الفضاء الأفيني

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — في $\mathbb {R} ^{3}$ المستوى العلوي (باللون الأزرق ) $P_{2}$ ليس فضاءً جزئياً متجهياً، لأن $\mathbf {0} \notin P_{2}$ و $\mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2}$ هو *فضاء جزئي تآلفي* . اتجاهه (الفضاء الخطي المرتبط بهذا الفضاء الجزئي التآلفي) هو المستوى السفلي (الأخضر ) . $P_{1}$ ، وهو فضاء جزئي متجهي. على الرغم من $\mathbf {a}$ و $\mathbf {b}$ هم في $P_{2}$ ، الفرق بينهما هو *متجه إزاحة* ، وهو لا ينتمي إلى $P_{2},$ لكنها تنتمي إلى فضاء المتجهات $P_{1}$ ⁠ .

في الرياضيات ، الفضاء الأفيني هو بنية هندسية تعمم بعض خصائص الفضاءات الإقليدية بحيث تكون هذه الخصائص مستقلة عن مفاهيم المسافة وقياس الزوايا ، مع الاحتفاظ فقط بالخصائص المتعلقة بالتوازي ونسبة أطوال القطع المستقيمة المتوازية . الفضاء الأفيني هو الإطار الهندسي الأفيني .

كما هو الحال في الفضاء الإقليدي، تُسمى العناصر الأساسية في الفضاء الأفيني بالنقاط ، والتي يمكن اعتبارها مواقع في الفضاء بلا حجم أو شكل: أي ذات بُعد صفري. يمكن رسم خط مستقيم لانهائي يمر عبر أي زوج من النقاط ، وهو مجموعة نقاط أحادية البُعد؛ ويمكن رسم مستوى ثنائي البُعد يمر عبر أي ثلاث نقاط غير متوازية ؛ وبشكل عام، يمكن رسم فضاء فرعي مسطح أو أفيني ذي بُعد k يمر عبر k + 1 $نقطة$ $في أي موضع$ عام . يتميز الفضاء الأفيني بمفهوم أزواج الخطوط المتوازية التي تقع ضمن نفس المستوى ولكنها لا تتقاطع أبدًا ( تتقاطع الخطوط غير المتوازية ضمن نفس المستوى في نقطة واحدة). وبوجود أي خط، يمكن رسم خط موازٍ له يمر عبر أي نقطة في الفضاء، ويُقال إن فئة التكافؤ للخطوط المتوازية تشترك في اتجاه واحد .

على عكس المتجهات في الفضاء المتجهي ، لا توجد في الفضاء الأفيني نقطة مميزة تُعتبر نقطة أصل . لا يوجد مفهوم مُحدد مسبقًا لجمع أو ضرب النقاط، أو ضرب نقطة بعدد قياسي. مع ذلك، يُمكن لأي فضاء أفيني إنشاء فضاء متجهي مُرتبط به من الفروق بين نقطتي البداية والنهاية، والتي تُسمى متجهات حرة ، أو متجهات إزاحة ، أو متجهات انتقال ، أو ببساطة انتقالات . ^{[ 1 ]} وبالمثل، من المنطقي إضافة متجه إزاحة إلى نقطة في الفضاء الأفيني، مما ينتج عنه نقطة جديدة (في نفس الفضاء الأفيني) مُنتقلة من نقطة البداية بمقدار ذلك المتجه. بينما لا يُمكن جمع النقاط بشكل عشوائي، فمن المفيد أخذ تركيبات أفينية من النقاط: وهي عبارة عن مجاميع مُرجّحة بمعاملات عددية مجموعها يساوي 1، مما ينتج عنه نقطة أخرى. تُحدد هذه المعاملات نظام إحداثيات مركزي للسطح المُمتد عبر النقاط.

يمكن اعتبار أي فضاء متجهي فضاءً تآلفيًا؛ وهذا يعني تجاهل الدور الخاص الذي يلعبه المتجه الصفري . في هذه الحالة، يمكن اعتبار عناصر الفضاء المتجهي إما نقاطًا في الفضاء التآلفي أو متجهات إزاحة أو انتقالات . عند اعتباره نقطة، يُسمى المتجه الصفري نقطة الأصل . ينتج عن إضافة متجه ثابت إلى عناصر فضاء جزئي خطي (فضاء متجهي) من فضاء متجهي فضاءً تآلفيًا من الفضاء المتجهي. يُقال عادةً أن هذا الفضاء التآلفي قد تم الحصول عليه عن طريق إزاحة الفضاء الجزئي الخطي (بعيدًا عن نقطة الأصل) بواسطة متجه الإزاحة (المتجه المضاف إلى جميع عناصر الفضاء الجزئي الخطي). في الأبعاد المحدودة، يُمثل هذا الفضاء التآلفي مجموعة حلول نظام خطي غير متجانس . متجهات الإزاحة لهذا الفضاء التآلفي هي حلول النظام الخطي المتجانس المقابل ، وهو فضاء جزئي خطي. على النقيض من ذلك، تحتوي الفضاءات الجزئية الخطية دائمًا على نقطة أصل الفضاء المتجهي.

يُعرَّف بُعد الفضاء الأفيني بأنه بُعد فضاء المتجهات الخاص بإزاحاته. الفضاء الأفيني ذو البُعد الواحد هو خط أفيني. الفضاء الأفيني ذو البُعد الثاني هو مستوى أفيني . الفضاء الجزئي الأفيني ذو البُعد $n$ $- 1$ في فضاء أفيني أو فضاء متجه ذي بُعد $n$ هو مستوى فائق أفيني .

وصف غير رسمي

قد يكون الوصف التالي أسهل فهمًا من التعريف الرسمي المعتاد: الفضاء الأفيني هو ما يتبقى من الفضاء المتجهي بعد نسيان نقطة الأصل (أو، كما قال عالم الرياضيات الفرنسي مارسيل بيرغر : "الفضاء الأفيني ليس إلا فضاءً متجهيًا نحاول نسيان نقطة أصله، بإضافة إزاحات إلى التحويلات الخطية" ^{[ 2 ]} ). تخيل أن أليس تعرف أن نقطة معينة هي نقطة الأصل الحقيقية، لكن بوب يعتقد أن نقطة أخرى - لنسميها $p$ - هي نقطة الأصل. المطلوب جمع متجهين، $a$ و $b$ . يرسم بوب سهمًا من النقطة $p$ إلى النقطة $a$ وسهمًا آخر من النقطة $p$ إلى النقطة $b$ ، ويكمل متوازي الأضلاع ليجد ما يعتقد بوب أنه $a + b$ ، لكن أليس تعلم أنه في الواقع قد حسب a + b.

p + (a - p) + (b - p)

.

