طريقة جاكوبي

ثم يمكن تحليل A إلى مكون قطري D ، وجزء مثلثي سفلي L ، وجزء مثلثي علوي U :$${\displaystyle A=D+L+U\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}L+U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$$ثم يتم الحصول على الحل بشكل تكراري عبر

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -(L+U)\mathbf {x} ^{(k)}).}$

الصيغة القائمة على العناصر لكل صف${\displaystyle i}$وبالتالي:$${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$حساب${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}}$يتطلب كل عنصر في${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$باستثناء نفسها. على عكس طريقة جاوس-سيدل ، لا يمكننا الكتابة فوقها.${\displaystyle x_{i}^{(k)}}$مع${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}}$حيث ستكون هذه القيمة مطلوبة لبقية العمليات الحسابية. الحد الأدنى لحجم التخزين هو متجهان بحجم n .

نظام خطي على الشكل${\displaystyle Ax=b}$مع التقدير الأولي${\displaystyle x^{(0)}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}$

نستخدم المعادلة${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})}$، كما هو موضح أعلاه، لتقدير${\displaystyle x}$أولاً، نعيد كتابة المعادلة بصيغة أكثر ملاءمة${\displaystyle D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})=Tx^{(k)}+C}$، أين${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$و${\displaystyle C=D^{-1}b}$انطلاقاً من القيم المعروفة $${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$$ نحدد${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$مثل $${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}.}$$ إضافي،${\displaystyle C}$يُعثر عليه على النحو التالي: $${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}.}$$ مع${\displaystyle T}$و${\displaystyle C}$بعد الحساب، نقدر${\displaystyle x}$مثل${\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}$: $${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}5\\1.143\\\end{bmatrix}}.}$$ ينتج عن التكرار التالي $${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}69/14\\-12/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}4.929\\-1.714\\\end{bmatrix}}.}$$ تُكرر هذه العملية حتى الوصول إلى التقارب (أي حتى${\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|}$(صغير). الحل بعد 25 تكرارًا هو

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}$

لنفترض أن لدينا النظام الخطي التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}10x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=6,\\-x_{1}+11x_{2}-x_{3}+3x_{4}&=25,\\2x_{1}-x_{2}+10x_{3}-x_{4}&=-11,\\3x_{2}-x_{3}+8x_{4}&=15.\end{aligned}}}$

إذا اخترنا (0،  0،  0،  0) كتقريب أولي، فإن الحل التقريبي الأول يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(6+0-(2*0))/10=0.6,\\x_{2}&=(25+0+0-(3*0))/11=25/11=2.2727,\\x_{3}&=(-11-(2*0)+0+0)/10=-1.1,\\x_{4}&=(15-(3*0)+0)/8=1.875.\end{aligned}}}$$ باستخدام التقريبات التي تم الحصول عليها، تُكرر العملية التكرارية حتى يتم الوصول إلى الدقة المطلوبة. فيما يلي الحلول التقريبية بعد خمس تكرارات.

${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle x_{4}}$
0.6	2.27272	-1.1	1.875
1.04727	1.7159	-0.80522	0.88522
0.93263	2.05330	-1.0493	1.13088
1.01519	1.95369	-0.9681	0.97384
0.98899	2.0114	-1.0102	1.02135

الحل الدقيق للنظام هو (1،  2، -1 ، 1)   .

إذا كانت مصفوفة النظام${\displaystyle A}$إذا كانت متماثلة وموجبة التحديد ، فيمكن إثبات التقارب.

يترك${\displaystyle C=C_{\omega }=I-\omega D^{-1}A}$لتكن مصفوفة التكرار. عندئذٍ، يكون التقارب مضمونًا لـ

${\displaystyle \rho (C_{\omega })<1\quad \Longleftrightarrow \quad 0<\omega <{\frac {2}{\lambda _{\text{max}}(D^{-1}A)}}\,,}$

أين${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$هي القيمة الذاتية القصوى.

يمكن تقليل نصف القطر الطيفي إلى الحد الأدنى لاختيار معين لـ${\displaystyle \omega =\omega _{\text{opt}}}$كما يلي $${\displaystyle \min _{\omega }\rho (C_{\omega })=\rho (C_{\omega _{\text{opt}}})=1-{\frac {2}{\kappa (D^{-1}A)+1}}\quad {\text{for}}\quad \omega _{\text{opt}}:={\frac {2}{\lambda _{\text{min}}(D^{-1}A)+\lambda _{\text{max}}(D^{-1}A)}}\,,}$$ أين${\displaystyle \kappa }$هو رقم حالة المصفوفة .