شكل رباعي مماس

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف الشكل الرباعي المماسي ( أو الشكل الرباعي المحيط ) بأنه شكل رباعي محدب يمكن أن تكون جميع أضلاعه مماسية لدائرة واحدة داخله. تُسمى هذه الدائرة بالدائرة الداخلية للشكل الرباعي أو دائرته المحيطة، ويُسمى مركزها بالمركز الداخلي ، ويُسمى نصف قطرها بالنصف القطر الداخلي . ولأن هذه الأشكال الرباعية يمكن رسمها محيطة بدوائرها الداخلية، فقد سُميت أيضًا بالأشكال الرباعية القابلة للتحديد ، والأشكال الرباعية المحيطة ، والأشكال الرباعية القابلة للتحديد . ^{[ 1 ]} تُعد الأشكال الرباعية المماسية حالة خاصة من المضلعات المماسية .

من الأسماء الأخرى الأقل شيوعًا لهذه الفئة من الأشكال الرباعية: الشكل الرباعي القابل للرسم ، والشكل الرباعي الدائري ، والشكل الرباعي المحيط بدائرة ، والشكل الرباعي المتحد الدائرة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ونظرًا لاحتمالية الخلط بينه وبين الشكل الرباعي المحيط بدائرة ، والذي يُسمى الشكل الرباعي الدائري أو الشكل الرباعي المرسوم داخل دائرة، يُفضّل عدم استخدام أي من الأسماء الخمسة الأخيرة. ^{[ 1 ]}

يمكن أن تحتوي جميع المثلثات على دائرة داخلية، ولكن ليس كل الأشكال الرباعية كذلك. ومن أمثلة الأشكال الرباعية التي لا يمكن أن تكون مماسية المستطيل غير المربع. توضح خصائص القسم أدناه الشروط اللازمة والكافية التي يجب أن يستوفيها الشكل الرباعي لكي يحتوي على دائرة داخلية.

من أمثلة الأشكال الرباعية المماسية شكل الطائرة الورقية ، الذي يشمل المعين ، الذي يشمل بدوره المربع . الطائرة الورقية هي تحديدًا الأشكال الرباعية المماسية المتعامدة الأقطار . ^{[ 3 ]} الطائرة الورقية القائمة هي طائرة ورقية محاطة بدائرة . إذا كان الشكل الرباعي مماسًا ودائريًا ، يُسمى شكلًا رباعيًا ثنائي المركز ، وإذا كان مماسًا وشبه منحرف ، يُسمى شبه منحرف مماس .

في الشكل الرباعي المماسي، تلتقي منصفات الزوايا الأربع في مركز الدائرة الداخلية. وعلى العكس، فإن الشكل الرباعي المحدب الذي تلتقي فيه منصفات الزوايا الأربع في نقطة ما، يكون مماسياً، وتكون النقطة المشتركة هي مركز الدائرة الداخلية. ^{[ 4 ]}

وفقًا لنظرية بيتو ، فإن مجموع طولي الزوجين المتقابلين في شكل رباعي مماس يساوي الطول الكلي نفسه، والذي يساوي نصف محيط الشكل الرباعي:

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

وبالمقابل، فإن الشكل الرباعي المحدب الذي فيه a + c = b + d يجب أن يكون مماساً. ^{[ 1 ] : ص 65 [ 4 ]}

إذا تقاطعت الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي محدب ABCD (وهو ليس شبه منحرف ) عند E و F ، فإنها تكون مماسية إذا وفقط إذا كان أي من ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

أو

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC:}$

ومن الشروط الضرورية والكافية الأخرى أن يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD مماساً إذا وفقط إذا كانت الدوائر الداخلية في المثلثين ABC و ADC مماسة لبعضها البعض. ^{[ 1 ] : ص 66}

يُعزى وصف الزوايا المتكونة من القطر BD والأضلاع الأربعة للشكل الرباعي ABCD إلى يوسيفيسكو. وقد أثبت في عام 1954 أن الشكل الرباعي المحدب له دائرة داخلية إذا وفقط إذا ^{[ 5 ].}