وبالمثل، يمكن لأليس وبوب حساب أي توليفة خطية من $a$ و $b$ ، أو من أي مجموعة محدودة من المتجهات، وسيحصلان عمومًا على إجابات مختلفة. مع ذلك، إذا كان مجموع معاملات التوليفة الخطية يساوي 1، فسيحصل أليس وبوب على نفس الإجابة.

إذا سافرت أليس إلى

λ a + (1 - λ) b

ثم يستطيع بوب السفر بالمثل إلى

p + lect (a - p) + (1 - lect)(b - p) = lect a + (1 - lect) b

.

في ظل هذا الشرط، بالنسبة لجميع المعاملات $λ + (1 - λ) = 1$ ، تصف أليس وبوب نفس النقطة بنفس التركيبة الخطية، على الرغم من استخدام أصول مختلفة.

بينما تعرف أليس فقط "البنية الخطية"، فإن كلاً من أليس وبوب يعرفان "البنية الأفينية" - أي قيم التركيبات الأفينية ، المعرفة على أنها تركيبات خطية يكون فيها مجموع المعاملات 1. المجموعة ذات البنية الأفينية هي فضاء أفيني.

تعريف

بينما يمكن تعريف الفضاء الأفيني بشكل بديهي (انظر § البديهيات أدناه)، على غرار تعريف الفضاء الإقليدي الذي تضمنه كتاب العناصر لإقليدس ، فإن معظم المصادر الحديثة تعرف الفضاءات الأفينية من حيث نظرية الفضاء المتجهي المتطورة جيدًا.

الفضاء الأفيني هو مجموعة $A$ بالإضافة إلى فضاء متجهي ${\overrightarrow {A}}$ ، وفعل متعدٍ وحر للمجموعة المضافة لـ ${\overrightarrow {A}}$ على المجموعة $A.$ ^{[ 3} ] تُسمى عناصر الفضاء الأفيني $A$ نقاطًا . ^الفضاء المتجهي ${\overrightarrow {A}}$ يقال إنها مرتبطة بالفضاء الأفيني، وتسمى عناصرها متجهات أو إزاحات أو أحيانًا متجهات حرة .

بشكل صريح، يعني التعريف أعلاه أن الفعل عبارة عن عملية ربط، ويُشار إليها عمومًا باسم الإضافة.

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

والتي لها الخصائص التالية. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

الهوية الصحيحة :
$\forall a\in A,\;a+0=a$ ، حيث $0$ هو متجه الصفر في ${\overrightarrow {A}}$
الترابط الاجتماعي :
$\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ $(هنا علامة الجمع$ الأخيرة هي الجمع في ${\overrightarrow {A}}$ )
الفعل الحر والمتعدي :
لكل $a\in A$ ، عملية رسم الخرائط ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$ هي دالة تقابلية .

الخاصيتان الأوليان هما ببساطة خصائص تعريفية لفعل المجموعة (اليمنى). أما الخاصية الثالثة فتُميّز الأفعال الحرة والمتعدية، حيث تأتي خاصية الشمولية من التعدي، ثم تأتي خاصية الحقن من كون الفعل حراً. وهناك خاصية رابعة تنبثق من الخاصيتين 1 و2 أعلاه:

وجود ترجمات حرفية

للجميع

v\in {\overrightarrow {A}}

، عملية رسم الخرائط

A\to A\colon a\mapsto a+v

هو تقابل.

غالباً ما يتم استخدام الخاصية 3 بالشكل المكافئ التالي (الخاصية الخامسة).

الطرح:

لكل

a و b

في

A

، يوجد عنصر وحيد

v\in {\overrightarrow {A}}

، ويرمز لها

بـ b - a

، بحيث

b=a+v

.

بصيغة أخرى، يُمكن تعريف الفضاء الأفيني بأنه فضاء متجانس رئيسي لتأثير المجموعة الجمعية لفضاء متجهي. الفضاءات المتجانسة، بحكم تعريفها، مزودة بتأثير مجموعة متعدٍ، وبالنسبة للفضاء المتجانس الرئيسي، يكون هذا التأثير المتعدي، بحكم تعريفه، حراً.

الطرح وبديهيات ويل

تسمح خصائص فعل المجموعة بتعريف الطرح لأي زوج مرتب معطى $(ب ، أ)$ من النقاط في $A$ ، مما ينتج عنه متجه من ${\overrightarrow {A}}$ هذا المتجه، المشار إليه بـ $ba$ أو ${\overrightarrow {ab}}$ ، يُعرَّف بأنه المتجه الفريد في ${\overrightarrow {A}}$ بحيث

a+(ba)=b.

ينشأ الوجود من تعدي الفعل، وينشأ التفرد لأن الفعل حر.

يتمتع هذا الطرح بالخاصيتين التاليتين، واللتين تسمى بديهيات ويل : ^{[ 7 ]}

$\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$ هناك نقطة فريدة $b\in A$ بحيث $ba=v.$
$\forall a,b,c\in A,\;(cb)+(ba)=ca.$

تتحقق خاصية متوازي الأضلاع في الفضاءات الأفينية، حيث يتم التعبير عنها على النحو التالي: بمعلومية أربع نقاط $a,b,c,d,$ المساواة $ba=dc$ و $ca=db$ متكافئتان. وينتج هذا عن بديهية فايل الثانية، لأن $da=(db)+(ba)=(dc)+(ca).$

يمكن تعريف الفضاءات الأفينية بشكل مكافئ على أنها مجموعة نقاط $A$ ، بالإضافة إلى فضاء متجهي ${\overrightarrow {A}}$ وطرح يحقق بديهيات فايل. في هذه الحالة، تُعرَّف إضافة متجه إلى نقطة من البديهية الأولى لفايل.

الفضاءات الجزئية الأفينية والتوازي

الفضاء الجزئي الأفيني ( ويسمى أيضاً، في بعض السياقات، التنوع الخطي ، أو المسطح ، أو، على الأعداد الحقيقية ، المتشعب الخطي ) $B$ للفضاء الأفيني $A$ هو مجموعة جزئية من $A$ يوجد لها نقطة $a\in B$ بحيث تكون مجموعة المتجهات ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ هو فضاء جزئي خطي من ${\overrightarrow {A}}$ إذا $B$ إذا كان فضاءً جزئياً أفينياً، فإن المجموعة ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ هو فضاء جزئي خطي لجميع $a\in B$ ( أي اختيار النقطة) $a$ (غير ذي صلة). الفضاء الجزئي الأفيني $B$ هو فضاء أفيني له ${\overrightarrow {B}}$ باعتبارها فضاء المتجهات المرتبط بها.

الفضاءات الجزئية الأفينية للمجموعة $A$ هي مجموعات جزئية من $A$ على الشكل التالي:

a+V=\{a+w:w\in V\},

حيث $a$ هي نقطة من $A$ ، و $V$ فضاء جزئي خطي من ${\overrightarrow {A}}$ ⁠ .

