مصفوفة سيلفستر

في الرياضيات ، مصفوفة سيلفستر هي مصفوفة مرتبطة بكثيرتي حدود أحاديتي المتغير، معاملاتهما تنتمي إلى حقل أو حلقة تبديلية . عناصر مصفوفة سيلفستر لكثيرتي الحدود هي معاملات هاتين الكثيرتي الحدود. محدد مصفوفة سيلفستر لكثيرتي الحدود هو محصلتهما ، وهو يساوي صفرًا عندما يكون لكثيرتي الحدود جذر مشترك (في حالة المعاملات في حقل) أو قاسم مشترك غير ثابت (في حالة المعاملات في مجال تكاملي ).

سميت مصفوفات سيلفستر نسبة إلى جيمس جوزيف سيلفستر الذي استخدمها لأول مرة في عام 1853. ^{[ 1 ]}

بصورة رسمية، ليكن p و q كثيرتي حدود غير صفريتين، من الدرجة m و n على التوالي . وبالتالي:

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

تكون مصفوفة سيلفستر المرتبطة بـ p و q هي${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$تم إنشاء المصفوفة على النحو التالي:

• إذا كانت قيمة n أكبر من صفر، فإن الصف الأول هو:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• الصف الثاني هو الصف الأول، مع إزاحته عمودًا واحدًا إلى اليمين؛ العنصر الأول في الصف هو صفر.
• يتم الحصول على الصفوف n − 2 التالية بنفس الطريقة، عن طريق تحريك المعاملات عمودًا واحدًا إلى اليمين في كل مرة وتعيين الإدخالات الأخرى في الصف لتكون 0.  
• إذا كانت قيمة m أكبر من 0، فإن الصف ( n  + 1) هو: 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• يتم الحصول على الصفوف التالية بنفس الطريقة السابقة.

وبالتالي، إذا كانت m  =  4 و n  =  3، فإن المصفوفة هي:

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3 }&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.}$

إذا كانت إحدى درجات متعددة الحدود تساوي صفرًا (أي أن متعددة الحدود المقابلة لها هي متعددة حدود ثابتة غير صفرية)، فإن مصفوفة سيلفستر تكون مصفوفة قطرية ذات بُعد يساوي درجة متعددة الحدود غير الثابتة، وجميع معاملات قطرها تساوي معاملات متعددة الحدود الثابتة. أما إذا كانت m = n = 0، فإن مصفوفة سيلفستر تكون مصفوفة فارغة ذات صفوف وأعمدة صفرية.

تظهر مصفوفة سيلفستر المعرّفة أعلاه في ورقة بحثية لسيلفستر عام 1840. وفي ورقة بحثية أخرى عام 1853، قدّم سيلفستر المصفوفة التالية، وهي، مع مراعاة تبديل الصفوف، مصفوفة سيلفستر للمصفوفتين p و q ، اللتين تُعتبران من الدرجة القصوى ( m , n ). ^{[ 2 ]} وبالتالي، فإن هذه المصفوفة هي${\displaystyle 2\max(n,m)\times 2\max(n,m)}$مصفوفة تحتوي على${\displaystyle \max(n,m)}$أزواج من الصفوف. بافتراض${\displaystyle m>n,}$يتم الحصول عليه على النحو التالي:

• الزوج الأول هو:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• الزوج الثاني هو الزوج الأول، ولكن تم إزاحته عمودًا واحدًا إلى اليمين؛ العناصر الأولى في الصفين هي صفر.
• المتبقي${\displaystyle max(n,m)-2}$يتم الحصول على أزواج الصفوف بنفس الطريقة المذكورة أعلاه.

وبالتالي، إذا كانت m  =  4 و n  =  3، فإن المصفوفة هي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

محدد مصفوفة 1853، مع مراعاة الإشارة، هو حاصل ضرب محدد مصفوفة سيلفستر (الذي يُسمى محصلة p و q ) في ${\displaystyle p_{m}^{m-n}}$(لا يزال يفترض)${\displaystyle m\geq n}$).

تُستخدم هذه المصفوفات في الجبر التبادلي ، على سبيل المثال لاختبار ما إذا كان لكثيرتي حدود عامل مشترك (غير ثابت). في هذه الحالة، يكون محدد مصفوفة سيلفستر المرتبطة (والتي تُسمى محصلة كثيرتي الحدود) مساويًا للصفر. والعكس صحيح أيضًا.

حلول المعادلات الخطية الآنية

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle x}$هو متجه بحجم${\displaystyle n}$و${\displaystyle y}$له حجم${\displaystyle m}$، تتضمن متجهات المعاملات لتلك الأزواج فقط${\displaystyle x,y}$من كثيرات الحدود (من الدرجات)${\displaystyle n-1}$و${\displaystyle m-1}$(على التوالي) والتي تحقق

${\displaystyle x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,}$

حيث يتم استخدام ضرب وجمع كثيرات الحدود. هذا يعني أن نواة مصفوفة سيلفستر المنقولة تعطي جميع حلول معادلة بيزو حيث${\displaystyle \deg x<\deg q}$و${\displaystyle \deg y<\deg p}$.

وبالتالي، فإن رتبة مصفوفة سيلفستر تحدد درجة القاسم المشترك الأكبر لـ p و q :

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.}$

علاوة على ذلك، يمكن التعبير عن معاملات هذا القاسم المشترك الأكبر كمحددات للمصفوفات الفرعية لمصفوفة سيلفستر (انظر النتيجة الفرعية ).

• مصفوفة النقل
• مصفوفة بيزو

• وايسستين، إريك دبليو. “مصفوفة سيلفستر” . عالم الرياضيات .