الإحداثيات الطبيعية

الموسوعة الحرة

في الهندسة التفاضلية ، تُمثل الإحداثيات الطبيعية عند نقطة p في فضاء تفاضلي مزود بوصلة تآلفية متناظرة نظام إحداثيات محلي في جوار p ، يتم الحصول عليه بتطبيق الدالة الأسية على الفضاء المماسي عند p . في نظام الإحداثيات الطبيعية، تتلاشى رموز كريستوفيل للوصلة عند النقطة p ، مما يُبسط الحسابات المحلية في كثير من الأحيان. في الإحداثيات الطبيعية المرتبطة بوصلة ليفي-تشيفيتا لفضاء ريماني ، يمكن أيضًا ترتيب أن يكون موتر القياس هو دلتا كرونكر عند النقطة p ، وأن تتلاشى المشتقات الجزئية الأولى للقياس عند p .

تنص إحدى النتائج الأساسية للهندسة التفاضلية على أن الإحداثيات الطبيعية عند نقطة ما موجودة دائمًا على مشعب ذي اتصال تآلفي متناظر. في هذه الإحداثيات، يختزل المشتق المتغير إلى مشتق جزئي (عند النقطة p فقط)، وتكون الخطوط الجيوديسية المارة بالنقطة p دوالًا خطية محلية لـ t (المعامل التآلفي). وقد وظّف ألبرت أينشتاين هذه الفكرة بشكل أساسي في النظرية النسبية العامة : إذ يستخدم مبدأ التكافؤ الإحداثيات الطبيعية عبر الأطر المرجعية العطالية . توجد الإحداثيات الطبيعية دائمًا لاتصال ليفي-تشيفيتا لمشعب ريماني أو شبه ريماني . في المقابل، لا توجد عمومًا طريقة لتعريف الإحداثيات الطبيعية لمشعبات فينسلر بحيث تكون الخريطة الأسية قابلة للتفاضل مرتين ( بوسيمان، 1955 ) .

إحداثيات جيوديسية عادية

الإحداثيات الجيوديسية العادية هي إحداثيات محلية على متعدد الشعب ذي اتصال أفيني مُعرَّف بواسطة الخريطة الأسية

خبرةص:تيصم⊃V→م{\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M}

معV{\displaystyle V}حي مفتوح بقيمة 0 فيتيصم{\displaystyle T_{p}M}وتماثل

هـ:Rن→تيصم{\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M}

معطى بأي أساس للفضاء المماسي عند نقطة الأساس الثابتةص∈م{\displaystyle p\in M}إذا تم فرض بنية إضافية لمقياس ريماني، فقد يكون من المطلوب أن يكون الأساس المحدد بواسطة E متعامدًا بالإضافة إلى ذلك ، ويُعرف نظام الإحداثيات الناتج حينها باسم نظام إحداثيات ريماني طبيعي .

توجد إحداثيات طبيعية في جوار طبيعي لنقطة p في M. الجوار الطبيعي U هو مجموعة جزئية مفتوحة من M بحيث يوجد جوار فعلي V للنقطة الأصلية في الفضاء المماسي T p M ، ويعمل exp p كتحويل تماثلي بين U و V. في جوار طبيعي U للنقطة p في M ، يُعطى المخطط كما يلي:

φ:=هـ-1∘خبرةص-1:يو→Rن{\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}

إن التشاكل E، وبالتالي المخطط، ليس فريدًا بأي حال من الأحوال. الجوار الطبيعي المحدب U هو جوار طبيعي لكل p في U. وقد أثبت جيه إتش سي وايتهيد وجود هذا النوع من الجوارات المفتوحة (التي تشكل أساسًا طوبولوجيًا ) للاتصالات الأفينية المتناظرة.

ملكيات

تُسهّل خصائص الإحداثيات العادية العمليات الحسابية في كثير من الأحيان. فيما يلي، افترض أنيو{\displaystyle U}هو حي سكني عادي يتمركز في نقطة واحدةص{\displaystyle p}فيم{\displaystyle M}وxأنا{\displaystyle x^{i}}هي إحداثيات طبيعية علىيو{\displaystyle U}.

