قياس المحاور

الأكسونومتري هو إجراء بياني ينتمي إلى الهندسة الوصفية ، يُنتج صورةً مستويةً لجسم ثلاثي الأبعاد. ويعني مصطلح "الأكسونومتري" "القياس على طول المحاور "، مما يُشير إلى أن أبعاد محاور الإحداثيات ومقياسها يلعبان دورًا حاسمًا. وتكون نتيجة عملية الأكسونومتري إسقاطًا متوازيًا للجسم بمقياس موحد. وعمومًا، يكون الإسقاط المتوازي الناتج مائلًا (أي أن الأشعة ليست عمودية على مستوى الصورة)؛ ولكن في حالات خاصة، تكون النتيجة متعامدة (أي أن الأشعة عمودية على مستوى الصورة)، وهو ما يُسمى في هذا السياق بالأكسونومتري المتعامد .

في الرسم الهندسي والمعماري ، يُعد المنظور المحوري شكلاً من أشكال التمثيل ثنائي الأبعاد للأجسام ثلاثية الأبعاد، ويهدف إلى الحفاظ على إحساس الحجم أو التضاريس . ويُسمى أحيانًا بالمنظور السريع أو المنظور الاصطناعي، وهو يختلف عن المنظور المخروطي ، إذ لا يُمثل ما تراه العين فعليًا: فالخطوط المتوازية تبقى متوازية، والأجسام البعيدة لا تُصغّر في حجمها. ويمكن اعتباره منظورًا مخروطيًا تم دفع مركزه إلى ما لا نهاية، أي بعيدًا جدًا عن الجسم المرصود.

يُستخدم مصطلح "قياس المحور" لكل من الإجراء الرسومي الموضح أدناه، وكذلك الصورة الناتجة عن هذا الإجراء.

لا ينبغي الخلط بين قياس المحور البصري والإسقاط المحوري ، والذي يشير في الأدبيات الإنجليزية عادةً إلى قياس المحور البصري المتعامد .

تُعد نظرية بولكه أساسًا للإجراء التالي لإنشاء إسقاط متوازٍ مُقاس لجسم ثلاثي الأبعاد: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. اختر إسقاطات محاور الإحداثيات بحيث لا تتداخل محاور الإحداثيات الثلاثة في نقطة أو خط واحد. عادةً ما يكون المحور z عموديًا.
2. حدد التقصيرات لهذه الإسقاطات ،${\displaystyle v_{x}}$،${\displaystyle v_{y}}$و${\displaystyle v_{z}}$، أين${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$^{[ 3 ]}
3. الإسقاط${\displaystyle {\overline {P}}}$نقطة${\displaystyle P=(x,y,z)}$يتم تحديدها في ثلاث خطوات فرعية (النتيجة مستقلة عن ترتيب هذه الخطوات الفرعية):
   • بدءاً من النقطة${\displaystyle {\overline {O}}}$، تحرك بالمقدار${\displaystyle v_{x}\cdot x}$في اتجاه${\displaystyle {\overline {x}}}$, then
   • move by the amount ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ in the direction of ${\displaystyle {\overline {y}}}$, then
   • move by the amount ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ in the direction of ${\displaystyle {\overline {z}}}$ and finally
4. Mark the final position as point ${\displaystyle {\overline {P}}}$.

In order to obtain undistorted results, select the projections of the axes and foreshortenings carefully (see below). In order to produce an orthographic projection, only the projections of the coordinate axes are freely selected; the foreshortenings are fixed (see de:orthogonale Axonometrie).^[4]

Notation:

• ${\displaystyle \alpha$ :} angle between ${\displaystyle {\overline {z}}}$-axis and ${\displaystyle {\overline {x}}}$-axis
• ${\displaystyle \beta$ :} angle between ${\displaystyle {\overline {z}}}$-axis and ${\displaystyle {\overline {y}}}$-axis
• ${\displaystyle \gamma$ :} angle between ${\displaystyle {\overline {x}}}$-axis and ${\displaystyle {\overline {y}}}$-axis.

The angles can be chosen so that ${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\ .}$ The foreshortenings: ${\displaystyle 0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\ .}$

Only for suitable choices of angles and foreshortenings does one get undistorted images. The next diagram shows the images of the unit cube for various angles and foreshortenings and gives some hints for how to make these personal choices.

In order to keep the drawing simple, one should choose simple foreshortenings, for example ${\displaystyle 1.0}$ or ${\displaystyle 0.5}$.

