الفضاء الأفيني المعقد

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

الهندسة الأفينية ، بشكل عام، هي دراسة الخصائص الهندسية للخطوط والمستويات ونظائرها في الأبعاد الأعلى، حيث يُحتفظ بمفهوم "التوازي"، ولكن دون وجود مفاهيم مترية للمسافة أو الزاوية. تختلف الفضاءات الأفينية عن الفضاءات الخطية (أي الفضاءات المتجهة) في أنها لا تملك نقطة أصل محددة. لذا، وكما يقول مارسيل بيرغر : "الفضاء الأفيني ليس إلا فضاءً متجهيًا نحاول تجاهل نقطة أصله بإضافة إزاحات إلى التحويلات الخطية." [ 1 ] وبناءً على ذلك، فإن الفضاء الأفيني المركب ، أي الفضاء الأفيني على الأعداد المركبة ، يشبه الفضاء المتجهي المركب، ولكنه يفتقر إلى نقطة مميزة تُعتبر نقطة أصل.

الهندسة الأفينية هي أحد الفرعين الرئيسيين للهندسة الجبرية الكلاسيكية ، والآخر هو الهندسة الإسقاطية . يمكن الحصول على فضاء أفيني مركب من فضاء إسقاطي مركب بتثبيت مستوى فائق، والذي يمكن اعتباره مستوى فائقًا من النقاط المثالية "عند اللانهاية" في الفضاء الأفيني. لتوضيح الفرق (في الأعداد الحقيقية)، يتقاطع القطع المكافئ في المستوى الأفيني مع الخط عند اللانهاية ، بينما لا يتقاطع القطع الناقص معه . مع ذلك، فإن أي قطعين مخروطيين متكافئان إسقاطيًا. لذا، فإن القطع المكافئ والقطع الناقص متماثلان عند النظر إليهما إسقاطيًا، لكنهما مختلفان عند اعتبارهما كائنين أفينيين. وبشكل أقل بديهية، في الأعداد المركبة، يتقاطع القطع الناقص مع الخط عند اللانهاية في نقطتين ، بينما يتقاطع القطع المكافئ مع الخط عند اللانهاية في نقطة واحدة . لذا، ولسبب مختلف قليلاً، فإن القطع الناقص والقطع المكافئ غير متكافئين على المستوى الأفيني المركب ولكنهما يظلان متكافئين على المستوى الإسقاطي (المركب).

أي فضاء متجهي معقد هو فضاء أفيني: كل ما عليك فعله هو نسيان نقطة الأصل (وربما أي بنية إضافية مثل الضرب الداخلي ). على سبيل المثال، الفضاء المعقد ذو البعد nجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}يمكن اعتبار الفضاء الأفيني المركب فضاءً أفينيًا معقدًا، عندما يكون المرء مهتمًا فقط بخصائصه الأفينية (على عكس خصائصه الخطية أو المترية، على سبيل المثال). وبما أن أي فضاءين أفينيين لهما نفس البعد متماثلان ، ففي بعض الحالات يكون من المناسب تعريفهما بـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}مع الأخذ في الاعتبار أن المفاهيم الثابتة تحت التحويلات الخطية فقط هي ذات معنى في نهاية المطاف. هذا الاستخدام شائع جدًا في الهندسة الجبرية الحديثة.

بنية أفينية

توجد عدة طرق متكافئة لتحديد البنية الأفينية لفضاء أفيني معقد ذي n بُعد A. أبسطها يتضمن فضاءً مساعدًا V ، يُسمى فضاء الفرق ، وهو فضاء متجهي على الأعداد المركبة. عندئذٍ، يكون الفضاء الأفيني مجموعة A مع تأثير بسيط ومتعدٍ من V على A. (أي أن A عبارة عن V -torsor).

ثمة طريقة أخرى تتمثل في تعريف مفهوم التركيبة الأفينية، التي تحقق بديهيات معينة. تُعبَّر التركيبة الأفينية للنقاط p 1 , …, p k ∈ A كمجموع على الصورة التالية:

أ1ص1+⋯+أكصك{\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}

حيث أن القيم العددية a و i هي أعداد مركبة مجموعها يساوي واحدًا.

يمكن تحديد فضاء الفرق مع مجموعة "الفروق الرسمية" p − q ، مع مراعاة العلاقة التي تحترم فيها الفروق الرسمية التركيبات الأفينية بطريقة واضحة.

الدوال الأفينية

وظيفةو:أ↦ج{\displaystyle f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C} }يُطلق عليه اسم "أفيني" إذا حافظ على التراكيب الأفينية.