$\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

علاوة على ذلك، يكون الشكل الرباعي المحدب ذو الأضلاع المتتالية a و b و c و d مماسًا إذا وفقط إذا

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$

حيث تمثل R_a و R _{_b} و R_{_c} و R_{_d} أنصاف أقطار الدوائر المماسية خارجيًا للأضلاع a و b و c و d على التوالي، وامتدادات الضلعين المتجاورين لكل ضلع. ^{[ 6 ] : ص 72}

توجد العديد من الخصائص الأخرى المعروفة في المثلثات الفرعية الأربعة التي تشكلها الأقطار.

تكون الدائرة الداخلية مماسية لكل جانب عند نقطة تماس واحدة . تحدد هذه النقاط الأربع شكلاً رباعياً جديداً داخل الشكل الرباعي الأصلي: الشكل الرباعي التماسي، وهو شكل دائري لأنه محاط بالدائرة الداخلية للشكل الرباعي الأصلي.

أطوال المماسات الثمانية ( هـ ، و ، ز ، ح في الشكل على اليمين) للشكل الرباعي المماسي هي القطع المستقيمة الواصلة من كل رأس إلى نقاط التماس. ومن كل رأس، يوجد مماسان متطابقان .

يمثل الوتران المماسيان ( k و l في الشكل) للرباعي المماسي القطعتين المستقيمتين اللتين تصلان نقاط التماس على الجانبين المتقابلين. وهما أيضاً قطرا الرباعي المماسي.

يُعطى نصف القطر الداخلي في شكل رباعي مماس ذي أضلاع متتالية a و b و c و d بواسطة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}}$

حيث K هي مساحة الشكل الرباعي و s هو نصف محيطه. بالنسبة للشكل الرباعي المماسي ذي الأضلاع المعطاة، يكون نصف قطر الدائرة الداخلية أكبر ما يمكن عندما يكون الشكل الرباعي دائريًا أيضًا (وبالتالي شكلًا رباعيًا ثنائي المركز ).

من حيث أطوال المماس ، فإن نصف قطر الدائرة الداخلية هو ^{[ 8 ] : Lemma2 [ 13 ]}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

يمكن التعبير عن نصف قطر الدائرة الداخلية بدلالة المسافات من مركز الدائرة الداخلية I إلى رؤوس الشكل الرباعي المماسي ABCD . إذا كان u = AI و v = BI و x = CI و y = DI ، فإن

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

أين${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$[ ^{14 ]​}

إذا كانت الدوائر الداخلية في المثلثات ABC و BCD و CDA و DAB لها أنصاف أقطار${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$وبالتالي، فإن نصف قطر الدائرة الداخلية للشكل الرباعي المماسي ABCD يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$

أين${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$[ ^{15 ]​}

إذا كانت e و f و g و h هي أطوال المماس من الرؤوس A و B و C و D على التوالي إلى النقاط التي يكون فيها الدائرة الداخلية مماسًا لأضلاع الشكل الرباعي المماسي ABCD ، فيمكن حساب زوايا الشكل الرباعي من ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

الزاوية بين وترَي التماس k و l معطاة بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

إذا كانت e و f و g و h هي أطوال المماسات من A و B و C و D على التوالي إلى النقاط التي يكون عندها الدائرة الداخلية مماسًا لأضلاع الشكل الرباعي المماسي ABCD ، فإن أطوال القطرين p = AC و q = BD هي ^{[ 8 ] : اللمة 3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

إذا كانت e و f و g و h هي أطوال المماس لرباعي مماس، فإن أطوال أوتار التماس هي ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

حيث يربط وتر التماس ذو الطول k بين الضلعين اللذين طولهما a = e + f و c = g + h ، ويربط وتر التماس ذو الطول l بين الضلعين اللذين طولهما b = f + g و d = h + e . وتحقق النسبة التربيعية لأوتار التماس المعادلة ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