يُطلق على الفضاء الجزئي الخطي المرتبط بالفضاء الجزئي الأفيني غالبًا اسم فضاءه الخطي.الاتجاه ، ويُقال إن الفضاءين الفرعيين اللذين يشتركان في نفس الاتجاهمتوازيان.

وهذا يستلزم التعميم التالي لبديهية بلايفير : بالنظر إلى اتجاه $V$ ، لأي نقطة $a$ من $A$ يوجد فضاء فرعي أفيني واحد فقط من الاتجاه $V$ ، والذي يمر عبر $a$ ، وهو الفضاء الفرعي $a + V.$

كل ترجمة $A\to A:a\mapsto a+v$ يحوّل أي فضاء فرعي أفيني إلى فضاء فرعي موازٍ.

يُستخدم مصطلح التوازي أيضًا لوصف فضاءين فرعيين أفينيين بحيث يكون اتجاه أحدهما مضمنًا في اتجاه الآخر.

خريطة أفينية

بفرض وجود فضاءين أفينيين $A$ و $B،$ وهما فضاءات متجهة مرتبطة بهما ${\overrightarrow {A}}$ و ${\overrightarrow {B}}$ ، التطبيق الأفيني أو التشاكل الأفيني من $A$ إلى $B$ هو تطبيق

f:A\to B

بحيث

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\ba&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

هي خريطة خطية محددة جيدًا . $f$ إن كون الدالة محددة جيدًا يعني أن $b - a = d - c$ يستلزم $f (b) - f (a) = f (d) - f (c)$ .

وهذا يعني أنه بالنسبة لنقطة $a\in A$ ومتجه $v\in {\overrightarrow {A}}$ ، لدى المرء

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

لذلك، بما أنه لأي قيمة معطاة $لـ b$ في $A$ ، فإن $b = a + v$ لقيمة $v$ وحيدة ، فإن $f$ تُعرَّف تمامًا بقيمتها عند نقطة واحدة والتحويل الخطي المرتبط بها . ${\overrightarrow {f}}$ ⁠ .

التشكلات الداخلية

التحويل الأفيني أو التشاكل الداخلي للفضاء الأفيني $A$ هي دالة خطية من ذلك الفضاء إلى نفسه. ومن أهم الأمثلة على ذلك التحويلات: بالنظر إلى متجه ⁠ ${\overrightarrow {v}}$ خريطة الترجمة $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ هذا يرسل $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ لكل $a$ في $A$ هي دالة تآلفية. ومن الأمثلة المهمة الأخرى الدوال الخطية المتمركزة عند نقطة الأصل: بالنظر إلى نقطة $b$ وخريطة خطية $M$ يمكن تعريف دالة تآلفية $L_{M,b}:A\rightarrow A$ بواسطة $L_{M,b}(a)=b+M(ab)$ لكل $a$ في $A$ ⁠ .

بعد اختيار المنشأ $b$ ، يمكن كتابة أي تحويل خطي بشكل فريد كمزيج من إزاحة وتحويل خطي متمركز عند ⁠ $b$ ⁠ .

الفضاءات المتجهة كفضاءات أفينية

يمكن اعتبار أي فضاء متجهي $V$ فضاءً تآلفيًا على نفسه. وهذا يعني أن كل عنصر من عناصر $V$ يمكن اعتباره إما نقطة أو متجهًا. يُرمز لهذا الفضاء التآلفي أحيانًا بالرمز $(V, V)$ للتأكيد على الدور المزدوج لعناصر $V.$ عند اعتباره نقطة، يُرمز عادةً للمتجه الصفري بالرمز $o$ (أو $O$ عند استخدام الأحرف الكبيرة للنقاط) ويُسمى نقطة الأصل .

إذا كانت $A$ فضاءً أفينيًا آخر على نفس الفضاء المتجهي (أي $V={\overrightarrow {A}}$ يُحدد اختيار أي نقطة $a$ في $A$ تماثلًا أفينيًا فريدًا، وهو تماثل V الذي يُسقط $a$ $على$ o $.$ بعبارة أخرى، يسمح لنا اختيار نقطة أصل $a$ في $A$ بتحديد $A$ و $(V, V)$ حتى تماثل قانوني . ويُقابل هذه الخاصية إمكانية تحديد الفضاء الأفيني $A$ بالفضاء المتجهي $V$ حيث "تم تجاهل نقطة الأصل".

العلاقة بالفضاءات الإقليدية

تعريف الفضاءات الإقليدية

الفضاءات الإقليدية (بما في ذلك الخط أحادي البعد، والمستوى ثنائي الأبعاد، والفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يتم دراسته بشكل شائع في الهندسة الابتدائية، بالإضافة إلى نظائرها ذات الأبعاد الأعلى) هي فضاءات أفينية.

في الواقع، في معظم التعريفات الحديثة، يُعرَّف الفضاء الإقليدي بأنه فضاء أفيني، بحيث يكون الفضاء المتجهي المرتبط به فضاء جداء داخلي حقيقي ذو بُعد منتهٍ، أي فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية ذو شكل تربيعي موجب التحديد $q (x)$ . والجداء الداخلي لمتجهين $x$ و $y$ هو قيمة الشكل الثنائي الخطي المتناظر.

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

المسافة الإقليدية المعتادة بين نقطتين $A$ و $B$ هي

d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.

في التعريف القديم للفضاءات الإقليدية باستخدام الهندسة التركيبية ، تُعرَّف المتجهات على أنها فئات تكافؤ لأزواج مرتبة من النقاط تحت شرط تساوي القوى (يكون الزوجان $(أ ، ب)$ و $(ج ، د)$ متساويي القوى إذا كانت النقاط $أ ، ب ، د ، ج$ (بهذا الترتيب) تُشكِّل متوازي أضلاع ). من السهل التحقق من أن المتجهات تُشكِّل فضاءً متجهيًا، وأن مربع المسافة الإقليدية هو دالة تربيعية على فضاء المتجهات، وأن التعريفين للفضاءات الإقليدية متكافئان.

الخصائص الأفينية

في الهندسة الإقليدية ، يشير مصطلح " الخاصية الأفينية " إلى خاصية يمكن إثباتها في الفضاءات الأفينية، أي دون استخدام الصيغة التربيعية أو الضرب الداخلي المرتبط بها. بعبارة أخرى، الخاصية الأفينية هي خاصية لا تتضمن أطوالًا أو زوايا. من الأمثلة الشائعة التوازي وتعريف المماس . أما تعريف العمودي فهو مثال غير صحيح .

وبالمثل، فإن الخاصية الأفينية هي خاصية ثابتة تحت التحويلات الأفينية للفضاء الإقليدي.

التركيبات الأفينية ومركز الثقل

ليكن $a 1 ، ...، an مجموعة$ من $n$ نقطة في فضاء أفيني، و $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ لتكن $n$ عنصرًا من حقل الأرض .

