الشكل الطبيعي لـ Frobenius

في الجبر الخطي ، يُعدّ الشكل الطبيعي لفروبينيوس ، أو الشكل القانوني النسبي للمصفوفة المربعة A ذات العناصر في الحقل F، شكلاً قانونياً للمصفوفات الناتجة عن اقتران المصفوفات القابلة للعكس على F. يعكس هذا الشكل أبسط تجزئة للفضاء المتجهي إلى فضاءات جزئية دورية بالنسبة لـ A (أي، مُولّدة بواسطة متجه ما وصوره المتكررة تحت A ). بما أنه لا يمكن الوصول إلا إلى شكل طبيعي واحد من مصفوفة معينة (ومن هنا جاءت تسمية "القانوني")، فإن المصفوفة B تُشابه A إذا وفقط إذا كان لها نفس الشكل القانوني النسبي لـ A. ولأن هذا الشكل يُمكن إيجاده دون أي عمليات قد تتغير عند توسيع الحقل F (ومن هنا جاءت تسمية "النسبي")، وخاصةً دون تحليل كثيرات الحدود ، فإن هذا يُبيّن أن تشابه مصفوفتين لا يتغير عند توسيع الحقل. سُمّي هذا الشكل نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني فرديناند جورج فروبينيوس .

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "الصيغة القانونية النسبية" للإشارة إلى صيغة مختلفة نوعًا ما، تُسمى بشكل أدق " الصيغة القانونية النسبية الأولية" . فبدلًا من التحلل إلى أقل عدد ممكن من الفضاءات الجزئية الدورية، تتحلل الصيغة الأولية إلى أكبر عدد ممكن من الفضاءات الجزئية الدورية. وهي مُعرَّفة أيضًا على F ، ولكن لها خصائص مختلفة نوعًا ما: إذ يتطلب إيجاد هذه الصيغة تحليل كثيرات الحدود إلى عواملها الأولية، ونتيجةً لذلك، قد تتغير الصيغة القانونية النسبية الأولية عند النظر إلى المصفوفة نفسها على حقل امتداد لـ F. تتناول هذه المقالة بشكل أساسي الصيغة التي لا تتطلب تحليلًا إلى عوامل، وتذكر صراحةً مصطلح "أولية" عند الإشارة إلى الصيغة التي تستخدم التحليل إلى عواملها الأولية.

عند محاولة تحديد ما إذا كانت مصفوفتان مربعتان A و B متشابهتين، يتمثل أحد الأساليب في محاولة تحليل فضاء المتجهات لكل منهما، قدر الإمكان، إلى مجموع مباشر من الفضاءات الفرعية المستقرة، ومقارنة التأثيرات المقابلة على هذه الفضاءات الفرعية. على سبيل المثال، إذا كانت كلتاهما قابلتين للتقطير ، فيمكن إجراء التحليل إلى فضاءات ذاتية (حيث يكون التأثير بسيطًا قدر الإمكان، أي بواسطة قيمة عددية)، ومن ثم يمكن تحديد التشابه بمقارنة القيم الذاتية وتكراراتها. مع أن هذا الأسلوب غالبًا ما يكون مفيدًا عمليًا، إلا أنه ينطوي على عدة عيوب كطريقة عامة. أولًا، يتطلب إيجاد جميع القيم الذاتية، مثلاً كجذور لكثير الحدود المميز ، ولكن قد لا يكون من الممكن إيجاد تعبير صريح لها. ثانيًا، قد لا توجد مجموعة كاملة من القيم الذاتية إلا في امتداد للحقل قيد الدراسة، وبالتالي لا يمكن الحصول على برهان على التشابه على الحقل الأصلي. وأخيرًا، قد لا يكون من الممكن تحويل A و B إلى مصفوفات قطرية حتى على هذا الحقل الأكبر، وفي هذه الحالة يجب على المرء بدلاً من ذلك استخدام التفكيك إلى فضاءات ذاتية معممة ، وربما إلى كتل جوردان .

