مصفوفة التشتت

للاطلاع على المفهوم في ميكانيكا الكم، انظر مصفوفة التشتت .

في الإحصاءات متعددة المتغيرات ونظرية الاحتمالات ، تعتبر مصفوفة التشتت إحصائية تستخدم لتقدير مصفوفة التغاير ، على سبيل المثال التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .

بافتراض وجود n عينة من البيانات ذات الأبعاد m ، ممثلة كمصفوفة m×n،${\displaystyle X=[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$، متوسط ​​العينة هو

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$العمود j من${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

مصفوفة التشتت هي مصفوفة شبه محددة موجبة من الرتبة m × m

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _ {j} - {\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\يمين)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\mathbf {x} }}^{T}}$

أين${\displaystyle (\cdot )^{T}}$يشير الرمز ^{[ 2 ]} إلى منقولة المصفوفة ، والضرب يتعلق بالضرب الخارجي . يمكن التعبير عن مصفوفة التشتت بشكل أكثر إيجازًا كما يلي:

${\displaystyle S=X\,C_{n}\,X^{T}}$

أين${\displaystyle \,C_{n}}$هي مصفوفة التمركز من الرتبة n × n .

يمكن التعبير عن تقدير الاحتمال الأقصى ، بالنظر إلى n عينة، لمصفوفة التغاير لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات على شكل مصفوفة التشتت المعيارية.

${\displaystyle C_{ML}={\frac {1}{n}}S.}$^{[ 3 ]}

عندما تكون أعمدة${\displaystyle X}$يتم أخذ عينات مستقلة من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات، ثم${\displaystyle S}$لديها شركة توزيع ويشارت .

• تقدير مصفوفات التغاير
• مصفوفة التغاير العيني
• توزيع ويشارت
• المنتج الخارجي —${\displaystyle XX^{\top }}$أو X⊗X هو حاصل الضرب الخارجي لـ X مع نفسه.
• مصفوفة غرام