لنفترض أن $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$ لأي نقطتين $o$ و $o'$ يكون لدينا

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

وبالتالي، فإن هذا المجموع مستقل عن اختيار نقطة الأصل، ويمكن الإشارة إلى المتجه الناتج بـ

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

متى $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$ ، يسترجع المرء تعريف طرح النقاط.

لنفترض الآن بدلاً من ذلك أن عناصر الحقل تحقق $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ . بالنسبة لاختيار ما لنقطة أصل $o$ ، نرمز لها بـ $g$ النقطة الفريدة التي بحيث

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

يمكن للمرء أن يثبت ذلك $g$ مستقل عن اختيار $o$ . لذلك، إذا

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

يمكن للمرء أن يكتب

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

النقطة $g$ يُطلق عليه مركز ثقل $a_{i}$ بالنسبة للأوزان $\lambda _{i}$ ويقول أحدهم أيضاً أن $g$ هو مزيج متناغم من $a_{i}$ بمعاملات $\lambda _{i}$ .

أمثلة

خط الأعداد هو فضاء تآلفي أحادي البعد: يُمثل كل عدد حقيقي بنقطة على الخط. وتُقابل عملية الجمع أو الطرح بعدد ما إزاحة الخط. يستطيع الأطفال الذين يتعلمون الحساب الابتدائي استخدام الخط كوسيلة بصرية مساعدة في العمليات الحسابية، على سبيل المثال، إيجاد $4 + 3$ بالبدء من النقطة التي تُمثل $4$ والعد $3$ وحدات إلى اليمين.
يمكن نمذجة الزمن على أنه فضاء أفيني أحادي البعد. تمثل النقاط المحددة في الزمن (مثل التاريخ في التقويم) نقاطًا في الفضاء الأفيني، بينما تمثل المدد الزمنية (مثل عدد الأيام) إزاحات.
فضاء الطاقات هو فضاء تآلفي لـ $\mathbb {R}$ لأنّ الحديث عن الطاقة المطلقة غالباً ما يكون غير ذي معنى، بينما الحديث عن فروق الطاقة ذو معنى. فعند تعريف طاقة الفراغ، فإنها تُحدّد أصلاً أساسياً.
غالبًا ما يتم نمذجة الفضاء المادي كفضاء تآلفي لـ $\mathbb {R} ^{3}$ في سياقات غير نسبية و $\mathbb {R} ^{1,3}$ في السياق النسبي. ولتمييزها عن الفضاء المتجهي، تُسمى هذه أحيانًا بالفضاءات الإقليدية. ${\text{E}}(3)$ و ${\text{E}}(1,3)$ ⁠ .
أي مجموعة مشاركة لفضاء جزئي $V$ من فضاء متجهي هي فضاء أفيني فوق ذلك الفضاء الجزئي.
على وجه الخصوص، فإن الخط في المستوى الذي لا يمر بنقطة الأصل هو فضاء تآلفي ليس فضاءً متجهيًا بالنسبة للعمليات التي يرثها من $\mathbb {R} ^{2}$ على الرغم من أنه يمكن إعطاؤه بنية فضاء متجهي معياري عن طريق اختيار النقطة الأقرب إلى الأصل كمتجه صفري؛ وبالمثل في الأبعاد الأعلى ولأي فضاء متجهي معياري
إذا كانت $T$ مصفوفة و $b$ تقع في فضاء أعمدتها ، فإن مجموعة حلول المعادلة $T x = b$ هي فضاء أفيني فوق الفضاء الجزئي لحلول $T x = 0$ .
تشكل حلول المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة فضاءً أفينياً فوق حلول المعادلة الخطية المتجانسة المقابلة.
بتعميم كل ما سبق، إذا كانت $T : V \to W$ عبارة عن تطبيق خطي و $y$ تقع في صورتها ، فإن مجموعة الحلول $x \in V$ للمعادلة $T x = y$ هي مجموعة مشاركة لنواة $T$ ، وبالتالي فهي فضاء أفيني على $Ker T.$
فضاء الفضاءات الجزئية التكميلية (الخطية) لفضاء جزئي متجهي $V$ في فضاء متجهي $W$ هو فضاء أفيني، على $Hom(W / V, V)$ . أي، إذا كانت $0 \to V \to W \to X \to 0$ متتالية تامة قصيرة من الفضاءات المتجهة، فإن فضاء جميع تجزئات هذه المتتالية التامة يحمل بطبيعة الحال بنية فضاء أفيني على $Hom(X, V)$ .
فضاء الاتصالات (من منظور حزمة المتجهات ) $E\xrightarrow {\pi } M$ ، حيث $M$ (هو فضاء متعدد الشعب أملس ) هو فضاء أفيني للفضاء المتجهي لـ ${\text{End}}(E)$ الأشكال ذات القيمة 1. فضاء الاتصالات (من منظور الحزمة الرئيسية ) $P\xrightarrow {\pi } M$ ) هو فضاء أفيني للفضاء المتجهي لـ ${\text{ad}}(P)$ الأشكال ذات القيم 1، حيث ${\text{ad}}(P)$ هي الحزمة المرافقة المرتبطة .

الامتداد والقواعد الأفينية

لكل مجموعة جزئية غير فارغة $X$ من فضاء أفيني $A$ ، يوجد أصغر فضاء أفيني يحتويها، ويسمى الفضاء الأفيني الممتد لـ $X.$ وهو تقاطع جميع الفضاءات الأفينية التي تحتوي على $X$ ، واتجاهه هو تقاطع اتجاهات الفضاءات الأفينية التي تحتوي على $X.$

الفضاء الأفيني الممتد لـ $X$ هو مجموعة جميع التراكيب الأفينية (المحدودة) لنقاط $X$ ، واتجاهه هو الفضاء الخطي الممتد لـ $x - y$ حيث $x$ و $y$ في $X.$ إذا اخترنا نقطة معينة $x \in X$ ، فإن اتجاه الفضاء الأفيني الممتد لـ $X$ هو أيضًا الفضاء الخطي الممتد لـ $x - x$ ∈ $X$ حيث $x$ في $X.$

ويقول المرء أيضًا أن الامتداد الأفيني لـ $X$ يتم توليده بواسطة $X$ وأن $X$ هي مجموعة مولدة لامتدادها الأفيني.

يُقال إن مجموعة $X من النقاط في فضاء أفيني هي$ مستقلة خطيًا ،أو ببساطةمستقلة، إذا كان الامتداد الخطي لأيمجموعة جزئية صارمةمن $X$ مجموعة جزئية صارمة من الامتداد الخطي لـ $X.$ الأساس الأفيني أوالإطار المركزي(انظر§ الإحداثيات المركزية، أدناه) للفضاء الأفيني هو مجموعة مولدة مستقلة أيضًا (أيمجموعة مولدة دنيا).