If two foreshortenings are equal, the projection is called dimetric. If the three foreshortenings are equal, the projection is called isometric. If all foreshortenings are different, the projection is called trimetric.

The parameters in the diagram at right (e.g. of the house drawn on graph paper) are: ${\displaystyle \alpha =135^{\circ },\beta =90^{\circ },\ v_{y}=v_{z}=1,\;v_{x}=1/{\sqrt {2}}\ .}$ Hence it is a dimetric axonometry. The image plane is parallel to the y-z-plane and any planar figure parallel to the y-z-plane appears in its true shape.

الإسقاط الموازي للدائرة هو في الغالب قطع ناقص. وتحدث حالة خاصة مهمة عندما يكون مستوى الدائرة موازيًا لمستوى الصورة ، فحينها تكون صورة الدائرة دائرة مطابقة. في الرسم التوضيحي، تكون الدائرة الموجودة في الوجه الأمامي غير مشوهة. إذا كانت صورة الدائرة قطعًا ناقصًا، فيمكن تحديد أربع نقاط على الأقطار المتعامدة والمربع المحيط بها من المماسات، ثم ملء متوازي الأضلاع الناتج بالقطع الناقص يدويًا. هناك طريقة أفضل، ولكنها تستغرق وقتًا أطول، وتتمثل في رسم صور قطرين متعامدين للدائرة، وهما القطران المترافقان للقطع الناقص الناتج، ثم تحديد محاور القطع الناقص باستخدام طريقة ريتز ، ثم رسم القطع الناقص .

• 
  منظور الفارس: دوائر
• 
  الإسقاط العسكري: المجال

في الإسقاط المحوري العام للكرة، يكون محيط الصورة بيضاويًا. أما في الإسقاط المحوري المتعامد ، فيكون محيط الكرة دائريًا فقط . ولكن، بما أن الإسقاط الهندسي والإسقاط المتساوي القياسي هما إسقاطان متعامدان مُقاسَان، فإن محيط الكرة يكون دائريًا في هاتين الحالتين أيضًا. وكما يُبين الرسم التوضيحي، قد يكون استخدام شكل بيضاوي كمحيط للكرة مُربكًا، لذا، إذا كانت الكرة جزءًا من جسمٍ يُراد رسمه، فينبغي اختيار الإسقاط المحوري المتعامد أو الإسقاط الهندسي أو الإسقاط المتساوي القياسي.

ديكارت${\displaystyle x{\text{-}}y{\text{-}}z}$نظام إحداثيات ذو نقطة أصل${\displaystyle O}$لا يزال يُستخدم في الفضاء. لنفترض أن مستوى الرسم مزود بنظام إحداثيات ديكارتية.${\displaystyle x'{\text{-}}y'}$نظام إحداثيات ذو نقطة أصل${\displaystyle {\overline {O}}.}$قياس المحور حيث${\displaystyle {\overline {O}}}$هي نقطة الصورة لـ${\displaystyle O}$يمكن تمثيلها بالخريطة${\displaystyle f\colon \ \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle p={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto f(p)={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}$$ الذي يرسم متجه الإحداثيات${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{3}}$من وجهة نظر عامة${\displaystyle P}$في الفضاء إلى متجه الإحداثيات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$نقطة الصورة${\displaystyle {\overline {P}}.}$الخريطة${\displaystyle f}$هي خطية ، وبالتالي يمكن تمثيلها بواسطة${\displaystyle 2\!\times \!3}$مصفوفة التحويل${\displaystyle A\colon }$$${\displaystyle f(p)=A\!\ p}$$ ( مصفوفة مضروبة في متجه ). الأعمدة الثلاثة لـ${\displaystyle A}$هي متجهات الصورة${\displaystyle f(e_{x}),f(e_{y}),f(e_{z})\in \mathbb {R} ^{2}}$من متجهات الأساس القياسية$${\displaystyle e_{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad e_{y}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ وبالتالي وصف${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {y}}}$و${\displaystyle {\overline {z}}}$محاور الصورة. لا تقع على خط مستقيم مشترك يمر عبر نقطة الأصل، أي الحقيقية${\displaystyle 2\!\times \!3}$مصفوفة${\displaystyle A}$لديه رتبة${\displaystyle 2.}$وعلى العكس من ذلك، فإن كل مصفوفة من هذا القبيل تولد قياسًا محوريًا.

