التحويل الأفيني

في الهندسة الإقليدية ، التحويل الأفيني أو التقارب (من اللاتينية، affinis ، "متصل بـ") هو تحويل هندسي يحافظ على الخطوط والتوازي ، ولكن ليس بالضرورة المسافات والزوايا الإقليدية .

بشكل أعم، التحويل الأفيني هو تشاكل ذاتي للفضاء الأفيني ( الفضاءات الإقليدية هي فضاءات أفينية محددة)، أي دالة تُسقط الفضاء الأفيني على نفسه مع الحفاظ على بُعد أي فضاءات فرعية أفينية (أي أنها تُحوّل النقاط إلى نقاط، والخطوط إلى خطوط، والمستويات إلى مستويات، وهكذا) ونسب أطوال القطع المستقيمة المتوازية . ونتيجة لذلك، تبقى مجموعات الفضاءات الفرعية الأفينية المتوازية متوازية بعد التحويل الأفيني. لا يحافظ التحويل الأفيني بالضرورة على الزوايا بين الخطوط أو المسافات بين النقاط، ولكنه يحافظ على نسب المسافات بين النقاط الواقعة على خط مستقيم.

إذا كانت X هي مجموعة النقاط في فضاء أفيني، فإن كل تحويل أفيني على X يمكن تمثيله كتركيب لتحويل خطي على X وإزاحة لـ X. على عكس التحويل الخطي البحت، لا يشترط في التحويل الأفيني الحفاظ على نقطة الأصل في الفضاء الأفيني. لذا، كل تحويل خطي هو تحويل أفيني، ولكن ليس كل تحويل أفيني خطيًا.

تشمل أمثلة التحويلات الأفينية الانتقال، والتحجيم ، والتماثل ، والتشابه ، والانعكاس ، والدوران ، والدوران الزائدي ، ورسم الخرائط القصية ، وتركيباتها بأي تركيبة وتسلسل.

بالنظر إلى الفضاء الأفيني على أنه مكمل لمستوى فائق عند اللانهاية لفضاء إسقاطي ، فإن التحويلات الأفينية هي التحويلات الإسقاطية لهذا الفضاء الإسقاطي التي تجعل المستوى الفائق عند اللانهاية ثابتًا ، ومقيدة بمكمل ذلك المستوى الفائق.

تعميم التحويل الأفيني هو تطبيق أفيني ^{[ 1 ]} (أو تماثل أفيني أو تطبيق أفيني ) بين فضاءين أفينيين (قد يكونان مختلفين) على نفس الحقل k . ليكن ( X , V , k ) و ( Z , W , k ) فضاءين أفينيين، حيث X و Z مجموعتا النقاط، و V و W فضاءا المتجهات المرتبطين بهما على الحقل k . يُقال إن التطبيق f : X → Z تطبيق أفيني إذا وُجد تطبيق خطي m _f : V → W بحيث يكون m _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) لكل x، ^y في X. [ ^{2 ]}  

ليكن X فضاءً أفينيًا على حقل k ، وليكن V فضاءه المتجهي المرتبط به. التحويل الأفيني هو تقابل f من X إلى نفسه، وهو تطبيق أفيني ؛ وهذا يعني أن التطبيق الخطي g من V إلى V مُعرَّف جيدًا بالمعادلة${\displaystyle g(yx)=f(y)-f(x);}$هنا، كالمعتاد، يشير طرح نقطتين إلى المتجه الحر من النقطة الثانية إلى النقطة الأولى، و" محدد جيدًا " يعني أن${\displaystyle yx=y'-x'}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

إذا كان بُعد X هو اثنين على الأقل، فإن التحويل شبه الخطي f لـ X هو تقابل من X على نفسه يحقق: ^{[ 3 ]}

1. لكل فضاء فرعي أفيني ذو أبعاد d من X ، فإن f ( S ) هو أيضًا فضاء فرعي أفيني ذو أبعاد d من X.
2. إذا كانت S و T فضاءات فرعية متوازية من X ، فإن f ( S ) و f ( T ) متوازية.

يتم استيفاء هذين الشرطين عن طريق التحويلات الأفينية، ويعبران عما هو المقصود تحديدًا بالتعبير القائل بأن " f يحافظ على التوازي".

