المصفوفة المتقاربة

في الجبر الخطي ، المصفوفة المتقاربة هي مصفوفة تتقارب إلى المصفوفة الصفرية تحت تأثير عملية رفع المصفوفة إلى الأس .

عندما تصبح قوى المصفوفة T المتتالية صغيرة (أي عندما تقترب جميع عناصر T من الصفر عند رفع T إلى قوى متتالية)، فإن المصفوفة T تتقارب إلى المصفوفة الصفرية. ينتج عن التجزئة المنتظمة للمصفوفة A غير المنفردة مصفوفة متقاربة T. وينتج عن التجزئة شبه المتقاربة للمصفوفة A مصفوفة شبه متقاربة T. تتقارب طريقة التكرار العامة لكل متجه ابتدائي إذا كانت T متقاربة، وفي ظل شروط معينة إذا كانت T شبه متقاربة.

نسمي المصفوفة T من الرتبة n × n مصفوفة متقاربة إذا

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(\mathbf {T} ^{k})_{ij}=0,}$

1

لكل i = 1، 2، ...، n و j = 1، 2، ...، n . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

يترك

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

بحساب القوى المتتالية لـ T ، نحصل على

$\displaystyle \begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

وبشكل عام،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

منذ

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0}$

و

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,}$

المصفوفة T متقاربة . لاحظ أن ρ ( T ) = 1/4 ، حيث يمثل ρ ( T ) نصف قطر الطيف للمصفوفة T ، لأن 1/4 هي القيمة الذاتية الوحيدة للمصفوفة T.

لتكن T مصفوفة من الرتبة n × n . الخصائص التالية مكافئة لكون T مصفوفة متقاربة:

1. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$لبعض المعايير الطبيعية؛
2. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$بالنسبة لجميع المعايير الطبيعية؛
3. ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$؛
4. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$لكل قيمة x . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

تتضمن الطريقة التكرارية العامة عملية تحويل نظام المعادلات الخطية

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

2

إلى نظام مكافئ من الشكل

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c} }$

3

لبعض المصفوفة T والمتجه c . بعد اختيار المتجه الأولي x ⁽⁰⁾ ، يتم توليد سلسلة متجهات الحل التقريبي عن طريق الحساب

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {Tx} ^{(k)}+\mathbf {c} }$

4

لكل k ≥ 0. ^{[ 8 ] [ 9 ]} لأي متجه ابتدائي x ⁽⁰⁾ ∈${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، التسلسل${\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }}$وفقًا للمعادلة ( 4 )، لكل k ≥ 0 و c ≠ 0، يتقارب الحل إلى الحل الوحيد للمعادلة ( 3 ) إذا وفقط إذا كان ρ ( T ) < 1، أي أن T مصفوفة متقاربة. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

تقسيم عادي

تجزئة المصفوفة هي تعبير يُمثل مصفوفة معينة كمجموع أو فرق بين مصفوفتين. في نظام المعادلات الخطية ( 2 ) أعلاه، حيث A مصفوفة غير منفردة، يمكن تجزئة المصفوفة A ، أي كتابتها كفرق بين مصفوفتين.

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} }$

5

بحيث يمكن إعادة كتابة ( 2 ) على النحو ( 4 ) أعلاه. يكون التعبير ( 5 ) تجزئة منتظمة للمصفوفة A إذا وفقط إذا كان B ^{− 1} ≥ 0 و C ≥ 0 ، أي أن B ^{− 1} و C لهما عناصر غير سالبة فقط. إذا كانت التجزئة ( 5 ) تجزئة منتظمة للمصفوفة A و A ^{− 1} ≥ 0 ، فإن ρ ( T ) < 1 وتكون T مصفوفة متقاربة. وبالتالي، فإن الطريقة ( 4 ) متقاربة. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

نسمي المصفوفة T من الرتبة n × n مصفوفة شبه متقاربة إذا كانت النهاية

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}}$

6

موجود. ^{[ 14 ]} إذا كانت A قد تكون شاذة ولكن ( 2 ) متسقة، أي أن b تقع في مدى A ، فإن المتتالية المعرفة بـ ( 4 ) تتقارب إلى حل لـ ( 2 ) لكل x ⁽⁰⁾ ∈${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا وفقط إذا ^كانت T شبه متقاربة. في هذه الحالة، يُطلق على التقسيم ( 5 ) اسم تقسيم شبه متقارب لـ A. ^{[ 15} ]

• طريقة جاوس-سيدل
• طريقة جاكوبي
• قائمة المصفوفات
• مصفوفة عديمة القوة
• الاسترخاء المفرط المتتالي

• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1993)، التحليل العددي (  الطبعة الخامسة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت ، ISBN 0-534-93219-3.
• إسحاقسون، يوجين؛ كيلر، هربرت بيشوب (1994)، تحليل الطرق العددية ، نيويورك: دوفر ، ISBN 0-486-68029-0.
• كارل د. ماير الابن؛ آر جيه بليمونز (سبتمبر 1977). "قوى متقاربة لمصفوفة مع تطبيقات على الطرق التكرارية للأنظمة الخطية المفردة". مجلة SIAM للتحليل العددي . 14 (4): 699-705 . Bibcode : 1977SJNA...14..699M . doi : 10.1137/0714047 .
• فارغا، ريتشارد س. (1960). "التحليل إلى عوامل وطرق التكرار المعيارية". في: لانجر، رودولف إي. (محرر). مسائل الحدود في المعادلات التفاضلية . ماديسون: مطبعة جامعة ويسكونسن . ص 121-142 . LCCN 60-60003 .  
• فارغا، ريتشارد س. (1962)، التحليل التكراري للمصفوفات ، نيو جيرسي: برنتيس هول ، رمز Bibcode : 1962mia..book.....V ، رقم مكتبة الكونغرس 62-21277 .