أمثلة

1. العوامل${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$والزوايا${\displaystyle \alpha ,\beta }$يؤدي ما تم تقديمه أعلاه مباشرة إلى مصفوفة التحويل $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-v_{x}\sin \alpha &v_{y}\sin \beta &0\\v_{x}\cos \alpha &v_{y}\cos \beta &v_{z}\end{pmatrix}}.}$$ من المفترض أن${\displaystyle y'{\text{-}}}$المحور و${\displaystyle {\overline {z}}}$يشير محور الصورة إلى الأعلى و${\displaystyle x'{\text{-}}}$يشير المحور إلى اليمين.

2. على وجه الخصوص،${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$و${\displaystyle \alpha =\beta =120^{\circ }}$أعطِ التماثل القياسي مع المصفوفة $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.}$$ على سبيل المثال، الرأس${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$يتم تعيين جزء من مكعب الوحدة إلى${\displaystyle f(p)=A\!\ p=(0,0)^{\mathsf {T}},}$وكذلك الرأس المقابل${\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}},}$أين${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$يشير إلى النقل . كما ذكرنا سابقًا، فإن القياس المتساوي القياسي هو إسقاط متعامد مُقاس بمعامل${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3/2}}\,.}$

3. ضرب المصفوفة الأخيرة في مقلوبها${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2/3}}}$وبالتالي ينتج مصفوفة التحويل $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$ من إسقاط متعامد (غير مُقاس). بالمناسبة، في منقوله${\displaystyle A^{\mathsf {T}},}$كلا العمودين $${\displaystyle e_{x}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\[0.3ex]0\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$ متعامدة ، أي${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{y}'=0}$و${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{x}'=e_{y}'\cdot e_{y}'=1.}$وهذا ما يميز الإسقاطات المتعامدة، كما هو موضح بشكل نموذجي فيما يلي.

4. يتم إنشاء إسقاط متعامد آخر، الآن بشكل عكسي، بدءًا من المتجهات المتعامدة. $${\displaystyle e_{x}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}6\\-3\\-2\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}.}$$ هذان الاثنان مع${\displaystyle e_{z}'=e_{x}'\times e_{y}'}$و${\displaystyle O}$تعريف نظام إحداثيات ديكارتية آخر في الفضاء. نقطة عامة${\displaystyle P}$في الفضاء الآن له متجه إحداثيات آخر${\displaystyle p'=(x',y',z')^{\mathsf {T}}}$بجانب${\displaystyle p=(x,y,z)^{\mathsf {T}}.}$في هذه الأمور، دائماً${\displaystyle E\!\ p'=p}$مع${\displaystyle 3\!\times \!3}$مصفوفة تغيير الأساس${\displaystyle E={\big (}e_{x}'\,{\big |}\,e_{y}'\,{\big |}\,e_{z}'{\big )}.}$مثل${\displaystyle E}$متعامد ،​${\displaystyle E^{-1}=E^{\mathsf {T}}}$وبالتالي${\displaystyle p'=E^{\mathsf {T}}p.}$الإسقاط المتعامد، الذي يسقط عموديًا على${\displaystyle x'{\text{-}}y'{\text{-}}}$المستوى كمستوى الرسم، يتوافق مع حذف الجزء السفلي${\displaystyle z'{\text{-}}}$إحداثيات${\displaystyle p'.}$ يتم الحصول على مصفوفة التحويل الخاصة بها وفقًا لذلك من${\displaystyle E^{\mathsf {T}}}$بحذف الصف السفلي: $${\displaystyle A={\frac {1}{7}}\,{\begin{pmatrix}6&-3&-2\\3&2&6\end{pmatrix}}.}$$ يمكن استخدام هذا لحساب النقاط في الرسم المجاور للمكعب الواحدي. على سبيل المثال، الرأس${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$يتم تعيينها إلى${\displaystyle f(p)=A\!\ p={\big (}{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {11}{7}}{\big )}{}^{\mathsf {T}}.}$

• غراف، أولريش. بارنر، مارتن (1961). هندسة دارستيلند . هايدلبرغ: كويل وماير. رقم ISBN 3-494-00488-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• فوك، كيرش نيكل (1998). هندسة دارستيلند . لايبزيغ: دار نشر فاشبوخ. رقم ISBN 3-446-00778-4.
• ليوبولد، كورنيلي (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . شتوتغارت: دار كولهامر . رقم ISBN 3-17-018489-X.
• برايلوف، ألكسندر يوريفيتش (2016). الرسومات الهندسية: الأسس النظرية للهندسة الهندسية للتصميم . سبرينغر. ISBN 978-3-319-29717-0.
• ستارك ، رولاند (1978). هندسة دارستيلند . شونينغ. رقم ISBN 3-506-37443-5.

ملحوظات

• قياس المحاور المتعامدة