هذه الشروط ليست مستقلة، فالشرط الثاني يتبع من الأول. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، إذا كان الحقل k يحتوي على ثلاثة عناصر على الأقل، فيمكن تبسيط الشرط الأول إلى: f عبارة عن استقامة خطية ، أي أنها تُسقط الخطوط على بعضها. ^{[ 5 ]}

بحسب تعريف الفضاء الأفيني، يؤثر V على X ، بحيث يكون لكل زوج${\displaystyle (x,\mathbf {v} )}$في X × V، توجد نقطة مرتبطة بها y في X. يمكننا أن نرمز إلى هذا الفعل بـ ${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y}$هنا نستخدم الاصطلاح التالي: ${\displaystyle {\vec {v}}={\textbf {v}}}$هما رمزان قابلان للتبديل لعنصر من V. بتثبيت نقطة c في X ، يمكن تعريف الدالة m c   : X → V بالعلاقة m c ( x ) = cx → . لأي قيمة لـ c ، تكون هذه الدالة أحادية، وبالتالي، لها دالة عكسية m c -1  : V → X معطاة بالعلاقة التالية:${\displaystyle m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)}$يمكن استخدام هذه الدوال لتحويل X إلى فضاء متجهي (بالنسبة للنقطة c ) عن طريق تعريف: [ 6 ]

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}$و
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}$

هذا الفضاء المتجهي له نقطة أصل c ، ويجب تمييزه رسميًا عن الفضاء الأفيني X ، ولكن جرت العادة على استخدامه بنفس الرمز مع الإشارة إلى أنه فضاء متجهي بعد تحديد نقطة الأصل. هذا التعريف يسمح برؤية النقاط كمتجهات والعكس صحيح.

لأي تحويل خطي λ للمجموعة V ، يمكننا تعريف الدالة L ( c , λ )  : X → X كما يلي: $${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$$

إذن ، L ( c , λ ) هو تحويل خطي لـ X يُبقي النقطة c ثابتة. ^{[ 7 ]} وهو تحويل خطي لـ X ، يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي أصله c .

ليكن σ أي تحويل أفيني لـ X. اختر نقطة c في X وانظر إلى إزاحة X بواسطة المتجه${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$، ويُرمز لها بـ T _w . التحويلات الإزاحية هي تحويلات خطية، وتركيب التحويلات الخطية هو تحويل خطي. لهذا الاختيار لـ c ، يوجد تحويل خطي وحيد λ لـ V بحيث ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$$ أي أن التحويل الأفيني التعسفي لـ X هو تركيب تحويل خطي لـ X (ينظر إليه على أنه فضاء متجهي) وانتقال لـ X.

يُعتبر هذا التمثيل للتحويلات الأفينية في كثير من الأحيان تعريفًا للتحويل الأفيني (مع كون اختيار نقطة الأصل ضمنيًا). ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

كما هو موضح أعلاه، فإن التحويل الأفيني هو تركيب دالتين: إزاحة وتحويل خطي. يستخدم الجبر المتجهي العادي ضرب المصفوفات لتمثيل التحويلات الخطية، وجمع المتجهات لتمثيل الإزاحات. رسميًا، في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، إذا تم تمثيل التحويل الخطي كضرب في مصفوفة قابلة للعكس${\displaystyle A}$والترجمة كإضافة متجه${\displaystyle \mathbf {b} }$، خريطة أفينية${\displaystyle f}$التأثير على متجه${\displaystyle \mathbf {x} }$يمكن تمثيلها على النحو التالي

$${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$$

خريطة أفينية${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$بين فضاءين أفينيين، يوجد تطبيق على النقاط يؤثر خطيًا على المتجهات (أي المتجهات بين نقاط الفضاء). بالرموز،${\displaystyle f}$يحدد التحويل الخطي${\displaystyle \varphi }$بحيث يكون ذلك لأي زوج من النقاط${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$:

$${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$$ أو $${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).}$$

يمكننا تفسير هذا التعريف بعدة طرق أخرى، كما يلي.

إذا كان الأصل${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$يتم اختياره، و${\displaystyle B}$يشير إلى صورته${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$إذن هذا يعني أنه لأي متجه${\displaystyle {\vec {x}}}$:

$${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).}$$

إذا كان الأصل${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$وإذا تم اختيار ذلك أيضًا، فيمكن تحليله كتحويل خطي${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$هذا يرسل${\displaystyle O\mapsto O'}$، أي

$${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),}$$ متبوعًا بالترجمة بواسطة متجه${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$.

والخلاصة هي أنه، بشكل بديهي،${\displaystyle f}$يتكون من ترجمة ورسم خرائط خطية.

