سرخس بارنسلي

سرخس بارنسلي هو شكل هندسي كسري سمي على اسم عالم الرياضيات البريطاني مايكل بارنسلي الذي وصفه لأول مرة في كتابه "الكسور في كل مكان" . ^{[ 1 ]} لقد جعله يشبه نبات الطحال الأسود، Asplenium adiantum-nigrum .

يُعدّ السرخس أحد الأمثلة الأساسية للمجموعات ذاتية التشابه ، أي أنه نمط مُولّد رياضيًا يُمكن إعادة إنتاجه بأي تكبير أو تصغير. وكما هو الحال في مثلث سيربينسكي ، يُظهر سرخس بارنسلي كيف يُمكن بناء هياكل جميلة بيانيًا من خلال الاستخدام المتكرر للصيغ الرياضية باستخدام الحواسيب. يستند كتاب بارنسلي " الكسور في كل مكان" (1988) إلى الدورة التي كان يُدرّسها لطلاب البكالوريوس والدراسات العليا في كلية الرياضيات بمعهد جورجيا للتكنولوجيا ، والتي تحمل عنوان "الهندسة الكسورية" . بعد نشر الكتاب، تم تطوير دورة ثانية بعنوان " نظرية القياس الكسورية" . ^{[ 1 ]} وقد شكّل عمل بارنسلي مصدر إلهام للفنانين التشكيليين الذين يسعون إلى محاكاة الطبيعة باستخدام النماذج الرياضية.

يُعدّ برنامج السرخس الذي طوره بارنسلي مثالاً على نظام الدوال المتكررة (IFS) لإنشاء شكل كسري. ويستند هذا إلى نظرية التجميع . وقد استخدم بارنسلي الأشكال الكسرية لنمذجة مجموعة متنوعة من الظواهر في العلوم والتكنولوجيا، وخاصةً في هياكل النباتات.

توفر أنظمة الفراكتلات المتكررة نماذج لبعض النباتات والأوراق والسرخسيات، بفضل التشابه الذاتي الذي غالباً ما يحدث في التراكيب المتفرعة في الطبيعة. لكن الطبيعة تُظهر أيضاً عشوائية وتنوعاً من مستوى لآخر؛ فلا يوجد سرخسان متطابقان تماماً، وتتحول السعف المتفرعة إلى أوراق على نطاق أصغر. تسمح الفراكتلات المتغيرة V بهذه العشوائية والتنوع عبر المقاييس، مع السماح في الوقت نفسه بالاعتماد المستمر على المعلمات مما يسهل النمذجة الهندسية. هذه العوامل تسمح لنا بإنشاء النماذج البيولوجية الهجينة... ...نفترض أنه عندما يتم العثور على نموذج فراكتل هندسي متغير V يتطابق جيداً مع هندسة نبات معين، فإن هناك علاقة محددة بين أشجار الشفرة هذه والمعلومات المخزنة في جينات النبات.

—مايكل بارنسلي وآخرون ^{[ 2 ]}

يستخدم سرخس بارنسلي أربعة تحويلات خطية . صيغة أحد هذه التحويلات هي كالتالي:

${\displaystyle f_{w}(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\g\end{bmatrix}}}$

يعرض بارنسلي رمز IFS لكسرية سرخس الطحال الأسود الخاص به على شكل مصفوفة من القيم معروضة في جدول. ^{[ 3 ]} في الجدول، تمثل الأعمدة من " a " إلى " g " معاملات المعادلة، ويمثل " p " عامل الاحتمالية.

w	أ	ب	ج	د	هـ	ز	ص	الجزء المُنشأ
f 1	0	0	0	0.16	0	0	0.01	ينبع
f 2	0.85	0.04	-0.04	0.85	0	1.60	0.85	وريقات أصغر حجماً تباعاً
f 3	0.20	-0.26	0.23	0.22	0	1.60	0.07	أكبر منشور على الجانب الأيسر
f 4	-0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07	أكبر منشور على الجانب الأيمن

وهذا يتوافق مع التحويلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\beg {{bmatrix}0.20&-0.26\\0.23&0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0.15&0.28\\0.26&0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\0.44\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

توليد الحاسوب

على الرغم من إمكانية رسم شكل سرخس بارنسلي يدويًا باستخدام قلم وورقة رسم بياني، إلا أن عدد التكرارات اللازمة يصل إلى عشرات الآلاف، مما يجعل استخدام الحاسوب ضروريًا عمليًا. تحظى العديد من النماذج الحاسوبية لسرخس بارنسلي بشعبية واسعة بين علماء الرياضيات المعاصرين. وطالما تمت برمجة العمليات الحسابية بشكل صحيح باستخدام مصفوفة ثوابت بارنسلي، فسيتم الحصول على نفس شكل السرخس.