لكن الحصول على هذا التفكيك الدقيق ليس ضروريًا لمجرد تحديد ما إذا كانت مصفوفتان متشابهتين. يعتمد الشكل القانوني النسبي على استخدام تفكيك المجموع المباشر إلى فضاءات فرعية مستقرة بأكبر حجم ممكن، مع السماح في الوقت نفسه بوصف بسيط للغاية للتأثير على كل منها. يجب توليد هذه الفضاءات الفرعية بواسطة متجه واحد غير صفري v وجميع صوره من خلال التطبيق المتكرر للمؤثر الخطي المرتبط بالمصفوفة؛ تُسمى هذه الفضاءات الفرعية بالفضاءات الفرعية الدورية (قياسًا على المجموعات الفرعية الدورية ) وهي مستقرة بوضوح تحت تأثير المؤثر الخطي. يتم الحصول على أساس لهذا الفضاء الفرعي بأخذ v وصوره المتتالية طالما أنها مستقلة خطيًا . مصفوفة المؤثر الخطي بالنسبة لهذا الأساس هي المصفوفة المرافقة لكثير حدود أحادي . تحدد هذه متعددة الحدود ( متعددة الحدود الدنيا للمؤثر المقيد بالفضاء الجزئي، وهو مفهوم مشابه لمفهوم رتبة المجموعة الجزئية الدورية) تأثير المؤثر على الفضاء الجزئي الدوري حتى التشاكل ، وهي مستقلة عن اختيار المتجه v الذي يولد الفضاء الجزئي.

يوجد دائمًا تحليل المجموع المباشر إلى فضاءات دورية، ولا يتطلب إيجاده تحليل كثيرات الحدود. مع ذلك، من الممكن أن تسمح الفضاءات الدورية بتحليل كمجموع مباشر لفضاءات دورية أصغر (باستخدام نظرية الباقي الصينية ). لذا، فإن مجرد وجود تحليل للفضاء إلى فضاءات دورية لكلتا المصفوفتين، ومعرفة كثيرات الحدود الدنيا المناظرة، لا يكفي بحد ذاته لتحديد تشابههما. يُفرض شرط إضافي لضمان الحصول على تحليلات متطابقة تمامًا للفضاءات الدورية للمصفوفات المتشابهة: في قائمة كثيرات الحدود الدنيا المرتبطة، يجب أن يقسم كل حد الحد الأدنى الذي يليه (ويُمنع استخدام كثير الحدود الثابت 1 لاستبعاد الفضاءات الدورية التافهة ). تُسمى قائمة كثيرات الحدود الناتجة بالعوامل الثابتة للمصفوفة ( المُعرّفة بواسطة K [ X ] )، وتكون المصفوفتان متشابهتين إذا وفقط إذا كانت لديهما قوائم عوامل ثابتة متطابقة. يتم الحصول على الشكل القانوني العقلاني للمصفوفة A عن طريق التعبير عنها على أساس متكيف مع التفكيك إلى فضاءات فرعية دورية تكون كثيرات الحدود الدنيا المرتبطة بها هي العوامل الثابتة لـ A ؛ وتكون المصفوفتان متشابهتين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الشكل القانوني العقلاني.

لنفترض المصفوفة التالية A، على Q :

${\displaystyle \scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

A لها متعددة حدود دنيا${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$بحيث يكون بُعد الفضاء الجزئي الناتج عن الصور المتكررة لمتجه واحد على الأكثر 6. متعددة الحدود المميزة هي${\displaystyle \chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1}$، وهو مضاعف لكثير الحدود الأدنى بعامل${\displaystyle X^{2}-X-1}$توجد دائمًا متجهات بحيث يكون للفضاء الجزئي الدوري الذي تولده نفس متعددة الحدود الدنيا التي يمتلكها المؤثر على الفضاء بأكمله؛ في الواقع، تتمتع معظم المتجهات بهذه الخاصية، وفي هذه الحالة يكون متجه الأساس القياسي الأول${\displaystyle e_{1}}$وهذا ما تفعله المتجهات${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ل${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$مستقلة خطيًا وتمتد على فضاء جزئي دوري ذي متعدد حدود أدنى${\displaystyle \mu }$توجد فضاءات فرعية مستقرة مكملة (ذات بُعد 2) لهذا الفضاء الفرعي الدوري، والفضاء المتولد بواسطة المتجهات.${\displaystyle v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }}$و${\displaystyle w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }}$هذا مثال. في الواقع، لدى المرء${\displaystyle A\cdot v=w}$إذن، الفضاء الجزئي المكمل هو فضاء جزئي دوري مُوَلَّد بواسطة${\displaystyle v}$؛ ولها متعددة حدود دنيا${\displaystyle X^{2}-X-1}$. منذ${\displaystyle \mu }$إذا كانت الدالة متعددة الحدود الدنيا للفضاء بأكمله، فمن الواضح أن${\displaystyle X^{2}-X-1}$يجب تقسيمها${\displaystyle \mu }$(ويمكن التحقق من ذلك بسهولة)، وقد وجدنا العوامل الثابتة${\displaystyle X^{2}-X-1}$و${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$من A. إذن، الشكل القانوني النسبي لـ A هو مصفوفة قطرية كتلية مع المصفوفات المرافقة المقابلة لها ككتل قطرية، أي