و(أ1ص1+⋯+أكصك)=أ1و(ص1)+⋯+أكو(صك){\displaystyle f(a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k})=a_{1}f(\mathbf {p} _{1})+\cdots +a_{k}f(\mathbf {p} _{k})}

لأي تركيبة خطية

أ1ص1+⋯+أكصك{\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}في أ .

فضاء الدوال الأفينية A * هو فضاء خطي. الفضاء المتجهي الثنائي لـ A * متماثل طبيعيًا مع فضاء متجهي ذي ( n +1) بُعد F( A ) ، وهو الفضاء المتجهي الحر على A بشرط أن يكون التركيب الأفيني في A متطابقًا مع التركيب الأفيني في F( A ) . من خلال هذا البناء، يمكن استعادة البنية الأفينية للفضاء الأفيني A بالكامل من فضاء الدوال الأفينية.

يُعرّف جبر كثيرات الحدود في الدوال الأفينية على A حلقةً من الدوال، تُسمى حلقة الإحداثيات الأفينية في الهندسة الجبرية. تحمل هذه الحلقة ترشيحًا ، حسب الدرجة، في الدوال الأفينية. وبالعكس، يُمكن استعادة نقاط الفضاء الأفيني كمجموعة من التشاكلات الجبرية من حلقة الإحداثيات الأفينية إلى الأعداد المركبة. يُسمى هذا الطيف الأعظمي للحلقة، لأنه يتطابق مع مجموعة مُثُلها العظمى . يوجد بنية أفينية فريدة على هذا الطيف الأعظمي تتوافق مع الترشيح على حلقة الإحداثيات الأفينية.

أمثلة منخفضة الأبعاد

بُعد واحد

الفضاء الأفيني المركب أحادي البعد، أو الخط الأفيني المركب، هو مُلتوٍ لفضاء خطي أحادي البعد علىج{\displaystyle \mathbb {C} }أبسط مثال على ذلك هو مستوى أرغاند للأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }هذا له بنية خطية أساسية، وبالتالي فإن "نسيان" الأصل يعطيه بنية خطية أساسية.

كمثال آخر، لنفترض أن X فضاء متجهي ثنائي الأبعاد على الأعداد المركبة.α:X→ج{\displaystyle \alpha ليكن α ( x ) = ∑ ( x ) ∘...​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

وينطبق بناء مماثل على حل المعادلات التفاضلية الخطية العادية من الرتبة الأولىحلول المعادلة التفاضلية المتجانسة

y′(x)+μ(x)y(x)=0{\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=0}

هو فضاء خطي أحادي البعد، بينما مجموعة حلول المسألة غير المتجانسة

y′(x)+μ(x)y(x)=و(x){\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=f(x)}

هو فضاء أفيني أحادي البعد A. الحل العام يساوي حلاً خاصاً للمعادلة، بالإضافة إلى حل للمعادلة المتجانسة. فضاء حلول المعادلة المتجانسة هو فضاء الفرق V.

لننظر مرة أخرى في الحالة العامة لفضاء متجهي ثنائي الأبعاد X مزود بصيغة خطية α . يُعطى الفضاء الأفيني A ( c ) بالحل α( x ) = c . لاحظ أنه بالنسبة لقيمتين غير صفريتين مختلفتين لـ c ، ولتكن c₁ و c₂ ، فإن الفضاءين الأفينيين A ( c₁ ) و A ( c₂ ) متماثلان طبيعيًا : فالضرب في c₂ / c₁ يحول A ( c₁ ) إلى A ( c₂ ) . لذا ، يوجد في الواقع فضاء أفيني واحد فقط جدير بالدراسة في هذه الحالة، ولنسمه A ، ونقاطه هي الخطوط المارة بنقطة الأصل في X والتي لا تقع على نواة α .

جبريًا، الفضاء الأفيني المركب A الذي تم وصفه للتو هو فضاء تجزئات المتتالية التامة

0→كير⁡α→⊆X→αج→0.{\displaystyle 0\to \ker \alpha \,{\overset {\subseteq }{\rightarrow }}\,X\xrightarrow {\alpha } \mathbb {C} \to 0.}

بعدين

المستوى الأفيني المركب هو فضاء أفيني ثنائي الأبعاد على الأعداد المركبة. ومن الأمثلة على ذلك فضاء الإحداثيات المركبة ثنائي الأبعادج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}يتمتع هذا ببنية خطية طبيعية، وبالتالي يرث بنية تآلفية تحت تأثير الدالة النسيانية . مثال آخر هو مجموعة حلول معادلة تفاضلية خطية عادية غير متجانسة من الرتبة الثانية (على الأعداد المركبة). وأخيرًا، قياسًا على الحالة أحادية البعد، فضاء تجزئات متتالية تامة

0→ج2→ج3→ج→0{\displaystyle 0\to \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} \to 0}

هو فضاء أفيني ذو بُعدين.

