمنت الخصائص المميزة لميكانيكا الكم فكرة أن المؤثرات تعمل على فضاءات هيلبرت ، وأن هناك معيارًا يُعبّر عن القيمة المتوقعة للمؤثر، وأن الاقتران المركب هو انعكاس ، يُعبّر عن المرافق للمؤثر ، وبالتالي يُشكّل جبرًا * .
• حساب بوريل الوظيفي ، الذي يعمم حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المستمر من خلال دراسة أي دالة بوريل مطبقة على مؤثر من الجبر التبادلي . على سبيل المثال، يمكن لحساب بوريل الوظيفي أن يُعرّف بدقة "الجذر التربيعي" لمؤثر لابلاس (السالب).${\displaystyle -\Delta }$أو الأسي${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

تُشكل التقنيات المُطورة لحساب التفاضل والتكامل التغيري الدافع لتطوير حساب التفاضل والتكامل الوظيفي بشكل عام. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle x}$، و${\displaystyle T}$إذا كانت مصفوفة أو مؤثرًا خطيًا ، فيمكن للمرء أن ينظر في التعبير${\displaystyle f(T)}$لإعطاء هذا المعنى الدقيق، يجب معالجة قضايا التقارب والتراص والتقييد والاستمرارية .

في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، يوفر حساب الدوال متعددة الحدود قدرًا كبيرًا من المعلومات حول المؤثر. على سبيل المثال، لننظر إلى عائلة كثيرات الحدود التي تُفني مؤثرًا ما.${\displaystyle T}$هذه العائلة هي مثال مثالي في حلقة كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فهي مثال مثالي غير تافه: ليكن${\displaystyle N}$ليكن البعد المحدود لجبر المصفوفات، إذن${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{N}\}}$هناك ارتباط خطي بينهما. لذا${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}T^{i}=0}$بالنسبة لبعض الكميات القياسية${\displaystyle \alpha _{i}}$، ليس كلها تساوي صفرًا. وهذا يعني أن متعددة الحدود${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}x^{i}}$يكمن في المثالي. بما أن حلقة كثيرات الحدود هي مجال مثالي رئيسي ، فإن هذا المثالي يتولد بواسطة كثير حدود ما${\displaystyle m}$بضربها في وحدة واحدة إذا لزم الأمر، يمكننا الاختيار${\displaystyle m}$أن تكون أحادية. عند القيام بذلك، تصبح كثيرة الحدود${\displaystyle m}$وهي بالضبط متعددة الحدود الدنيا لـ${\displaystyle T}$تُقدّم هذه المعادلة متعددة الحدود معلومات عميقة حول${\displaystyle T}$على سبيل المثال، كمية قياسية${\displaystyle \alpha }$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle T}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha }$هو جذر${\displaystyle m}$وأيضًا، في بعض الأحيان${\displaystyle m}$يمكن استخدامها لحساب الدالة الأسية لـ${\displaystyle T}$بكفاءة.

لا يُعدّ حساب كثيرات الحدود مفيدًا بنفس القدر في حالة الأبعاد اللانهائية. لنأخذ على سبيل المثال الإزاحة أحادية الجانب باستخدام حساب كثيرات الحدود؛ يصبح المثالي المُعرَّف أعلاه تافهًا. لذا، فإنّ الاهتمام ينصبّ على حسابات الدوال الأكثر عمومية من كثيرات الحدود. يرتبط هذا الموضوع ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأطياف ، إذ إنّ تعريفات المصفوفة القطرية أو عامل الضرب واضحة تمامًا.

• التكامل المباشر – تعميم لمفهوم المجموع المباشر في الرياضيات 

• "حساب الدوال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

• الوسائط المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل الوظيفي على ويكيميديا ​​كومنز