التمثيل الجبري

📅 آخر تحديث: ٥ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٥ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، يُعرَّف تمثيل الجبر الترابطي بأنه وحدة نمطية لهذا الجبر. هنا، الجبر الترابطي هو حلقة (ليست بالضرورة أحادية ) . إذا لم يكن الجبر أحاديًا، فيمكن جعله كذلك بطريقة قياسية (انظر صفحة الدوال المرافقة )؛ ولا يوجد فرق جوهري بين الوحدات النمطية للحلقة الأحادية الناتجة، حيث تعمل دالة التطابق من خلال تطبيق التطابق، وتمثيلات الجبر.

أمثلة

بنية معقدة خطية

أحد أبسط الأمثلة غير التافهة هو البنية الخطية المعقدة ، وهي تمثيل للأعداد المركبة C ، تُعتبر جبرًا ترابطيًا على الأعداد الحقيقية R. ويتحقق هذا الجبر بشكل ملموس على النحو التالي:ج=R[x]/(x2+1)،{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}وهذا يُقابل i 2 = −1 . عندئذٍ، يكون تمثيل C عبارة عن فضاء متجهي حقيقي V ، بالإضافة إلى تأثير C على V (دالة).ج→هـند(V){\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)}) . بشكل ملموس، هذا مجرد فعل لـ i ، حيث أن هذا يولد الجبر، ويتم الإشارة إلى العامل الذي يمثل i (صورة i في End ( V ) ) بالرمز J لتجنب الخلط مع مصفوفة الوحدة I.

الجبر متعدد الحدود

تُعدّ تمثيلات جبر كثيرات الحدود ، أو الجبر التبادلي الحر، فئة أساسية أخرى مهمة من الأمثلة ، وهي تُشكّل موضوعًا محوريًا للدراسة في الجبر التبادلي ونظيره الهندسي، الهندسة الجبرية . إن تمثيل جبر كثيرات الحدود في k متغيرات على الحقل K هو تحديدًا فضاء متجهي K ذو k مؤثرات تبادلية، ويُشار إليه غالبًا بـك[تي1،...،تيك]،{\displaystyle K[T_{1},\dots ,T_{k}],}بمعنى تمثيل الجبر المجردك[x1،...،xك]{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{k}]}أينxأنا↦تيأنا.{\displaystyle x_{i}\mapsto T_{i}.}

تتمثل إحدى النتائج الأساسية المتعلقة بهذه التمثيلات في أنه، على حقل مغلق جبريًا ، تكون المصفوفات الممثلة قابلة للتحويل إلى مثلث في نفس الوقت .

حتى حالة تمثيلات جبر كثيرات الحدود في متغير واحد تُعدّ ذات أهمية – ويُرمز لها بـك[تي]{\displaystyle K[T]}ويُستخدم هذا في فهم بنية مؤثر خطي واحد على فضاء متجهي محدود الأبعاد . وعلى وجه التحديد، فإن تطبيق نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي على هذا الجبر ينتج عنه، كنتيجة، الأشكال القانونية المختلفة للمصفوفات، مثل الشكل القانوني لجوردان .

في بعض مناهج الهندسة غير التبادلية ، يلعب الجبر الحر غير التبادلي (كثيرات الحدود في المتغيرات غير التبادلية) دورًا مشابهًا، لكن التحليل أكثر صعوبة بكثير.

الأوزان

يمكن تعميم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لتمثيلات جبرية.

إن تعميم القيمة الذاتية لتمثيل جبري هو تمثيل أحادي البعد، وليس قيمة عددية واحدة.λ:أ→R{\displaystyle \lambda \colon A\to R}(أي، تماثل جبري من الجبر إلى الحلقة الأساسية له: دالة خطية ضربية أيضًا). [ ملاحظة 1 ] يُعرف هذا بالوزن ، ويُطلق على نظير المتجه الذاتي والفضاء الذاتي اسم متجه الوزن وفضاء الوزن .

