عامل (رياضيات)

في الرياضيات ، يُعرَّف المؤثر عمومًا بأنه دالة أو تطبيق يؤثر على عناصر فضاء ما لإنتاج عناصر فضاء آخر (قد يكون، بل يُشترط أحيانًا، أن يكون نفس الفضاء). لا يوجد تعريف عام للمؤثر ، ولكن يُستخدم هذا المصطلح غالبًا بدلًا من الدالة عندما يكون المجال مجموعة من الدوال أو كائنات مُهيكلة أخرى. كما يصعب في كثير من الأحيان تحديد مجال المؤثر بدقة (كما في حالة المؤثر التكاملي )، وقد يُوسَّع ليؤثر على كائنات ذات صلة (فالمؤثر الذي يؤثر على الدوال قد يؤثر أيضًا على المعادلات التفاضلية التي تكون حلولها دوالًا تُحقق المعادلة). (انظر المؤثر (في الفيزياء) لمزيد من الأمثلة).

أبسط المؤثرات هي التحويلات الخطية ، التي تعمل على الفضاءات المتجهة . تشير المؤثرات الخطية إلى التحويلات الخطية التي يكون مجالها ومداها في نفس الفضاء، على سبيل المثال من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ أ ]} غالبًا ما تحافظ هذه المؤثرات على خصائص معينة، مثل الاستمرارية . على سبيل المثال، التفاضل والتكامل غير المحدد هما مؤثرات خطية؛ أما المؤثرات المشتقة منهما فتُسمى مؤثرات تفاضلية ، أو مؤثرات تكاملية ، أو مؤثرات تكاملية تفاضلية.

يُستخدم مصطلح "المُعامل" أيضًا للدلالة على رمز العملية الرياضية . ويرتبط هذا بمعنى "المُعامل" في برمجة الحاسوب (انظر المُعامل (برمجة الحاسوب) ).

أكثر أنواع المؤثرات شيوعًا هي المؤثرات الخطية . ليكن U و V فضاءين متجهيين على حقل ما K. تطبيق${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$يكون خطيًا إذا$${\displaystyle \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$لكل x و y في U ، ولكل α و β في K.

هذا يعني أن المؤثر الخطي يحافظ على عمليات الفضاء المتجهي، بمعنى أنه لا يهم ما إذا طُبِّق المؤثر الخطي قبل أو بعد عمليتي الجمع والضرب القياسي. بعبارة أدق، المؤثرات الخطية هي تشاكلات بين الفضاءات المتجهة. في حالة الأبعاد المحدودة، يمكن تمثيل المؤثرات الخطية بالمصفوفات بالطريقة التالية. ليكن K حقلاً، و${\displaystyle U}$ولتكن V فضاءات متجهة ذات أبعاد منتهية على K. لنختر أساسًا${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$في يو و${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$في V. ثم دع${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$ليكن متجهًا عشوائيًا في${\displaystyle U}$(بافتراض اتفاقية أينشتاين )، و${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$ليكن مؤثرًا خطيًا. إذن$${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$ثم${\displaystyle a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}}$مع كل${\displaystyle a_{i}^{j}\in K}$، هو الشكل المصفوفي للمؤثر${\displaystyle \operatorname {A} }$على أساس ثابت${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}}$الموتر${\displaystyle a_{i}^{j}}$لا يعتمد ذلك على اختيار${\displaystyle x}$، و${\displaystyle \operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} }$لو${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$وبالتالي، في القواعد الثابتة، تكون المصفوفات من الرتبة n × m في تقابل تقابلي مع المؤثرات الخطية من${\displaystyle U}$ل${\displaystyle V}$.

المفاهيم المهمة المرتبطة مباشرة بالمؤثرات بين فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة هي مفاهيم الرتبة ، والمحدد ، والمؤثر العكسي ، والفضاء الذاتي .

تلعب المؤثرات الخطية دورًا هامًا في الحالة اللانهائية الأبعاد. لا يمكن تطبيق مفهومي الرتبة والمحدد على المصفوفات اللانهائية الأبعاد. لهذا السبب، تُستخدم تقنيات مختلفة تمامًا عند دراسة المؤثرات الخطية (والمؤثرات عمومًا) في الحالة اللانهائية الأبعاد. تُعرف دراسة المؤثرات الخطية في الحالة اللانهائية الأبعاد بالتحليل الوظيفي (وذلك لأن فئات متنوعة من الدوال تُشكل أمثلةً مثيرةً للاهتمام للفضاءات المتجهة اللانهائية الأبعاد).

تشكل فضاءات متتابعات الأعداد الحقيقية، أو بشكل أعم متتابعات المتجهات في أي فضاء متجهي، فضاءً متجهيًا لا نهائي الأبعاد. ومن أهم الحالات متتابعات الأعداد الحقيقية أو المركبة، وتُعرف هذه الفضاءات، بالإضافة إلى الفضاءات الجزئية الخطية، باسم فضاءات المتتابعات . وتُعرف المؤثرات على هذه الفضاءات باسم تحويلات المتتابعات .

تشكل المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء باناخ جبر باناخ بالنسبة لمعيار المؤثر القياسي. وتطور نظرية جبر باناخ مفهومًا عامًا جدًا للأطياف ، وهو مفهوم يعمم نظرية الفضاءات الذاتية بشكل أنيق.

ليكن U و V فضاءين متجهين على نفس الحقل المرتب (على سبيل المثال؛${\displaystyle \mathbb {R} }$)، وهي مزودة بمعايير . عندئذٍ يُقال عن المؤثر الخطي من U إلى V أنه محدود إذا وُجد c > 0 بحيث$${\displaystyle \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}}$$لكل x في U. تشكل المؤثرات المحدودة فضاءً متجهيًا. على هذا الفضاء المتجهي، يمكننا تعريف معيار متوافق مع معايير U و V :$${\displaystyle \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.}$$ في حالة المؤثرات من U إلى نفسها، يمكن إثبات أن

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$. ^{[ ب ]}

أي جبر معياري أحادي يتمتع بهذه الخاصية يُسمى جبر باناخ . ومن الممكن تعميم نظرية الأطياف لتشمل هذه الجبر. وتلعب جبر C* ، وهي جبر باناخ ذات بنية إضافية، دورًا هامًا في ميكانيكا الكم .

• وظيفة
• نظرية المؤثرات
• جبر المؤثرات
• قائمة المشغلين