${\displaystyle \scriptstyle C=\left({\begin{array}{cc|cccccc}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{array}}\right).}$

يتم تشكيل الأساس الذي يتم من خلاله الوصول إلى هذا الشكل بواسطة المتجهات${\displaystyle v,w}$أعلاه، متبوعًا بـ${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ل${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$وهذا يعني صراحةً أنه بالنسبة لـ

${\displaystyle \scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}}$،

يمتلك المرء${\displaystyle A=PCP^{-1}.}$

لنثبت حقلًا أساسيًا F وفضاءً متجهيًا محدود الأبعاد V فوق F. إذا كان لدينا متعدد حدود P ∈ F [ X ]، فإنه يرتبط به مصفوفة مصاحبة C _P يكون كل من متعدد الحدود المميز ومتعدد الحدود الأدنى مساويًا لـ P.

نظرية : ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل F ، و A مصفوفة مربعة على F. عندئذٍ، يقبل V (باعتباره وحدة نمطية F [ X ] حيث يكون تأثير X معطى بواسطة A ) تماثلًا بين الوحدات النمطية F [ X ].

V ≅ F [ X ]/ f ₁ ⊕ … ⊕ F [ X ]/ f _k

حيث يمكن اعتبار fᵢ _∈ F [ X ] كثيرات حدود أحادية من الدرجة الموجبة (لذا فهي ليست عناصر محايدة في F [ X ] ) والتي تحقق العلاقات التالية

f ₁ | f ₂ | … | f _k

(حيث "a | b" هو رمز لـ " a يقسم b ")؛ مع هذه الشروط تكون قائمة كثيرات الحدود f _i فريدة.

ملخص البرهان : بتطبيق نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي ، نعتبر V وحدةً من نوع F [ X ]. تُتيح نظرية البنية تحليلًا إلى عوامل دورية، كل منها ناتج قسمة F [ X ] على مثالي مناسب ؛ لا يمكن أن يكون المثالي الصفري موجودًا لأن الوحدة الحرة الناتجة ستكون لانهائية الأبعاد كفضاء متجهي F ، بينما V محدودة الأبعاد. بالنسبة لكثيرات الحدود fᵢ _، نأخذ المولدات الأحادية الفريدة للمثاليّات المعنية، وبما أن نظرية البنية تضمن احتواء كل مثالي في المثالي السابق، نحصل على شروط قابلية القسمة لـ fᵢ _. انظر [DF] لمزيد من التفاصيل.

بالنظر إلى مصفوفة مربعة عشوائية، فإن _{القواسم} الأولية المستخدمة في بناء الصيغة المعيارية لجوردان غير موجودة على F [ X ]، لذا يجب استخدام العوامل الثابتة fᵢ المذكورة أعلاه بدلاً منها. آخر هذه العوامل fₖ هو متعدد الحدود الأدنى _، الذي تقسمه جميع العوامل الثابتة، وحاصل ضرب هذه العوامل الثابتة يعطي متعدد الحدود المميز. تجدر الإشارة إلى أن هذا يعني أن متعدد الحدود الأدنى يقسم متعدد الحدود المميز (وهو في جوهره نظرية كايلي-هاميلتون )، وأن كل عامل غير قابل للاختزال في متعدد الحدود المميز يقسم أيضًا متعدد الحدود الأدنى (ربما بتعددية أقل).

لكل عامل ثابت fᵢ _، نأخذ مصفوفته المرافقة Cᵢ _، وتُشكّل المصفوفة القطرية الكتلية المُكوّنة من هذه الكتل الشكل القانوني النسبي للمصفوفة A. عندما تكون متعددة الحدود الدنيا مُطابقة لمتعددة الحدود المميزة (في حالة k  = 1)، _فإن  شكل فروبينيوس الطبيعي هو المصفوفة المرافقة لمتعددة الحدود المميزة. بما أن الشكل القانوني النسبي مُحدد بشكل فريد بواسطة العوامل الثابتة الفريدة المرتبطة بـ A ، وهذه العوامل الثابتة مستقلة عن الأساس، فإنه يترتب على ذلك أن المصفوفتين المربعتين A و B متشابهتان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الشكل القانوني النسبي.