أربعة أبعاد

مجموعة الدوران المطابقة لمجموعة لورنتز هي SU(2,2)، والتي تؤثر على فضاء متجهي عقدي رباعي الأبعاد T (يُسمى فضاء التويستر ). تعمل مجموعة بوانكاريه المطابقة، كمجموعة فرعية من SU(2,2)، على تثبيت متتالية تامة من الشكل التالي:

0→Π→تي→Ω→0{\displaystyle 0\to \Pi \to \mathbf {T} \to \Omega \to 0}

حيث Π هو فضاء جزئي متناحٍ أقصى من T. فضاء انقسامات هذه المتتالية هو فضاء أفيني رباعي الأبعاد: فضاء مينكوفسكي (المعقد) .

إحداثيات أفينية

ليكن A فضاءً أفينيًا ذا n بُعد. مجموعة من n دالة أفينية مستقلة أفينيًاz1،z2،...،zن:أ→ج{\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }هو نظام إحداثيات أفيني على A. يُنشئ نظام الإحداثيات الأفيني على A تقابلًا بين A وفضاء الإحداثيات المركب.جن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}، والتي تتكون عناصرها من n- tuples من الأعداد المركبة.

وعلى العكس من ذلك،جن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}يُشار إليه أحيانًا باسم الفضاء الأفيني المركب ذي البعد n ، حيث يُفهم أن بنيته كفضاء أفيني (على عكس، على سبيل المثال، وضعه كفضاء خطي أو كفضاء إحداثي ) هي محل الاهتمام. هذا الاستخدام شائع في الهندسة الجبرية .

الفضاء الإسقاطي المرتبط

للفضاء الأفيني المركب A إكمال إسقاطي معياري P ( A )، يُعرَّف كما يلي: نُشكِّل الفضاء المتجهي F( A ) وهو الفضاء المتجهي الحر على A بشرط أن يكون كل تركيب أفيني في F( A ) متوافقًا مع كل تركيب أفيني في A. عندئذٍ، يكون بُعد F( A ) = n + 1 ، حيث n هو بُعد A. الإكمال الإسقاطي لـ A هو الفضاء الإسقاطي للفضاءات الخطية المركبة أحادية البُعد في F( A ).

مجموعة البنية والتشاكلات الذاتية

تؤثر المجموعة Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n +1, C ) على P ( A ). مُثبِّت المستوى الفائق عند اللانهاية هو زمرة جزئية مكافئة، وهي زمرة التشاكل الذاتي لـ A. وهي متماثلة (ولكن ليس متماثلة طبيعيًا) مع حاصل ضرب شبه مباشر للزمرة GL( V ) و V. الزمرة الجزئية GL( V ) هي مُثبِّت نقطة مرجعية ثابتة o (نقطة الأصل) في A ، وتعمل كزمرة التشاكل الذاتي الخطي لفضاء المتجهات المنبثقة من o ، وتؤثر V عن طريق الإزاحة.

إن زمرة التشاكل الذاتي للفضاء الإسقاطي P ( A ) كمتنوع جبري ليست سوى زمرة التوازي PGL(F( A )) . في المقابل، فإن زمرة التشاكل الذاتي للفضاء الأفيني A كمتنوع جبري أكبر بكثير. على سبيل المثال، لننظر إلى التطبيق الذاتي للمستوى الأفيني المعرف بدلالة زوج من الإحداثيات الأفينية كما يلي:

(z1،z2)↦(z1،z2+و(z1)){\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1}))}

حيث f دالة متعددة الحدود في متغير واحد. هذا تماثل ذاتي من النوع الجبري، ولكنه ليس تماثلاً ذاتياً من البنية الأفينية. محدد جاكوبي لمثل هذا التماثل الجبري هو بالضرورة ثابت غير صفري. يُعتقد أنه إذا كان محدد جاكوبي لتطبيق ذاتي على فضاء أفيني معقد ثابتًا غير صفري، فإن التطبيق يكون تماثلاً ذاتيًا (جبريًا). يُعرف هذا باسم حدسية جاكوبي .

بنية معقدة

تكون الدالة على الفضاء الأفيني المركب تامة الشكل إذا كان مرافقها المركب مشتقًا من نوع لي على طول فضاء الفرق V. وهذا يعطي أي فضاء أفيني مركب بنية مشعب مركب .

