رسم الخرائط شبه المطابقة

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي المركب ، يُعرف التحويل شبه المطابق بأنه تماثل شكلي (قابل للتفاضل بشكل ضعيف) بين نطاقات مستوية ، يحول الدوائر الصغيرة إلى أشكال بيضاوية صغيرة ذات انحراف مركزي محدود، وذلك من الدرجة الأولى . تُعد التحويلات شبه المطابقة تعميمًا للتحويلات المطابقة ، حيث تسمح بتشويه محدود للزوايا محليًا. وقد قدم غروتزش (1928) مفهوم التحويلات شبه المطابقة ، وأطلق عليها أهلفورس (1935) هذا الاسم .

بشكل بديهي، ليكن f  : D  → D ′ تماثلًا يحافظ على التوجيه بين مجموعات مفتوحة في المستوى. إذا كانت f قابلة للتفاضل باستمرار ، فإنها تكون K- شبه متطابقة إذا كان مشتقها، عند كل نقطة، يحول الدوائر إلى أهليجات بنسبة المحور الأكبر إلى المحور الأصغر محدودة بـ K. 

تعريف

لنفترض أن f  : D  → D ′ حيث D و D ′ مجالان في C. توجد تعريفات مكافئة متعددة، تعتمد على مدى سلاسة f المطلوبة . إذا افترضنا أن f لها مشتقات جزئية متصلة ، فإن f تكون شبه مطابقة إذا حققت معادلة بلترامي. 

لبعض القيم المركبة القابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ μ والتي تحققرشفة|μ|<1{\displaystyle \sup |\mu |<1}( بيرس 1977 ) . تقبل هذه المعادلة تفسيرًا هندسيًا. زوّد D بموتر القياس

دs2=Ω(z)2|دz+μ(z)دz¯|2،{\displaystyle ds^{2}=\أوميغا (z)^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},}

حيث Ω( z )  >  0. عندئذٍ، تحقق الدالة f الشرط ( 1 ) تحديدًا عندما تكون تحويلًا توافقيًا من المجال D المزود بهذا المقياس إلى المجال D ′ المزود بالمقياس الإقليدي القياسي. تُسمى الدالة f حينها بالدالة μ- التوافقية . وبشكل أعم، يمكن استبدال قابلية اشتقاق f المستمرة بالشرط الأضعف وهو أن تكون f في فضاء سوبوليف W1,2 ( D ) للدوال التي تقع مشتقاتها التوزيعية من الرتبة الأولى في L2 ( D ) . في هذه الحالة، يُشترط أن تكون f حلًا ضعيفًا للمعادلة ( 1 ) . عندما تكون μ صفرًا في كل مكان تقريبًا، فإن أي تماثل في W1,2 ( D ) يمثل حلًا ضعيفًا للمعادلة ( 1 ) يكون توافقيًا.

دون اللجوء إلى مقياس مساعد، لننظر في تأثير التراجع تحت تأثير الدالة f للمقياس الإقليدي المعتاد. يُعطى المقياس الناتج حينها بالصيغة التالية:

|∂و∂z|2|دz+μ(z)دz¯|2{\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}

والتي، بالنسبة للمقياس الإقليدي الأساسيدzدz¯{\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}، له قيم ذاتية

(1+|μ|)2|∂و∂z|2،(1-|μ|)2|∂و∂z|2.{\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2},\qquad (1-|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}.}

تمثل القيم الذاتية، على التوالي، مربع طول المحور الرئيسي والمحور الثانوي للقطع الناقص الذي تم الحصول عليه عن طريق السحب للخلف على طول دائرة الوحدة في المستوى المماس.

وبناءً على ذلك، يُعرَّف تمدد الدالة f عند النقطة z كما يلي:

ك(z)=1+|μ(z)|1-|μ(z)|.{\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}

القيمة العليا (الأساسية) لـ K ( z ) تُعطى بواسطة

ك=رشفةz∈د|ك(z)|=1+‖μ‖∞1-‖μ‖∞{\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}

ويُطلق عليه اسم تمدد f . إذا كانت f شبه مطابقة من النوع K لبعض قيم K المحدودة ، فإن f تكون شبه مطابقة. 