تذكر أن بُعد الفضاء الأفيني هو بُعد الفضاء المتجهي المرتبط به. قواعد الفضاء الأفيني ذي البُعد المحدود $n$ هي المجموعات الجزئية المستقلة المكونة من $n + 1$ عنصرًا، أو بصورة مكافئة، المجموعات الجزئية المولدة المكونة من $n + 1$ عنصرًا. وبالمثل، $تكون$ $المجموعة$ ${x₀, ..., xₙ$ } قاعدة أفينية للفضاء الأفيني إذا وفقط إذا $كانت$ $المجموعة$ ${x₁ - x₀, ..., xₙ - x₀$ $}$ قاعدة خطية للفضاء المتجهي المرتبط به.

الإحداثيات

هناك نوعان من أنظمة الإحداثيات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا والتي يمكن تعريفها على الفضاءات الأفينية.

إحداثيات مركزية

ليكن $A$ فضاءً أفينياً ذا بُعد $n$ على حقل $k$ ، و $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ لتكن أساسًا أفينيًا لـ $A.$ تشير خصائص الأساس الأفيني إلى أنه لكل عنصر $x$ في $A$ يوجد عنصر $(n + 1)$ -tuple وحيد $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ من عناصر $k$ بحيث

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

و

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

ال $\lambda _{i}$ تُسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات الباريسنترية لـ $x$ على الأساس الأفيني $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ إذا نُظر إلى $x i على أنها أجسام لها أوزان (أو كتل).$ $\lambda _{i}$ وبالتالي فإن النقطة $x$ هي مركز ثقل x $i ،$ وهذا يفسر أصل مصطلح الإحداثيات الباريسنترية .

تُحدد الإحداثيات الباريسنترية تماثلًا أفينيًا بين الفضاء الأفيني $A$ والفضاء الأفيني الجزئي لـ $k n + 1$ المُعرَّف بالمعادلة ⁠ $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$ ⁠ .

بالنسبة للفضاءات الأفينية ذات الأبعاد اللانهائية، ينطبق التعريف نفسه، باستخدام المجاميع المحدودة فقط. وهذا يعني أنه لكل نقطة، يكون عدد محدود فقط من الإحداثيات غير صفرية.

إحداثيات أفينية

الإطار الأفيني هو إطار إحداثيات للفضاء الأفيني، ويتكون من نقطة تُسمى الأصل ، وأساس خطي للفضاء المتجهي المرتبط بها. بتعبير أدق، بالنسبة للفضاء الأفيني $A$ ذي الفضاء المتجهي المرتبط به ${\overrightarrow {A}}$ $،$ الأصل $o$ ينتمي إلى $A$ ، والأساس الخطي هو أساس $(v1 ، ...، vn)$ لـ ${\overrightarrow {A}}$ (لتبسيط الترميز، سننظر فقط في حالة البعد المحدود، والحالة العامة مماثلة).

لكل نقطة $p$ من $A$ ، يوجد تسلسل فريد $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ من عناصر الحقل الأرضي بحيث

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

أو ما يعادل ذلك

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

ال $\lambda _{i}$ تُسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات الأفينية لـ $p$ على الإطار الأفيني $(o, v1, ..., vn)$ . نظام الإحداثيات الأفيني هو نظام إحداثيات على فضاء أفيني، حيث يُمثل كل إحداثي فيه $دالة$ $أفينية$ إلى خط الأعداد . بعبارة أخرى، هو دالة أفينية أحادية من الفضاء الأفيني $A$ إلى فضاء الإحداثيات $Kn$ $،$ حيث $K$ هو حقل الأعداد القياسية ، مثل الأعداد الحقيقية R.

يُعرَّف نظام إحداثيات مكون من $n$ $نقطة$ في فضاء $ذي n بُعدًا$ بمجموعة ( $n$ +1) من النقاط $($ $O$ $,$ $R1$ $, \dots,$ $Rn$ $)$ $التي$ لا تنتمي إلى أي فضاء فرعي أفيني ذي بُعد أقل. أي مجموعة إحداثيات معطاة من $n$ نقطة تُعطيها الصيغة التالية:

(x 1, \dots x n) \mapsto O + x 1 (R 1 - O) + \dots + x n (R n - O)

.

لاحظ أن $R j - O$ هي متجهات فرقية أصلها في $O$ وتنتهي في $R$ $j$ .

لا يمكن أن يمتلك الفضاء الأفيني نظام إحداثيات يكون فيه عدد عناصره $(n)$ أقل من بُعده ، ولكن قد يكون $n أكبر، مما يعني أن خريطة الإحداثيات ليست بالضرورة شاملة. من أمثلة نظام الإحداثيات$ $ذي$ $n$ بُعد في فضاء ذي ( $n -1) بُعد،$ الإحداثيات الباريسنترية والإحداثيات الأفينية "المتجانسة" $(1,$ $x₁$ $, \dots,$ $xₙ$ $-$ $1$ $)$ . في الحالة الأخيرة، _يساوي الإحداثي $x₀$ واحدًا في جميع أنحاء الفضاء، ولكن هذا الإحداثي "المحجوز" يسمح بتمثيل الخرائط الأفينية كمصفوفة مشابهة لتلك المستخدمة في الخرائط الإسقاطية .

أهم حالات الإحداثيات الأفينية في الفضاءات الإقليدية هي نظام الإحداثيات الديكارتية الحقيقية ، وهي أنظمة إحداثيات أفينية متعامدة ، بينما تُعرف الأنظمة الأخرى بأنظمة الإحداثيات الأفينية المائلة . بعبارة أخرى، الإحداثيات الديكارتية هي إحداثيات أفينية بالنسبة إلى إطار متعامد ، أي إطار أفيني $(o, v1, ..., vn)$ بحيث يكون $(v1, ..., vn$ $)$ $أساسًا$ متعامدًا . مع ذلك، $فإن$ $محاور$ الإحداثيات الأفينية العامة ليست بالضرورة خطوطًا مستقيمة متعامدة $.$

العلاقة بين الإحداثيات الباريسنترية والإحداثيات الأفينية

ترتبط الإحداثيات الباريسنترية والإحداثيات الأفينية ارتباطًا وثيقًا، ويمكن اعتبارها متكافئة.

في الواقع، بالنظر إلى إطار مركزي

(x_{0},\dots ,x_{n}),

يستنتج المرء مباشرة الإطار الأفيني

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

وإذا

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

إذا كانت إحداثيات مركزية لنقطة ما على الإطار المركزي هي ، فإن إحداثيات خطية لنفس النقطة على الإطار الخطي هي

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

على العكس من ذلك، إذا

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

إذا كان إطارًا أفينيًا،

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)

هو إطار مركزي. إذا

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

إذا كانت إحداثيات نقطة ما على الإطار الأفيني هي ، فإن إحداثياتها الباريسنترية على الإطار الباريسنتري هي

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

لذا، فإن الإحداثيات الباريسنترية والخطية متكافئة تقريبًا. في معظم التطبيقات، تُفضّل الإحداثيات الخطية لأنها تتضمن عددًا أقل من الإحداثيات المستقلة. مع ذلك، في الحالات التي تكون فيها النقاط المهمة في المسألة المدروسة مستقلة خطيًا، قد تؤدي الإحداثيات الباريسنترية إلى حسابات أبسط، كما في المثال التالي.