تُقابل حالة القيمة الذاتية لمؤثر واحد الجبرR[تي]،{\displaystyle R[T],}وخريطة للجبرR[تي]→R{\displaystyle R[T]\to R}يُحدد ذلك من خلال العدد القياسي الذي يُقابله المولد T. متجه الوزن لتمثيل جبري هو متجه بحيث يُقابل أي عنصر من عناصر الجبر هذا المتجه بمضاعف لنفسه - وحدة فرعية أحادية البعد (تمثيل فرعي).أ×م→م{\displaystyle A\times M\to M}هي دالة ثنائية الخطية ، و"أي مضاعف" هي دالة خطية A لـ A (تطبيق جبري A → R )، وهي الوزن. بالرموز، متجه الوزن هو متجهم∈م{\displaystyle m\in M}بحيثأم=λ(أ)م{\displaystyle am=\lambda (a)m}لجميع العناصرأ∈أ،{\displaystyle a\in A,}لبعض الدوال الخطيةλ{\displaystyle \lambda }- لاحظ أنه على اليسار، الضرب هو العملية الجبرية، بينما على اليمين، الضرب هو الضرب القياسي.

لأن الوزن عبارة عن دالة إلى حلقة تبديلية ، فإن الدالة تتحلل من خلال عملية التبديل للجبرأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}– أو بعبارة أخرى، يتلاشى في الجبر المشتق – بدلالة المصفوفات، إذاv{\displaystyle v}هو متجه ذاتي مشترك للمؤثراتتي{\displaystyle T}ويو{\displaystyle U}، ثمتييوv=يوتيv{\displaystyle TUv=UTv}(لأنها في كلتا الحالتين مجرد ضرب بأعداد قياسية)، لذا يجب أن تكون المتجهات الذاتية المشتركة للجبر ضمن المجموعة التي يعمل عليها الجبر بشكل تبادلي (والتي يُلغى تأثيرها بواسطة الجبر المشتق). ومن ثم، فإن الجبر التبادلي الحر، وتحديدًا جبر كثيرات الحدود ، يحظى باهتمام مركزي . في هذه الحالة البسيطة والمهمة بشكل خاص لجبر كثيرات الحدود،F[تي1،...،تيك]{\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}في مجموعة من المصفوفات التبادلية، يكون متجه الوزن لهذا الجبر متجهًا ذاتيًا متزامنًا للمصفوفات، بينما يكون وزن هذا الجبر ببساطةك{\displaystyle k}مجموعة من القيم العدديةλ=(λ1،...،λك){\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}يتوافق مع القيمة الذاتية لكل مصفوفة، وبالتالي هندسيًا مع نقطة فيك{\displaystyle k}-الفضاء. هذه الأوزان - وخاصة هندستها - لها أهمية مركزية في فهم نظرية تمثيل جبر لي ، وتحديداً التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي شبه البسيط .

كتطبيق لهذا النوع من الهندسة، إذا كان لدينا جبر هو خارج قسمة جبر متعدد الحدود علىك{\displaystyle k}بالنسبة للمولدات، فإنها تتوافق هندسيًا مع تنوع جبري فيك{\displaystyle k}في الفضاء ذي الأبعاد n، يجب أن يقع الوزن على التنوع – أي أنه يحقق المعادلات التعريفية لهذا التنوع. وهذا يعمم حقيقة أن القيم الذاتية تحقق متعددة الحدود المميزة لمصفوفة في متغير واحد.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. لاحظ أنه بالنسبة للحقل، فإن جبر التشكلات الداخلية لفضاء متجهي أحادي البعد (خط) يساوي بشكل قانوني الحقل الأساسي: End( L ) = K ، لأن جميع التشكلات الداخلية هي ضرب قياسي؛ وبالتالي لا يوجد أي فقدان في الاقتصار على التطبيقات الملموسة إلى الحقل الأساسي، بدلاً من التمثيلات المجردة أحادية البعد . بالنسبة للحلقات، توجد أيضًا تطبيقات إلى حلقات القسمة ، والتي لا يلزم تحليلها من خلال تطبيقات إلى الحلقة نفسها، ولكن مرة أخرى،لا حاجة إلى وحدات مجردة أحادية البعد . 

مراجع