مصفوفة التمركز

في الرياضيات والإحصاءات متعددة المتغيرات ، فإن مصفوفة التمركز ^{[ 1 ]} هي مصفوفة متناظرة ومتساوية القوة ، والتي عند ضربها بمتجه يكون لها نفس تأثير طرح متوسط ​​مكونات المتجه من كل مكون من مكونات ذلك المتجه.

تُعرَّف مصفوفة التمركز ذات الحجم n بأنها مصفوفة من الرتبة n × n

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

أين${\displaystyle I_{n}\,}$هي مصفوفة الوحدة ذات الحجم n و${\displaystyle J_{n}}$هي مصفوفة من الرتبة n × n تحتوي على جميع القيم 1 .

على سبيل المثال

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$،

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$،

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

بفرض وجود متجه عمودي،${\displaystyle \mathbf {v} \,}$بحجم n ، خاصية التمركز لـ${\displaystyle C_{n}\,}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

أين${\displaystyle J_{n,1}}$هو متجه عمودي مكون من وحدات و${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$هو متوسط ​​مكونات${\displaystyle \mathbf {v} \,}$.

${\displaystyle C_{n}\,}$هي متماثلة موجبة شبه محددة .

${\displaystyle C_{n}\,}$هي دالة متطابقة ، بحيث${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$، ل${\displaystyle k=1,2,\ldots }$بمجرد إزالة المتوسط، يصبح صفراً، وإزالته مرة أخرى لا يكون لها أي تأثير.

${\displaystyle C_{n}\,}$مفرد . آثار تطبيق التحويل${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$لا يمكن التراجع عن ذلك.

${\displaystyle C_{n}\,}$لها القيمة الذاتية 1 من التعددية n − 1 والقيمة الذاتية 0 من التعددية 1.  

${\displaystyle C_{n}\,}$له فضاء صفري ذو بُعد 1، على طول المتجه${\displaystyle J_{n,1}}$.

${\displaystyle C_{n}\,}$هي مصفوفة إسقاط متعامدة . أي،${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$هو إسقاط لـ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$على الفضاء الجزئي ذي الأبعاد ( ن - 1) المتعامد مع الفضاء الصفري  ${\displaystyle J_{n,1}}$(هذا هو الفضاء الجزئي لجميع المتجهات ذات البعد n التي مجموع مكوناتها يساوي صفرًا.)

أثر${\displaystyle C_{n}}$يكون${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$.

على الرغم من أن الضرب بمصفوفة التمركز ليس طريقة فعالة حسابيًا لإزالة المتوسط ​​من متجه، إلا أنه أداة تحليلية ملائمة. يمكن استخدامه ليس فقط لإزالة متوسط ​​متجه واحد، بل أيضًا لإزالة متوسط ​​عدة متجهات مخزنة في صفوف أو أعمدة مصفوفة من الرتبة m × n.${\displaystyle X}$.

الضرب من اليسار في${\displaystyle C_{m}}$يطرح قيمة متوسطة مقابلة من كل عمود من الأعمدة n ، بحيث يكون كل عمود من أعمدة الناتج${\displaystyle C_{m}\,X}$له متوسط ​​يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن الضرب في${\displaystyle C_{n}}$على اليمين، يتم طرح قيمة متوسطة مقابلة من كل صف من الصفوف m ، وكل صف من صف الناتج${\displaystyle X\,C_{n}}$متوسطها يساوي صفرًا. ينتج عن عملية الضرب على كلا الجانبين مصفوفة مركزية مزدوجة${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$، والتي يكون متوسط ​​صفوفها وأعمدةها مساوياً للصفر.

توفر مصفوفة التمركز على وجه الخصوص طريقة موجزة للتعبير عن مصفوفة التشتت ،${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$من عينة بيانات${\displaystyle X\,}$، أين${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$يمثل متوسط ​​العينة . تسمح لنا مصفوفة التمركز بالتعبير عن مصفوفة التشتت بشكل أكثر إيجازًا كما يلي:

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$هي مصفوفة التغاير للتوزيع متعدد الحدود ، في الحالة الخاصة التي تكون فيها معلمات ذلك التوزيع هي${\displaystyle k=n}$، و${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$.