مثال على المثلث

تشكل رؤوس المثلث غير المستوي أساسًا تآلفيًا للمستوى الإقليدي . تسمح الإحداثيات الباريسنترية بتوصيف عناصر المثلث بسهولة، والتي لا تتضمن زوايا أو مسافات.

رؤوس المثلث هي النقاط ذات الإحداثيات المركزية $(1، 0، 0)$ ، $(0، 1، 0)$ ، و $(0، 0، 1)$ . الخطوط الداعمة للأضلاع هي النقاط التي إحداثياتها صفر. $أما$ الأضلاع نفسها فهي النقاط التي لها إحداثي واحد صفر وإحداثيان غير سالبين. $داخل$ المثلث هو النقاط التي جميع إحداثياتها موجبة. $المتوسطات$ $هي$ $النقاط$ $التي$ لها $إحداثيان$ $متساويان$ ، $ومركز$ $المثلث$ هو النقطة ذات $الإحداثيات$ $(1/3 ، 1/3 ، 1/3) .$

تغيير الإحداثيات

حالة الإحداثيات الباريسنترية

يمكن تغيير الإحداثيات الباريسنترية بسهولة من أساس إلى آخر. ليكن $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ و $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ لتكن قواعد أفينية لـ $A.$ لكل $x$ في $A$ يوجد بعض المجموعات المرتبة $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$ والتي

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

وبالمثل، لكل $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ انطلاقاً من الأساس الأول، أصبح لدينا الآن في الأساس الثاني

x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}

لبعض المجموعات $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ الآن يمكننا إعادة كتابة تعبيرنا في الأساس الأول ليصبح واحدًا في الأساس الثاني مع

\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,

مما يعطينا الإحداثيات في الأساس الثاني كزوج مرتب ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

حالة الإحداثيات الأفينية

يمكن أيضًا تغيير الإحداثيات الأفينية بسهولة من أساس إلى آخر. ليكن $o$ ، $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ و $o'$ ، $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ لتكن إطارات أفينية لـ $A.$ لكل نقطة $p$ من $A$ ، يوجد تسلسل فريد $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ من عناصر الحقل الأرضي بحيث

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

وبالمثل، لكل $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ انطلاقاً من الأساس الأول، أصبح لدينا الآن في الأساس الثاني

o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,

v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}

fortuple $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ والصفوف $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ الآن يمكننا إعادة كتابة تعبيرنا في الأساس الأول ليصبح واحدًا في الأساس الثاني مع

{\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}

مما يعطينا الإحداثيات في الأساس الثاني كزوج مرتب ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

خصائص التشاكلات الأفينية

تمثيل المصفوفة

تحويل أفيني $T$ يتم تنفيذه على مساحة إسقاطية $\mathbb {P} ^{3}$ ل $\mathbb {R} ^{3}$ ، بواسطة مصفوفة 4 × 4 مع عمود رابع خاص ^{[ 8 ] :}

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}$

التحويل يكون تآلفيًا بدلًا من خطي بسبب تضمين النقطة $(0,0,0)$ ، والتي يكشف ناتجها المحول عن التحول الأفيني.

صورة وألياف

يترك

f\colon E\to F

ليكن تشاكلًا أفينيًا، مع

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}

خريطتها الخطية المرتبطة بها. صورة $f$ هي الفضاء الجزئي الأفيني $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ من $F$ ، والتي لديها ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ باعتبارها فضاءً متجهيًا مرتبطًا. ولأن الفضاء الأفيني لا يحتوي على عنصر صفري ، فإن التشاكل الأفيني لا يحتوي على نواة . ومع ذلك، فإن التطبيق الخطي ${\overrightarrow {f}}$ يفعل، وإذا رمزنا بـ $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ نواةها، ثم لأي نقطة $x$ من $f(E)$ ، الصورة المعكوسة $f^{-1}(x)$ يمثل $x$ فضاءً جزئياً أفينياً من $E$ يكون اتجاهه $K$ . يُطلق على هذا الفضاء الجزئي الأفيني اسم ألياف x $.$

عرض

من الأمثلة المهمة الإسقاط الموازي لاتجاه معين على فضاء جزئي أفيني. تكمن أهمية هذا المثال في كون الفضاءات الإقليدية فضاءات أفينية، وأن هذا النوع من الإسقاطات أساسي في الهندسة الإقليدية .

بتعبير أدق، بالنظر إلى فضاء أفيني $E$ مع فضاء متجه مرتبط به ${\overrightarrow {E}}$ ليكن $F$ فضاءً جزئياً أفينياً ذا اتجاه ${\overrightarrow {F}}$ ولتكن $D$ فضاءً جزئياً مكملاً لـ ${\overrightarrow {F}}$ في ${\overrightarrow {E}}$ (هذا يعني أن كل متجه من ${\overrightarrow {E}}$ يمكن تحليلها بطريقة فريدة كمجموع عنصر من ${\overrightarrow {F}}$ وعنصر من $D$ ). لكل نقطة $x$ من $E$ ، يكون إسقاطها على $F$ موازياً لـ $D$ هو النقطة الوحيدة $p (x)$ في $F$ بحيث

p(x)-x\in D.

هذا تشاكل أفيني مرتبط بخريطته الخطية ${\overrightarrow {p}}$ يتم تعريفها بواسطة

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),

لكل $x$ و $y$ في $E.$

صورة هذا الإسقاط هي F $،$ وأليافها هي الفضاءات الفرعية ذات الاتجاه $D.$

فضاء القسمة

على الرغم من أن النوى غير مُعرَّفة للفضاءات الأفينية، إلا أن فضاءات القسمة مُعرَّفة. ويعود ذلك إلى أن "الانتماء إلى نفس ألياف التشاكل الأفيني" هو علاقة تكافؤ.

ليكن $E$ فضاءً أفينيًا، وليكن $D$ فضاءً جزئيًا خطيًا من الفضاء المتجهي المرتبط به ${\overrightarrow {E}}$ إن خارج قسمة $E على D$ $هو$ خارج قسمة E على علاقة التكافؤ التي تجعل $x$ و $y$ $متكافئين$ $إذا$

x-y\in D.

هذا الناتج هو فضاء أفيني، والذي يمتلك ${\overrightarrow {E}}/D$ كمساحة متجهة مرتبطة.

لكل تشاكل أفيني $E\to F$ تكون الصورة متماثلة مع خارج قسمة $E$ على نواة التطبيق الخطي المرتبط بها. هذه هي أول نظرية تماثل للفضاءات الأفينية.