يُعرَّف مصطلح "التحويل الأفيني" كمصطلح رياضي في سياق المماسات للمنحنيات في كتاب أويلر " مقدمة في تحليل اللانهاية" (Introductio in analysin infinitorum ) الصادر عام 1748. ^{[ 15 ]} وينسب فيليكس كلاين مصطلح "التحويل الأفيني" إلى موبيوس وجاوس . ^{[ 10 ]}

في تطبيقاتها لمعالجة الصور الرقمية ، تُشبه التحويلات الأفينية الطباعة على ورقة مطاطية وتمديد حوافها بالتوازي مع المستوى. يُعيد هذا التحويل تحديد مواقع البكسلات، مما يتطلب استيفاء شدة الإضاءة لتقريب قيمة البكسلات المُحركة. يُعد الاستيفاء ثنائي التكعيب المعيار القياسي لتحويلات الصور في تطبيقات معالجة الصور. تُغيّر التحويلات الأفينية حجم الصور وتدويرها ونقلها وعكسها وقصها، كما هو موضح في الأمثلة التالية: ^{[ 16 ]}

اسم التحويل	مصفوفة أفينية	مثال
الهوية (تحويل إلى الصورة الأصلية)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
ترجمة	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
انعكاس	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
حجم	${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
تناوب	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	حيث θ = ⁠ π / 6 ⁠ = 30°
قص	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

تُستخدم التحويلات الأفينية في عملية التسجيل حيث يتم محاذاة (تسجيل) صورتين أو أكثر. ومن أمثلة تسجيل الصور توليد الصور البانورامية الناتجة عن دمج عدة صور معًا.

التشويه الأفيني

يحافظ التحويل الأفيني على الخطوط المتوازية. ومع ذلك، فإن تحويلات التمدد والقص تشوه الأشكال، كما يوضح المثال التالي:

هذا مثال على تشويه الصورة. ومع ذلك، فإن التحويلات الأفينية لا تسهل الإسقاط على سطح منحني أو التشوهات الشعاعية .

كل تحويل تآلفي في المستوى الإقليدي هو تركيب من إزاحة وتحويل تآلفي يثبت نقطة؛ وقد يكون الأخير

• التماثل ،​
• الدوران حول النقطة الثابتة،
• تغيير في الحجم ، مع عوامل تغيير حجم سالبة محتملة، في اتجاهين (ليس بالضرورة متعامدين)؛ وهذا يشمل الانعكاسات ،
• رسم خرائط القص
• رسم خرائط الضغط .

بفرض وجود مثلثين غير منحلين ABC و A′B′C′ في مستوى إقليدي، يوجد تحويل تآلفي وحيد T يحول A إلى A′ ، وB إلى B′، و C إلى C′ . يُعرّف كل من ABC و A′B′C′ نظام إحداثيات تآلفي ونظام إحداثيات مركزي . بفرض وجود نقطة P ، فإن النقطة T (P) هي النقطة التي لها نفس الإحداثيات في النظام الثاني كما هي إحداثيات P في النظام الأول.

لا تراعي التحويلات الأفينية الأطوال أو الزوايا؛ فهي تضرب المساحات بعامل ثابت.

مساحة A′B′C′ / مساحة ABC .

قد يكون T المعطاة إما مباشرة (تحترم الاتجاه)، أو غير مباشرة (تعكس الاتجاه)، ويمكن تحديد ذلك من خلال مقارنة اتجاهات المثلثات.

• عرض ثلاثي الأبعاد
• الهندسة الأفينية
• التشوه البصري – التطبيقات الفنية للتحولات الأفينية
• وظيفة الانحناء
• مسطح (هندسة)
• التجانس الكتابي
• متعدد الحدود الخطي

• بيرغر، مارسيل (1987)، الهندسة 1 ، برلين: سبرينغر، رقم ISBN 3-540-11658-3
• برانان، ديفيد أ.؛ إسبلين، ماثيو ف.؛ غراي، جيريمي ج. (1999)، الهندسة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-59787-6
• الأماكن القريبة : Sasaki، S. (1994)، الهندسة التفاضلية الأفينية (  طبعة جديدة)، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-44177-3
• كلاين، فيليكس (1948) [1939]، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة ، دوفر
• صموئيل، بيير (1988)، الهندسة الإسقاطية ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-96752-4
• شارب، ر. و. (1997). الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن لكلاين . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-94732-9.
• سنابر، إرنست؛ تروير، روبرت ج. (1989) [1971]، الهندسة الأفينية المترية ، دوفر، ISBN 978-0-486-66108-7
• وان، تشي شيان (1993)، هندسة المجموعات الكلاسيكية على الحقول المنتهية ، تشارتويل-برات، ISBN 0-86238-326-9

• الوسائط المتعلقة بالتحويل الأفيني على ويكيميديا ​​كومنز
• "التحويل الأفيني" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• العمليات الهندسية: التحويل الأفيني ، بقلم ر. فيشر، س. بيركنز، أ. ووكر وإ. وولفارت.
• وايسستين، إريك دبليو. “التحول الأفيني” . عالم الرياضيات .
• التحويل الأفيني بواسطة برنارد فويليومير، مشروع عروض وولفرام .
• التحويل الأفيني باستخدام MATLAB