يُعرَّف الطول الأقصى بناءً على مفهوم الطول الأقصى كما يلي: إذا وُجد عددٌ محدودٌ K بحيث يكون الطول الأقصى لكل مجموعة Γ من المنحنيات في D على الأكثر K ضعف الطول الأقصى للمجموعة { f o γ : γ ∈ Γ }. فإن f تكون شبه مطابقة من النوع K.      

ملكيات

إذا كانت K > 1 فإن الخرائط x + iy ↦ Kx + iy و x + iy ↦ x + iKY كلاهما شبه متطابق وله تمدد ثابت K.

إذا كانت قيمة s أكبر من -1، فإن الخريطةz↦z|z|s{\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}هو شبه متطابق (حيث z عدد مركب ) وله تمدد ثابتالأعلى(1+s،11+s){\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}عندما لا يساوي s صفرًا، فهذا مثال على تماثل شبه متطابق غير أملس. أما إذا كان s يساوي صفرًا، فهذا ببساطة هو تطبيق التطابق.

يكون التشاكل المتماثل شبه متطابق من الرتبة 1 إذا وفقط إذا كان متطابقًا. إذا كان f  : D → D ′ شبه متطابق من الرتبة K، وكان g  : D ′ → D ″ شبه متطابق من الرتبة K ′، فإن g  o f يكون شبه متطابق من الرتبة KK ′. معكوس التشاكل المتماثل شبه المتطابق من الرتبة K هو شبه متطابق من الرتبة K. بما أن التطبيقات شبه المتطابقة من الرتبة K محفوظة عند تركيبها مع التطبيقات المتطابقة، يمكن تعميم مفهوم التطبيقات شبه المتطابقة من الرتبة K ليشمل أسطح ريمان العامة . 

إن فضاء التحويلات شبه المطابقة من المستوى المركب إلى نفسه والتي تحول ثلاث نقاط متميزة إلى ثلاث نقاط معطاة هو فضاء مضغوط.

نظرية ريمان القابلة للقياس

تُعدّ نظرية ريمان للتحويلات القابلة للقياس ، التي أثبتها لارس أهلفورس وليبمان بيرس، ذات أهمية مركزية في نظرية التحويلات شبه المطابقة في بُعدين . تُعمّم هذه النظرية نظرية ريمان للتحويلات من التحويلات المطابقة إلى التحويلات شبه المطابقة، وتُصاغ على النحو التالي: لنفترض أن D نطاق بسيط الاتصال في C لا يساوي C ، ولنفترض أن μ  : D → C قابل للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ ويحقق الشرط التالي:‖μ‖∞<1{\displaystyle \|\mu \|_{\infty <1}ثم يوجد تماثل شبه متطابق f من D إلى القرص الواحدي، وهو موجود في فضاء سوبوليف W 1,2 ( D ) ويحقق معادلة بلترامي المناظرة ( 1 ) بالمعنى التوزيعي . وكما هو الحال مع نظرية ريمان للتطبيقات، فإن هذا التماثل f فريد حتى ثلاثة معلمات حقيقية.

الهندسة الحسابية شبه المطابقة

حظيت الهندسة شبه المطابقة باهتمام متزايد في مجالات متنوعة، مثل الرياضيات التطبيقية، ورؤية الحاسوب، والتصوير الطبي. وقد طُوّرت الهندسة شبه المطابقة الحاسوبية، التي تُوسّع نظرية شبه المطابقة لتشمل إطارًا منفصلاً. ووجدت تطبيقات مهمة في تحليل الصور الطبية، ورؤية الحاسوب، والرسومات الحاسوبية. [ 1 ]

انظر أيضاً

مراجع