نموذج الاتصال

يترك${\displaystyle E}$لتكن حزمة متجهة ذات بُعد ليفي${\displaystyle k}$على مشعب قابل للتفاضل${\displaystyle M}$إطار محلي لـ${\displaystyle E}$هو أساس منظم للأقسام المحلية من${\displaystyle E}$من الممكن دائمًا إنشاء إطار محلي، حيث تُعرَّف حزم المتجهات دائمًا بدلالة التبسيطات المحلية ، قياسًا على أطلس متعدد الشعب. أي، بالنظر إلى أي نقطة${\displaystyle x}$على مشعب القاعدة${\displaystyle M}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle U\subseteq M}$ل${\displaystyle x}$والتي من أجلها حزمة المتجهات فوق${\displaystyle U}$هو تافه محليًا، أي أنه متماثل مع${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$التوقع إلى${\displaystyle U}$بنية الفضاء المتجهي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$وبذلك يمكن توسيع نطاقها ليشمل التبسيط المحلي الكامل، وقاعدة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$يمكن توسيع ذلك أيضًا؛ وهذا يُحدد الإطار المحلي. (هنا تُستخدم الأعداد الحقيقية، على الرغم من إمكانية توسيع جزء كبير من التطوير ليشمل الوحدات النمطية على الحلقات بشكل عام، والفضاءات المتجهة على الأعداد المركبة).${\displaystyle \mathbb {C} }$بخاصة.)

يترك${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{\alpha })_{\alpha =1,2,\dots ,k}}$كن إطارًا محليًا على${\displaystyle E}$يمكن استخدام هذا الإطار للتعبير محليًا عن أي قسم من${\displaystyle E}$على سبيل المثال، لنفترض أن${\displaystyle \xi }$هو مقطع محلي، معرف على نفس المجموعة المفتوحة مثل الإطار${\displaystyle \mathbb {e} }$. ثم

${\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$

أين${\displaystyle \xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$يشير إلى مكونات${\displaystyle \xi }$في الإطار${\displaystyle \mathbf {e} }$. كمعادلة مصفوفية، تُقرأ هذه المعادلة على النحو التالي

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

في النسبية العامة ، تُسمى حقول الإطار هذه بالرباعيات . تربط الرباعية تحديدًا الإطار المحلي بنظام إحداثيات صريح على مشعب القاعدة.${\displaystyle M}$(نظام الإحداثيات على${\displaystyle M}$(يتم تحديدها بواسطة الأطلس).

الاتصال في E هو نوع من أنواع المؤثرات التفاضلية

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}M}$

حيث يرمز Γ إلى حزمة المقاطع المحلية لحزمة متجهة، وΩ ¹ M هو وحدة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى على M. ولكي يكون D اتصالاً، يجب أن يكون مقترنًا بشكل صحيح بالمشتقة الخارجية . تحديدًا، إذا كان v مقطعًا محليًا من E ، و f دالة ملساء، فإن

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

حيث df هي المشتقة الخارجية لـ f .

أحيانًا يكون من الملائم توسيع تعريف D ليشمل أي شكل ذي قيم في E ، وبالتالي اعتباره مؤثرًا تفاضليًا على حاصل الضرب الموتري لـ E مع الجبر الخارجي الكامل للأشكال التفاضلية. وبالنظر إلى اتصال خارجي D يحقق خاصية التوافق هذه، يوجد امتداد وحيد لـ D :

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)}$

بحيث

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

حيث v متجانس من الدرجة deg v . بعبارة أخرى، D هو اشتقاق على حزمة الوحدات المتدرجة Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

ينشأ شكل الاتصال عند تطبيق الاتصال الخارجي على إطار معين e . عند تطبيق الاتصال الخارجي على e _α ، يكون هو المصفوفة الوحيدة k × k ( ω _α ^β ) للأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى على M بحيث

${\displaystyle De_{\alpha}=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

من حيث شكل الاتصال، يمكن الآن التعبير عن الاتصال الخارجي لأي جزء من E. على سبيل المثال، لنفترض أن ξ = Σ _α e _α ξ ^α . إذن

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

بأخذ المكونات من كلا الجانبين،

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

حيث يُفهم أن d و ω تشيران إلى المشتقة المركبة بالنسبة للإطار e ، ومصفوفة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى، على التوالي، والتي تؤثر على مركبات ξ . وعلى العكس من ذلك، فإن مصفوفة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى ω كافية مسبقًا لتحديد الاتصال بشكل كامل محليًا على المجموعة المفتوحة التي تُعرَّف عليها قاعدة المقاطع e .