لا يعكس الشكل الطبيعي لفروبينيوس أي شكل من أشكال تحليل متعددة الحدود المميزة، حتى لو وُجدت على الحقل الأساسي F. وهذا يعني أنها ثابتة عند استبدال F بحقل مختلف (طالما أنه يحتوي على عناصر المصفوفة الأصلية A ). من ناحية أخرى، يجعل هذا الشكل الطبيعي لفروبينيوس مختلفًا تمامًا عن الأشكال الطبيعية الأخرى التي تعتمد على تحليل متعددة الحدود المميزة، ولا سيما الشكل القطري (إذا كانت A قابلة للتقطير) أو بشكل أعم، الشكل الطبيعي لجوردان (إذا انقسمت متعددة الحدود المميزة إلى عوامل خطية). على سبيل المثال، الشكل الطبيعي لفروبينيوس لمصفوفة قطرية ذات عناصر قطرية مميزة هو ببساطة المصفوفة المرافقة لمتعددة الحدود المميزة الخاصة بها.

هناك طريقة أخرى لتعريف الصيغة المعيارية، وهي، مثل صيغة فروبينيوس المعيارية، تُعرَّف دائمًا على نفس الحقل F الذي تُعرَّف عليه A ، ولكنها تعكس إمكانية تحليل متعددة الحدود المميزة (أو ما يكافئها من متعددة الحدود الدنيا) إلى عوامل غير قابلة للاختزال على F ، والتي تختزل إلى صيغة جوردان المعيارية عندما يحتوي هذا التحليل على عوامل خطية فقط (المقابلة للقيم الذاتية). تُسمى هذه الصيغة ^{[ 1 ]} أحيانًا صيغة جوردان المعيارية المعممة ، أو الصيغة القانونية العقلانية الأولية . وهي تستند إلى حقيقة أنه يمكن تحليل الفضاء المتجهي بشكل قانوني إلى مجموع مباشر من الفضاءات الفرعية المستقرة المقابلة للعوامل غير القابلة للاختزال P لمتعددة الحدود المميزة (كما هو مذكور في ليم دي نويو ^{[ 2 ]} )، حيث تكون متعددة الحدود المميزة لكل حد من حدود المجموع قوةً لمتعددة الحدود P المقابلة . يمكن تحليل هذه الحدود الإضافية، بطريقة غير قياسية، كمجموع مباشر لوحدات دورية من النوع F [ x ] (كما هو الحال في صيغة فروبينيوس القياسية المذكورة أعلاه)، حيث تظل متعددة الحدود المميزة لكل حد قوةً (أصغر عمومًا) للعدد P. الصيغة القياسية الكسرية الأساسية هي مصفوفة قطرية كتلية تُقابل هذا التحليل إلى وحدات دورية، مع شكل خاص يُسمى كتلة جوردان المعممة في الكتل القطرية، والذي يتوافق مع اختيار معين لأساس الوحدات الدورية. كتلة جوردان المعممة هذه هي نفسها مصفوفة كتلية من الشكل التالي:

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}}$

حيث C هي المصفوفة المرافقة لكثير الحدود غير القابل للاختزال P ، و U هي مصفوفة عنصرها الوحيد غير الصفري هو 1 في الزاوية العلوية اليمنى. في حالة العامل الخطي غير القابل للاختزال P = x − λ ، تُختزل هذه الكتل إلى عنصرين منفردين C = λ و U = 1 ، فنحصل على كتلة جوردان ( منقولة ). في أي كتلة جوردان معممة، تكون جميع العناصر أسفل القطر الرئيسي مباشرةً تساوي 1. يُحصل على أساس الوحدة الدورية التي تُنتج هذا الشكل باختيار متجه مولد v (متجه لا يُفنى بواسطة P ^{k −1} ( A ) حيث يكون كثير الحدود الأدنى للوحدة الدورية هو P ^k )، واتخاذه كأساس.

${\displaystyle v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))}$

حيث d = درجة P.

• الأشكال الطبيعية لسميث

• [DF] ديفيد س. دوميت وريتشارد م. فوت. الجبر المجرد . الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده. الصفحات  442، 446، 452-458. ISBN 0-471-36857-1.

• الصيغة القانونية العقلانية (عالم الرياضيات)