  • يتركV{\displaystyle V}ليكن متجهًا ما منتيصم{\displaystyle T_{p}M}مع المكوناتVأنا{\displaystyle V^{i}}في الإحداثيات المحلية، وγV{\displaystyle \gamma _{V}}كن الجيوديسي معγV(0)=ص{\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}وγV′(0)=V{\displaystyle \gamma _{V}'(0)=V}ثم في الإحداثيات العادية،γV(ت)=(تV1،...،تVن){\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},\ldots ,tV^{n})}طالما أنه فييو{\displaystyle U}وبالتالي، فإن المسارات الشعاعية في الإحداثيات العادية هي بالضبط الخطوط الجيوديسية التي تمر عبرها.ص{\displaystyle p}.
  • إحداثيات النقطةص{\displaystyle p}نكون(0،...،0){\displaystyle (0,\ldots ,0)}.
  • في الإحداثيات الطبيعية الريمانية عند نقطةص{\displaystyle p}مكونات المقياس الريمانيزأناج{\displaystyle g_{ij}}بسّط إلىدلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}، أي،زأناج(ص)=دلتاأناج{\displaystyle g_{ij}(p)=\delta _{ij}}.
  • تختفي رموز كريستوفيل عندص{\displaystyle p}، أي،Γأناجك(ص)=0{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}في حالة ريمان، كذلك المشتقات الجزئية الأولى لـزأناج{\displaystyle g_{ij}}، أي،∂زأناج∂xك(ص)=0،∀أنا،ج،ك{\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}.

الصيغ الصريحة

في جوار أي نقطةص=(0،...0){\displaystyle p=(0,\ldots 0)} مزود بنظام إحداثيات متعامد محليًا حيث زμν(0)=دلتاμν{\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }}وموتر ريمان عندص{\displaystyle p}يأخذ القيمةRμσντ(0){\displaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)} يمكننا تعديل الإحداثياتxμ{\displaystyle x^{\mu }}بحيث تكون مكونات موتر القياس بعيدة عن ص{\displaystyle p}يصبح

زμν(x)=دلتاμν-13Rμσντ(0)xσxτ+يا(|x|3).{\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3}).}

رموز كريستوفيل المقابلة لعلاقة ليفي-تشيفيتا هي

Γλμν(x)=-13[Rλνμτ(0)+Rλμντ(0)]xτ+يا(|x|2).{\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}{R^{\lambda }}_{\nu \mu \tau }(0)+{R^{\lambda }}_{\mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2}).}

وبالمثل، يمكننا إنشاء إطارات مشتركة محليةهـ*أ=هـμ*أدxμ{\displaystyle {\mathbf {e}}^{*a}=e_{\mu }^{*a}dx^{\mu }}في أي

هـμ*أ(x)=دلتاأμ-16Rأσμτ(0)xσxτ+يا(x2)،{\displaystyle e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),}

وتأخذ معاملات الاتصال الدوراني القيم التالية

ωأبμ(x)=-12Rأبμτ(0)xτ+يا(|x|2).{\displaystyle {\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\tfrac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).}

الإحداثيات القطبية

في فضاء ريماني، يُسهّل نظام الإحداثيات العمودي عند النقطة p إدخال نظام إحداثيات كروية، يُعرف بالإحداثيات القطبية. هذه الإحداثيات هي تلك المُستمدة من إدخال نظام الإحداثيات الكروية القياسي على الفضاء الإقليدي TpM . أي ، يتم إدخال نظام الإحداثيات الكروية القياسي ( r, φ) على TpM ، حيث r ≥ 0 هو المعامل القطري، وφ = (φ₁ , ..., φₙ₋₁ ) هي تمثيلٌ للكرة ( n₋₁ ) . يُشكّل تركيب ( r , φ) مع معكوس الدالة الأسية عند النقطة p نظام إحداثيات قطبية .    

تُوفّر الإحداثيات القطبية عددًا من الأدوات الأساسية في الهندسة الريمانية. ويُعدّ الإحداثي القطري أهمها، إذ يُمثّل هندسيًا المسافة الجيوديسية إلى النقطة p من النقاط المجاورة. وتنصّ مبرهنة غاوس على أن تدرج r هو ببساطة المشتق الجزئي .∂/∂ر{\displaystyle \partial /\partial r}. إنه،

⟨دو،در⟩=∂و∂ر{\displaystyle \langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}}

لأي وظيفة سلسةو{\displaystyle f}ونتيجة لذلك، يتخذ المقياس في الإحداثيات القطبية شكلاً قطريًا كتليًا

ز=[10⋯ 00⋮زϕϕ(ر،ϕ)0].{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.}

مراجع

انظر أيضاً