يُعرَّف شكل الانحناء الثنائي لشكل اتصال في E بواسطة

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

بخلاف شكل الاتصال، يتصرف الانحناء موتريًا عند تغيير الإطار، وهو ما يمكن التحقق منه مباشرةً باستخدام مبرهنة بوانكاريه . تحديدًا، إذا كان e → e g تغييرًا في الإطار، فإن شكل الانحناء الثنائي يتحول بواسطة

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

أحد تفسيرات قانون التحويل هذا هو كما يلي: ليكن e * ^الأساس الثنائي المقابل للإطار e . عندئذٍ يكون الشكل الثنائي

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

مستقل عن اختيار الإطار. على وجه الخصوص، Ω هو شكل ثنائي متجهي القيم على M بقيم في حلقة التشكل الداخلي Hom( E , E ). رمزياً،

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

بالنسبة للوصلة الخارجية D ، يُعطى تحويل الانحناء الداخلي بواسطة

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

لكل v ∈ E (يمكننا تمديد v إلى مقطع محلي لتعريف هذا التعبير). وبالتالي، يقيس الانحناء فشل المتتالية

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{1}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{n}T^{*}(M))}$

أن يكون مركبًا متسلسلًا (بمعنى علم التماثل دي رام ).

لنفترض أن بُعد الألياف k للمجموعة E يساوي بُعد المتشعب M. في هذه الحالة، تُزود حزمة المتجهات E أحيانًا ببيانات إضافية إلى جانب اتصالها: شكل اللحام . شكل اللحام هو شكل أحادي القيمة متجهي مُعرَّف عالميًا θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) بحيث يكون التطبيق

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

هو تماثل خطي لجميع x ∈ M. إذا تم إعطاء شكل لحام، فمن الممكن تعريف التواء الوصلة (بدلالة الوصلة الخارجية) على النحو التالي:

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

الالتواء Θ هو شكل ثنائي ذو قيم E على M.

يمكن وصف شكل اللحام والالتواء المرتبط به بدلالة إطار محلي e من E. إذا كان θ شكل لحام، فإنه يتحلل إلى مكونات الإطار.

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

ثم تكون مكونات الالتواء

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

وكما هو الحال مع الانحناء، يمكن إثبات أن Θ يتصرف كموتر متغاير عند تغيير الإطار المرجعي:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

يمكن أيضًا استخلاص الالتواء المستقل عن الإطار من مكونات الإطار:

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

تربط متطابقات بيانكي الالتواء بالانحناء. وتنص متطابقة بيانكي الأولى على أن

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

بينما تنص هوية بيانكي الثانية على أن

${\displaystyle \,D\Omega =0.}$

على سبيل المثال، لنفترض أن M يحمل مقياسًا ريمانيًا . إذا كان لدينا حزمة متجهات E فوق M ، فيمكن تمديد المقياس ليشمل حزمة المتجهات بأكملها، ويُسمى مقياس الحزمة . عندئذٍ، يمكن تعريف اتصال متوافق مع مقياس الحزمة هذا، وهو اتصال المقياس . في الحالة الخاصة التي تكون فيها E هي حزمة المماس TM ، يُسمى اتصال المقياس اتصال ريمان ^. عند وجود اتصال ريمان، يمكن دائمًا إيجاد اتصال مكافئ فريد وخالٍ من الالتواء . هذا هو اتصال ليفي-سيفيتا على حزمة المماس TM لـ M. ^{[ 2} ] ^{[ 3 ]}

الإطار المحلي على الحزمة المماسية هو قائمة مرتبة من حقول المتجهات e = ( eᵢ | i ₌ 1 , 2, ..., n ) ، حيث n = dim M ، معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة من M ، وتكون مستقلة خطيًا عند كل نقطة من نطاقها. تُعرّف رموز كريستوفيل اتصال ليفي-سيفيتا كما يلي:

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

إذا كانت θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n } ، تُمثل الأساس الثنائي لحزمة الظل التمام ، بحيث يكون θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j ( دالة كرونكر دلتا )، فإن شكل الاتصال هو

