مثلث اللمس

في الهندسة الإقليدية ، يتم تشكيل المثلث الخارجي للمثلث عن طريق توصيل النقاط التي تلامس عندها الدوائر الخارجية الثلاثة المثلث.

تُعطى رؤوس مثلث extouch في الإحداثيات الثلاثية الخطية كما يلي :

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

أو بصورة مكافئة، حيث a و b و c هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا A و B و C على التوالي،

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{B}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&0&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{C}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&0\end{array}}}$$

كذلك، إذا رمزنا لنصف محيط المثلث بـ s ، فإن رؤوس مثلث extouch تُعطى بالإحداثيات الباريسنترية كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&s-b&:&s-c\\T_{B}=&s-a&:&0&:&s-c\\T_{C}=&s-a&:&s-b&:&0\end{array}}}$$

خطوط تقسيم المثلث هي خطوط تصل رؤوس المثلث الأصلي برؤوس المثلث المُستَخرَج المُقابلة لها؛ وهي تُنَصف محيط المثلث وتلتقي عند نقطة ناجل . هذه النقطة موضحة باللون الأزرق ومُعَلَّمة بالحرف "N" في الرسم التوضيحي.

يكون القطع الناقص الماندارتي مماساً لأضلاع المثلث المرجعي عند رؤوس المثلث الخارجي الثلاثة. ^{[ 1 ]}

مساحة المثلث الخارجي، K _T ، تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$

حيث K و r هما مساحة ونصف قطر الدائرة الداخلية ، و s هو نصف محيط المثلث الأصلي، و a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث الأصلي.

هذه هي نفس مساحة مثلث الاتصال . ^{[ 2 ]}