خريطة غاوس

في الهندسة التفاضلية ، تُعرَّف خريطة غاوس لسطح ما بأنها دالة تُسقط كل نقطة على السطح باتجاهها العمودي ، وهو متجه وحدة متعامد مع السطح عند تلك النقطة. بمعنى آخر، إذا كان لدينا سطح X في الفضاء الإقليدي R³ ^، فإن خريطة غاوس هي دالة N : X → S² (حيث S² هي كرة الوحدة ) بحيث يكون لكل ^نقطة p في X ^، قيمة الدالة N ( p ) متجه وحدة متعامد مع X عند النقطة p . وقد سُميت خريطة غاوس نسبةً إلى كارل ف. غاوس .

يمكن تعريف خريطة غاوس (بشكل عام) إذا وفقط إذا كان السطح قابلاً للتوجيه ، وفي هذه الحالة تكون درجتها نصف خاصية أويلر . يمكن دائمًا تعريف خريطة غاوس محليًا (أي على جزء صغير من السطح). محدد جاكوبي لخريطة غاوس يساوي انحناء غاوس ، ويُسمى تفاضل خريطة غاوس عامل الشكل .

كتب غاوس مسودة أولية حول هذا الموضوع في عام 1825 ونشرها في عام 1827. ^{[ 1 ]}

يوجد أيضًا مخطط غاوس للرابط ، والذي يحسب رقم الربط .

يمكن تعريف خريطة جاوس للأسطح الفائقة في R ⁿ على أنها خريطة من سطح فائق إلى كرة الوحدة S ^{n − 1}  ⊆ R ⁿ . 

بالنسبة لمتشعب فرعي عام موجه من الرتبة k في R ^n، يمكن أيضًا تعريف خريطة غاوس، ويكون فضاء الهدف الخاص بها هو غراسمانيان الموجه .${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$أي مجموعة جميع المستويات k الموجهة في R ⁿ . في هذه الحالة، تُسقط نقطة على الفضاء الفرعي إلى فضاءها المماسي الموجه. ويمكن أيضًا إسقاطها إلى فضاءها العمودي الموجه ؛ وهما متكافئان.${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{nk,n}}$عن طريق المتمم المتعامد. في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، يعني هذا أن المستوى ثنائي الأبعاد الموجه يتميز بخط أحادي الأبعاد موجه، وهو ما يعادل متجه الوحدة العمودي (كما هو موضح).${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$وبالتالي، فإن هذا يتوافق مع التعريف أعلاه. ^{[ 2 ]}

أخيرًا، يمكن تعميم مفهوم خريطة غاوس ليشمل فضاءً فرعيًا موجهًا X ذي بُعد k في فضاء ريماني محيط موجه M ذي بُعد n . في هذه الحالة، تنتقل خريطة غاوس من X إلى مجموعة المستويات المماسية k في الحزمة المماسية TM . الفضاء المستهدف لخريطة غاوس N هو حزمة غراسمان مبنية على الحزمة المماسية TM . في حالة${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$، يتم تبسيط الحزمة المماسية (لذا تصبح حزمة غراسمان خريطة إلى غراسمانيان)، ونستعيد التعريف السابق.

تُسمى مساحة صورة خريطة غاوس بالانحناء الكلي ، وهي تُعادل التكامل السطحي لانحناء غاوس ضمن المناطق التي لا تتغير فيها إشارة الانحناء. هذا هو التفسير الأصلي الذي قدمه غاوس.

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

تربط نظرية غاوس -بونيه الانحناء الكلي للسطح بخصائصه الطوبولوجية .

تعكس خريطة غاوس العديد من خصائص السطح: فعندما يكون انحناء غاوس للسطح صفراً (أي على طول خط مكافئ )، فإن خريطة غاوس ستشهد طية كارثية . ^{[ 3 ]} قد تحتوي هذه الطية على نقاط حادة ، وقد دُرست هذه النقاط بعمق من قِبل توماس بانشوف ، وتيرينس غافني، وكلينت مكروي . كل من الخطوط المكافئة والنقاط الحادة ظواهر مستقرة، وستبقى ثابتة حتى مع التشوهات الطفيفة للسطح. تحدث النقاط الحادة عندما:

1. السطح له مستوى ثنائي المماس؛
2. يتقاطع نتوء جبلي مع خط مكافئ؛
3. عند إغلاق مجموعة نقاط الانعطاف للمنحنيات التقاربية للسطح.

يوجد نوعان من الحدبات: الحدبة الإهليلجية والحدبة الزائدية .

• غاوس، KF، Disquisitiones Generales circa superficies curvas (1827)
• جاوس، ك. ف.، دراسات عامة للأسطح المنحنية ، ترجمة إنجليزية. هيوليت، نيويورك: دار رافين للنشر (1965).
• بانشوف، ت.، غافني، ت.، مكروي، س.، نقاط التقاء تطبيقات غاوس ، (1982) ملاحظات بحثية في الرياضيات 55، بيتمان، لندن. نسخة إلكترونية مؤرشفة بتاريخ 2008-08-02 على موقع Wayback Machine <-- رابط معطل؛ نسخة دان دريبيلبيس الإلكترونية (تم الاطلاع عليها بتاريخ 2023-07-01)، مؤرشفة بتاريخ 2008-08-02 على موقع Wayback Machine
• كوينديرينك، جي جي، الشكل الصلب ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (1990)

• فايستين، إريك دبليو. “خريطة غاوس” . عالم الرياضيات .
• توماس بانشوف؛ تيرينس غافني؛ كلينت مكروي؛ دانيال دريبيلبيس (1982). نقاط التقاء تطبيقات غاوس . مذكرات بحثية في الرياضيات. المجلد  55. لندن: دار نشر بيتمان المحدودة. ISBN 0-273-08536-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مارس 2016 .