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

من حيث شكل الاتصال، يُعطى الاتصال الخارجي على حقل متجه v = Σ _i e _i v ^{i بواسطة}

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

يمكن للمرء أن يستعيد صلة ليفي-تشيفيتا، بالمعنى المعتاد، من هذا عن طريق الانكماش مع e _i :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

يكون الاتصال متوافقًا مع بنية حزمة G على E بشرط أن ترسل خرائط النقل المتوازية المرتبطة بها دائمًا إطار G واحدًا إلى آخر. رسميًا، على طول منحنى γ، يجب أن يتحقق ما يلي محليًا (أي، لقيم t صغيرة بما فيه الكفاية ):

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

بالنسبة لمصفوفة g _α ^β (والتي قد تعتمد أيضًا على t ). التفاضل عند t = 0 يعطي

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

حيث تكون المعاملات ω _α ^β في جبر لي g لمجموعة لي G.

بناءً على هذه الملاحظة، فإن شكل الاتصال ω _α ^β المعرّف بواسطة

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

يتوافق مع البنية إذا كانت مصفوفة الأشكال الأحادية ω _α ^β ( e ) تأخذ قيمها في g .

علاوة على ذلك، فإن شكل الانحناء لوصلة متوافقة هو شكل ثنائي ذو قيمة g .

في ظل تغيير الإطار

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

حيث g دالة ذات قيم في G معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة من M ، ويتحول شكل الاتصال عبر

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

أو باستخدام ضرب المصفوفات:

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

لتفسير كل مصطلح من هذه المصطلحات، تذكر أن الدالة g  : M → G هي دالة ذات قيم في G (معرفة محليًا). مع وضع هذا في الاعتبار،

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

حيث ω _g هو شكل ماورر-كارتان للمجموعة G ، هنا تم سحبها مرة أخرى إلى M على طول الدالة g ، و Ad هو التمثيل المرافق لـ G على جبر لي الخاص بها.

لنفترض أن E → M حزمة متجهة ذات زمرة هيكلية G. ولتكن { U } غطاءً مفتوحًا لـ M ، بالإضافة إلى إطارات G على كل U ، ويرمز لها بـ e ∈ _U. وترتبط هذه الإطارات على تقاطعات المجموعات المفتوحة المتداخلة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

لبعض الدوال ذات القيم G h UV _{المعرفة} على U ∩ V.

ليكن _FGE مجموعة جميع الإطارات G المأخوذة فوق كل نقطة من M. هذه حزمة G رئيسية فوق M. بالتفصيل، باستخدام حقيقة أن الإطارات G جميعها مرتبطة بـ G ، يمكن تحقيق FGE _من خلال لصق البيانات بين مجموعات الغطاء المفتوح :

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

حيث علاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

على F _G E ، نُعرّف اتصالًا رئيسيًا G على النحو التالي، بتحديد شكل تفاضلي أحادي القيمة g على كل حاصل ضرب U × G ، والذي يحترم علاقة التكافؤ في مناطق التداخل. أولًا، ليكن

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

لتكن خرائط الإسقاط. الآن، بالنسبة لنقطة ( x , g ) ∈ U × G ، ضع

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

الشكل التفاضلي ω المُنشأ بهذه الطريقة يحترم الانتقالات بين المجموعات المتداخلة، وبالتالي ينحدر ليعطي شكلاً تفاضلياً معرفاً عالمياً على الحزمة الرئيسية FGE _. ويمكن إثبات أن ω هو اتصال رئيسي بمعنى أنه يعيد إنتاج مولدات فعل G الأيمن على _FGE ، ويربط بشكل متكافئ الفعل الأيمن على T(FGE ₎ مع التمثيل المرافق لـ G.

على العكس من ذلك، فإن اتصالًا رئيسيًا من النوع G، ω، في حزمة رئيسية من النوع G، P → M، يُنتج مجموعة من أشكال الاتصال على M. لنفترض أن e  : M → P هو مقطع محلي من P. عندئذٍ، يُعرّف سحب ω على طول e شكلًا أحادي القيمة من النوع g على M.

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

بتغيير الإطارات بواسطة دالة g ذات القيم G ، نرى أن ω( e ) تتحول بالطريقة المطلوبة باستخدام قاعدة لايبنيز، والاقتران:

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

حيث X هو متجه على M ، و d يشير إلى الدفع الأمامي .