البديهيات

تُدرس الفضاءات الأفينية عادةً باستخدام الهندسة التحليلية بالإحداثيات، أو ما يُكافئها من فضاءات متجهة. ويمكن دراستها أيضًا باستخدام الهندسة التركيبية عن طريق كتابة البديهيات، مع أن هذا النهج أقل شيوعًا. وتوجد عدة أنظمة بديهيات مختلفة للفضاءات الأفينية.

يقوم كوكسيتر (1969 ، ص 192) بوضع بديهيات للحالة الخاصة للهندسة الأفينية على الأعداد الحقيقية كهندسة مرتبة إلى جانب شكل أفيني لنظرية ديزارج وبديهية تنص على أنه في مستوى ما يوجد خط واحد على الأكثر يمر بنقطة معينة ولا يتقاطع مع خط معين.

تحقق المستويات الأفينية البديهيات التالية ( كاميرون 1991 ، الفصل 2) : (حيث يُطلق على خطين اسم متوازيين إذا كانا متساويين أو منفصلين):

تقع أي نقطتين مختلفتين على خط واحد.
إذا وُجدت نقطة وخط، فهناك خط وحيد يحتوي على النقطة ويكون موازياً للخط.
توجد ثلاث نقاط غير متوازية.

إلى جانب المستويات الأفينية فوق الحقول (أو حلقات القسمة )، توجد أيضًا العديد من المستويات غير الديزارجية التي تحقق هذه البديهيات. يقدم كاميرون (1991 ، الفصل 3) بديهيات للفضاءات الأفينية ذات الأبعاد الأعلى.

الهندسة الأفينية البديهية البحتة أكثر عمومية من الفضاءات الأفينية ويتم تناولها في مقالة الهندسة الأفينية .

العلاقة بالفضاءات الإسقاطية

تُحتوى الفضاءات الأفينية داخل الفضاءات الإسقاطية . على سبيل المثال، يمكن الحصول على مستوى أفيني من أي مستوى إسقاطي بإزالة خط واحد وجميع النقاط الواقعة عليه، وبالعكس، يمكن استخدام أي مستوى أفيني لإنشاء مستوى إسقاطي كإغلاق بإضافة خط عند اللانهاية تتوافق نقاطه مع فئات التكافؤ للخطوط المتوازية . وتوجد إنشاءات مماثلة في الأبعاد الأعلى.

علاوة على ذلك، فإن تحويلات الفضاء الإسقاطي التي تحافظ على الفضاء الأفيني (أو بعبارة أخرى، التي تجعل المستوى الفائق عند اللانهاية ثابتًا كمجموعة ) تُنتج تحويلات للفضاء الأفيني. وعلى العكس، فإن أي تحويل خطي أفيني يمتد بشكل فريد إلى تحويل خطي إسقاطي ، وبالتالي فإن المجموعة الأفينية هي مجموعة جزئية من المجموعة الإسقاطية . على سبيل المثال، تكون تحويلات موبيوس (تحويلات الخط الإسقاطي المركب ، أو كرة ريمان ) أفينية (تحويلات المستوى المركب ) إذا وفقط إذا كانت تُثبّت النقطة عند اللانهاية .

الهندسة الجبرية الأفينية

في الهندسة الجبرية ، يُعرَّف التنوع الأفيني (أو بشكل أعم، المجموعة الجبرية الأفينية ) بأنه مجموعة جزئية من الفضاء الأفيني تمثل مجموعة الأصفار المشتركة لمجموعة من الدوال متعددة الحدود على هذا الفضاء . ولتعريف دالة متعددة الحدود على الفضاء الأفيني ، يجب اختيار إطار أفيني . عندئذٍ، تكون الدالة متعددة الحدود دالة بحيث تكون صورة أي نقطة هي قيمة دالة متعددة الحدود متعددة المتغيرات لإحداثيات تلك النقطة. وبما أن تغيير الإحداثيات الأفينية يمكن التعبير عنه بدوال خطية (أو بالأحرى دوال أفينية) للإحداثيات، فإن هذا التعريف مستقل عن اختيار محدد للإحداثيات.

اختيار نظام إحداثيات أفينية لفضاء أفيني $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ينتج عن البعد $n$ على حقل $k$ تماثل تآلفي بين $\mathbb {A} _{k}^{n}$ والفضاء الإحداثي الأفيني $k n$ . وهذا يفسر لماذا، من أجل التبسيط، تكتب العديد من الكتب المدرسية $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$ ، وتقديم الأصناف الجبرية الأفينية كأصفار مشتركة للدوال متعددة الحدود على $k n$ . ^{[ 9 ]}

بما أن الفضاء الأفيني بأكمله هو مجموعة الأصفار المشتركة لكثير الحدود الصفري ، فإن الفضاءات الأفينية هي أصناف جبرية أفينية.

حلقة الدوال متعددة الحدود

بحسب التعريف أعلاه، فإن اختيار إطار تآلفي لفضاء تآلفي هو $\mathbb {A} _{k}^{n}$ يُمكّن المرء من تحديد الدوال متعددة الحدود على $\mathbb {A} _{k}^{n}$ باستخدام كثيرات الحدود في $n$ متغيرًا، حيث يمثل المتغير i الدالة التي تربط نقطة بإحداثيها $i$ . ويترتب على ذلك أن مجموعة دوال كثيرات الحدود على $\mathbb {A} _{k}^{n}$ هي جبر من الرتبة $k$ ، ويرمز لها بـ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ ، وهو متماثل مع حلقة كثيرات الحدود $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ .

عند تغيير الإحداثيات، يكون التماثل بين $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ و $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ وتتغير تبعًا لذلك، وهذا يؤدي إلى تحول ذاتي لـ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ ، والتي تُحوّل كل متغير غير محدد إلى متعدد حدود من الدرجة الأولى. ويترتب على ذلك أن الدرجة الكلية تُحدد عملية ترشيح لـ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ وهو أمر مستقل عن اختيار الإحداثيات. تحدد الدرجة الكلية أيضًا تدرجًا ، لكنها تعتمد على اختيار الإحداثيات، حيث أن تغيير الإحداثيات الأفينية قد يرسم قيمًا غير محددة على كثيرات حدود غير متجانسة .

طوبولوجيا زاريسكي

تتمتع الفضاءات الأفينية فوق الحقول الطوبولوجية ، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة، بطوبولوجيا طبيعية . تسمح طوبولوجيا زاريسكي ، المعرفة للفضاءات الأفينية فوق أي حقل، باستخدام الطرق الطوبولوجية في جميع الحالات. طوبولوجيا زاريسكي هي الطوبولوجيا الوحيدة على الفضاء الأفيني التي تكون مجموعاتها المغلقة مجموعات جبرية أفينية (أي مجموعات الأصفار المشتركة لدوال متعددة الحدود على المجموعة الأفينية). ولأن دوال متعددة الحدود متصلة فوق الحقل الطوبولوجي، فإن كل مجموعة مغلقة في طوبولوجيا زاريسكي تكون مغلقة بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة، إن وجدت. بعبارة أخرى، تكون طوبولوجيا زاريسكي، فوق الحقل الطوبولوجي، أكثر شمولية من الطوبولوجيا الطبيعية.