كل دالة خطية من A إلى الأعداد المركبة هي دالة تحليلية. وبالتالي، فإن كل متعددة حدود في الدوال الخطية هي دالة تحليلية أيضاً.

الطوبولوجيا

هناك نوعان من الطوبولوجيات على الفضاء الأفيني المعقد يتم استخدامهما بشكل شائع.

تُعدّ الطوبولوجيا التحليلية الطوبولوجيا الأولية لعائلة الدوال الأفينية في الأعداد المركبة، حيث تحمل الأعداد المركبة طوبولوجياها الإقليدية المعتادة المستحثة بالقيمة المطلقة المركبة كمعيار. وهي أيضاً الطوبولوجيا الأولية لعائلة الدوال التحليلية.

تتكون القاعدة الطوبولوجية التحليلية من أقراص متعددة . مرتبطة بأي n من الدوال الأفينية المستقلةz1،...،zن:أ→ج{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }على A ، يتم تعريف القرص المتعدد الوحدة بواسطة

ب(z1،...،zن)={z∈أ:|z1(z)|<1،...،|zن(z)|<1}.{\displaystyle B(z_{1},\dots ,z_{n})=\left\{\mathbf {z} \in \mathbf {A} \,:\,\left|z_{1}(\mathbf {z} )\right|<1,\dots ,\left|z_{n}(\mathbf {z} )\right|<1\right\}.}

أي مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا التحليلية هي اتحاد مجموعة قابلة للعد من الأقراص المتعددة الوحدوية.

تُعدّ طوبولوجيا زاريسكي الطوبولوجيا الأولية للدوال الأفينية ذات القيم العقدية، ولكنها تُعطي الخط العقدي طوبولوجيا المتممة المحدودة. لذا، في طوبولوجيا زاريسكي، تكون مجموعة جزئية من A مغلقة إذا وفقط إذا كانت المجموعة الصفرية لمجموعة ما من الدوال متعددة الحدود ذات القيم العقدية على A. وتُعرف القاعدة الجزئية لطوبولوجيا زاريسكي بأنها مجموعة متممات المجموعات الجبرية غير القابلة للاختزال.

تُعدّ الطوبولوجيا التحليلية أدقّ من طوبولوجيا زاريسكي، ما يعني أن كل مجموعة مفتوحة في طوبولوجيا زاريسكي تكون مفتوحة أيضًا في الطوبولوجيا التحليلية. والعكس غير صحيح. فالقرص المتعدد، على سبيل المثال، مفتوح في الطوبولوجيا التحليلية ولكنه ليس مفتوحًا في طوبولوجيا زاريسكي.

يمكن تعريف مقياس على فضاء أفيني معقد، مما يجعله فضاءً إقليديًا ، باختيار جداء داخلي على V. وتُعطى المسافة بين نقطتين p و q من A بدلالة المعيار المرتبط بهما على V.

د(ص،q)=‖ص-q‖.{\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|.}

تشكل الكرات المفتوحة المرتبطة بالمقياس أساسًا للطوبولوجيا، وهي نفسها الطوبولوجيا التحليلية.

حزمة من الدوال التحليلية

تشكل عائلة الدوال التحليلية على فضاء أفيني معقد A حزمة من الحلقات عليه. وبحسب التعريف، فإن هذه الحزمة تربط بكل مجموعة فرعية مفتوحة (تحليلية) U من A حلقةيا(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}من جميع الدوال الهولومورفية ذات القيم المركبة على U.

تنص خاصية التفرد في الاستمرار التحليلي على أنه إذا أُعطيت دالتان تحليليتان على مجموعة فرعية مفتوحة متصلة U من Cⁿ ، فإنهما إذا تطابقتا على مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من U ، فإنهما تتفقان على U. وبعبارة أخرى، فإن خاصية التفرد تعني أنيا{\displaystyle {\mathcal {O}}}، عند النظر إليها على أنها فضاء إيتالي ، فهي فضاء طوبولوجي هاوسدورف .

تنص نظرية أوكا للتماسك على أن حزمة البنيةيا{\displaystyle {\mathcal {O}}}إن بنية الفضاء الأفيني المركب متماسكة . هذه هي النتيجة الأساسية في نظرية الدوال لعدة متغيرات مركبة ؛ فعلى سبيل المثال، إنها تعني مباشرة أن حزمة البنية لفضاء تحليلي مركب (مثل متعدد الشعب المركب ) متماسكة.

كل فضاء أفيني معقد هو مجال ذو شكل تام . وعلى وجه الخصوص، هو متعدد شعب شتاين .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