يتم رسم النقطة الأولى عند نقطة الأصل ( x0 = ₀ ، y0 = 0 ₎ ، ثم يتم حساب النقاط الجديدة بشكل متكرر عن طريق تطبيق أحد تحويلات الإحداثيات الأربعة التالية بشكل عشوائي: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

f ₁

x _{n + 1} = 0

y _{n + 1} = 0.16 y _n

يُختار هذا التحويل الإحداثي بنسبة 1% من الحالات، وهو ببساطة يُحوّل أي نقطة إلى نقطة في القطعة المستقيمة الأولى عند قاعدة الساق. في عملية التوليد التكرارية، يعمل هذا التحويل كنقطة إعادة ضبط لقاعدة الساق. والأهم من ذلك، أنه لا يُعيد الضبط تمامًا إلى (0,0)، مما يسمح له بملء قاعدة الساق التي يتم نقلها، والتي تُشكل بمثابة "نواة" تُولّد منها جميع الأجزاء الأخرى من السرخس عبر التحويلات الثلاثة الأخرى.

f ₂

x _{n + 1} = 0.85 x _n + 0.04 y _n

ص _{ن + 1} = −0.04 س _ن + 0.85 ص _ن + 1.6

يُجسّد هذا التحويل علاقة التشابه الذاتي بين السرخس بأكمله والبنية الفرعية التي تتكون من السرخس بعد إزالة الجزء الذي يشمل الورقتين السفليتين. في التمثيل المصفوفي، يُلاحظ أنه دوران طفيف باتجاه عقارب الساعة، مع تصغير الحجم قليلاً ونقله في الاتجاه الموجب للمحور y . في عملية التوليد التكراري، يُطبّق هذا التحويل باحتمالية 85%، وهو المسؤول بشكل بديهي عن توليد الساق الرئيسية، والتوليد الرأسي المتتالي للأوراق على جانبي الساق انطلاقًا من أوراقها "الأصلية" عند القاعدة.

f ₃

س _{ن + 1} = 0.2 س _ن − 0.26 ص _ن

ص _{ن + 1} = 0.23 س _ن + 0.22 ص _ن + 1.6

يُجسّد هذا التحويل التشابه الذاتي للسرخس بأكمله مع الورقة السفلية اليسرى. في التمثيل المصفوفي، يُلاحظ أنه دوران عكس عقارب الساعة بزاوية تقارب 90 درجة، مُصغّر إلى حجم 30% تقريبًا مع إزاحة في الاتجاه الموجب للمحور y . في عملية التوليد التكرارية، يُطبّق هذا التحويل باحتمالية 7%، وهو المسؤول بشكل بديهي عن توليد الورقة السفلية اليسرى.

f ₄

س _{ن + 1} = −0.15 س _ن + 0.28 ص _ن

ص _{ن + 1} = 0.26 س _ن + 0.24 ص _ن + 0.44

وبالمثل، يُشفّر هذا التحويل التشابه الذاتي للسرخس بأكمله مع الورقة السفلية اليمنى. ومن خلال مُحدِّده، يتضح بسهولة أنه يتضمن انعكاسًا، ويمكن اعتباره تحويلًا مشابهًا للتحويل f _3، وإن كان بانعكاس حول المحور y . في عملية التوليد التكراري، يُطبَّق هذا التحويل باحتمالية 7%، وهو المسؤول عن توليد الورقة السفلية اليمنى.

أصناف متحولة

من خلال التلاعب بالمعاملات، يُمكن ابتكار أنواع طافرة من السرخس. في بحثه حول الفراكتلات المتغيرة V، يُطلق بارنسلي على هذه السمة اسم الفراكتل الفائق . ^{[ 2 ]}

توصل أحد الباحثين إلى جدول معاملات لإنتاج نوع آخر من السرخس ذي مظهر طبيعي بشكل ملحوظ، يشبه سرخس Cyclosorus أو Thelypteridaceae . وهذه المعاملات هي: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

w	أ	ب	ج	د	هـ	ز	ص
f 1	0	0	0	0.25	0	-0.4	0.02
f 2	0.95	0.005	-0.005	0.93	-0.002	0.5	0.84
f 3	0.035	-0.2	0.16	0.04	-0.09	0.02	0.07
f 4	-0.04	0.2	0.16	0.04	0.083	0.12	0.07