توجد دالة حقنية طبيعية من فضاء أفيني إلى مجموعة المُثُل الأولية (أي طيف ) حلقة دوال كثيرات الحدود الخاصة به. عند اختيار الإحداثيات الأفينية، تُسقط هذه الدالة نقطة الإحداثيات. $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ إلى المثال الأقصى $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$ . هذه الدالة هي تماثل تماثلي (بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي للفضاء الأفيني وطيف حلقة الدوال متعددة الحدود) للفضاء الأفيني على صورة الدالة.

تُعد حالة الحقل الأرضي المغلق جبريًا ذات أهمية خاصة في الهندسة الجبرية، لأنه في هذه الحالة، يكون التشاكل الموضعي أعلاه عبارة عن خريطة بين الفضاء الأفيني ومجموعة جميع المثاليات القصوى لحلقة الدوال (وهذا هو نظرية هيلبرت الصفرية ).

هذه هي الفكرة الأساسية لنظرية المخططات عند غروتينديك ، والتي تقوم، في دراسة المتنوعات الجبرية، على اعتبار " نقاط" ليس فقط نقاط الفضاء الأفيني، بل أيضًا جميع المُثُل الأولية للطيف. وهذا يسمح بربط المتنوعات الجبرية معًا بطريقة مشابهة لربط المخططات لبناء متعدد الشعب .

علم التماثل

كما هو الحال مع جميع أنواع الفضاءات الأفينية، يمكن دائمًا تجميع البيانات المحلية على الفضاء الأفيني بشكل شامل: علم التماثل للفضاء الأفيني أمر بديهي. بتعبير أدق، $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ لجميع الحزم المتماسكة F ، والأعداد الصحيحة $i>0$ تتمتع جميع الأصناف الأفينية الأخرى بهذه الخاصية أيضًا (انظر نظرية سير حول الأفينية ). كما أن جميع زمر التماثل الإيتالي على الفضاء الأفيني تافهة. وعلى وجه الخصوص، كل حزمة خطية تافهة. وبشكل أعم، تنص نظرية كويلين-سوسلين على أن كل حزمة متجهة جبرية على فضاء أفيني تافهة.

انظر أيضاً

الغلاف الأفيني – أصغر فضاء أفيني يحتوي على مجموعة جزئية
نظام الإحداثيات الباريسنتري – نظام إحداثيات يُعرَّف بالنقاط بدلاً من المتجهات
الفضاء الأفيني المركب – الفضاء الأفيني على الأعداد المركبة
التحليل البُعدي § الهندسة: الموضع مقابل الإزاحة
الفضاء الأفيني الغريب – فضاء أفيني حقيقي ذو بُعد زوجي لا يكون متماثلاً مع فضاء أفيني معقد
الفضاء (الرياضيات) - مجموعة رياضية ذات بنية إضافية
الإحداثيات المائلة – نظام الإحداثيات المنحنية

ملحوظات

↑ يُفضل استخداممصطلح "الترجمة" بشكل عام بدلاً من "متجه الإزاحة" ، والذي قد يكون مربكًا، حيث أن الإزاحات تشمل أيضًا الدوران .
↑ بيرغر 1987 ، ص 32
↑ بيرغر، مارسيل (1984)، "الفضاءات الأفينية" ، مسائل في الهندسة ، سبرينغر، ص 11، ISBN 9780387909714
↑ بيرغر 1987 ، ص 33
↑ سنابر، إرنست؛ تروير، روبرت ج. (1989)، الهندسة الأفينية المترية ، ص 6
↑ تاريدا، أغوستي ر. (2011)، "الفضاءات الأفينية"، الخرائط الأفينية، الحركات الإقليدية، والأسطح التربيعية ، سبرينغر، ص 1-2 ، ISBN 9780857297105
^ نوميزو وساساكي 1994 ، ص. 7
↑ سترانج، جيلبرت (2009). مقدمة في الجبر الخطي ( الطبعة الرابعة). ويليسلي: مطبعة ويليسلي-كامبريدج. ص 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.
↑ هارتشورن 1977 ، الفصل الأول، القسم 1.

مراجع

بيرغر، مارسيل (1984)، "الفضاءات الأفينية" ، مسائل في الهندسة ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90971-4
بيرغر، مارسيل (1987)، الهندسة 1 ، برلين: سبرينغر، رقم ISBN 3-540-11658-3
كاميرون، بيتر ج. (1991)، الفضاءات الإسقاطية والقطبية ، ملاحظات الرياضيات QMW، المجلد 13، لندن: كلية كوين ماري وويستفيلد للعلوم الرياضية، MR 1153019
كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1969)، مقدمة في الهندسة ( الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-50458-0، MR 0123930
دولغاتشيف، إي. في .؛ شيروكوف، أ. ب. (2001) [1994]، "الفضاء الأفيني" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001 .
نوميزو، ك.؛ ساساكي ، س. (1994)، الهندسة التفاضلية الأفينية ( طبعة جديدة)، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-44177-3
سنابر، إرنست ؛ تروير، روبرت ج. (1989)، الهندسة الأفينية المترية (طبعة دوفر، نُشرت لأول مرة في طبعة 1989)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-66108-3
Reventós Tarrida، Agustí (2011)، “Affine spaces”، خرائط Affine، الحركات الإقليدية والكوادريكس ، سبرينغر، ISBN 978-0-85729-709-9

[1] يُفضل استخداممصطلح "الترجمة" بشكل عام بدلاً من "متجه الإزاحة" ، والذي قد يكون مربكًا، حيث أن الإزاحات تشمل أيضًا الدوران .

[2] بيرغر 1987 ، ص 32

[3] بيرغر، مارسيل (1984)، "الفضاءات الأفينية" ، مسائل في الهندسة ، سبرينغر، ص 11، ISBN 9780387909714

[Berger1987-4] بيرغر 1987 ، ص 33

[5] سنابر، إرنست؛ تروير، روبرت ج. (1989)، الهندسة الأفينية المترية ، ص 6

[6] تاريدا، أغوستي ر. (2011)، "الفضاءات الأفينية"، الخرائط الأفينية، الحركات الإقليدية، والأسطح التربيعية ، سبرينغر، ص 1-2 ، ISBN 9780857297105

[7] نوميزو وساساكي 1994 ، ص. 7

[8] سترانج، جيلبرت (2009). مقدمة في الجبر الخطي ( الطبعة الرابعة). ويليسلي: مطبعة ويليسلي-كامبريدج. ص 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.

[9] هارتشورن 1977 ، الفصل الأول، القسم 1.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ] :

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