وترين متماسين

• تكون الخطوط متعامدة إذا وفقط إذا كان للشكل الرباعي المماسي دائرة محيطة به (أي أنه ثنائي المركز ). ^{[ 3 ] : ص 124}
• تكون أطوالها متساوية إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي المماسي شكل طائرة ورقية . ^{[ 16 ] : ص 166}

يكون وتر التماس بين الضلعين AB و CD في الشكل الرباعي المماسي ABCD أطول من وتر التماس بين الضلعين BC و DA إذا وفقط إذا كان ثنائي المتوسط ​​بين الضلعين AB و CD أقصر من ثنائي المتوسط ​​بين الضلعين BC و DA . ^{[ 17 ] : ص 162}

إذا كان للشكل الرباعي المماسي ABCD نقطتا تماس W على AB و Y على CD ، وإذا كان وتر التماس WY يتقاطع مع القطر BD عند النقطة M ، فإن نسبة أطوال المماسات${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$يساوي النسبة${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$من قطاعات القطر BD . ^{[ 18 ]}

إذا كانت M1 _و M2 منتصفي قطري الشكل الرباعي المماسي ABCD ، _مركزه الداخلي I ، على التوالي ، في الشكل الرباعي المماسي ABCD ، وكانت أضلاعه المتقابلة تلتقي عند J و K، وكانت M3 منتصف JK ، فإن النقاط M3 _{و M1 و} I و M2 تقع على استقامة واحدة . ^{[ 4 ] : ​​ص 42.} _والخط الذي يمر بها هو خط نيوتن للشكل الرباعي.

إذا تقاطعت امتدادات الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي مماس عند النقطتين J و K ، وتقاطعت امتدادات الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي تماس معه عند النقطتين L و M ، فإن النقاط الأربع J و L و K و M تقع على استقامة واحدة. ^{[ 19 ] : النتيجة 3}

إذا كانت الدائرة الداخلية مماسية للأضلاع AB و BC و CD و DA عند النقاط T1 _و T2 و _T3 و _T4 على التوالي، وإذا كانت النقاط N1 وN2 وN3 و _N4 مترافقة متساوية الذرات لهذه _النقاط بالنسبة للأضلاع _{المقابلة} ( _أي أن AT1 = BN1 وهكذا ) ، فإن _نقطة ناجل _{للرباعي} المماسي تُعرَّف بأنها نقطة تقاطع الخطين N1N3 و _N2N4 . يقسم هذان الخطان _محيط الرباعي إلى قسمين متساويين. والأهم من ذلك، أن _نقطة ناجل _N ومركز المساحة G ومركز الدائرة الداخلية I تقع _على استقامة واحدة بهذا الترتيب، و NG = 2GI . يُسمى هذا الخط خط ناجل للرباعي المماسي. ^{[ 20 ]}

في شكل رباعي مماس ABCD مركزه الداخلي I وتتقاطع أقطاره عند النقطة P ، ولتكن HX و HY و _{HZ و} HW مراكز تعامد المثلثات AIB _و BIC و CID و DIA ^{. عندئذٍ} _، تكون النقاط P و HX و _{HY و} HZ و HW على ^{استقامة} واحدة . [ ¹⁰ ] _: ^ص ₂₈

القطران والوتران المماسان متلاقيان . ^{[ 11 ] [ 10 ] : ص 11.} يمكن النظر إلى هذا كحالة حدية لنظرية بريانشون ، التي تنص على أن السداسي الذي تمس جميع أضلاعه مقطعًا مخروطيًا واحدًا له ثلاثة أقطار تلتقي في نقطة واحدة. من شكل رباعي مماس، يمكن تكوين سداسي بزاوية 180 درجة، بوضع رأسين جديدين عند نقطتي تماس متقابلتين؛ تقع جميع أضلاع هذا السداسي الستة على خطوط مماسة للدائرة المحيطة، لذا تلتقي أقطاره في نقطة واحدة. لكن اثنين من هذه الأقطار هما نفس قطري الشكل الرباعي المماسي، والقطر الثالث للسداسي هو الخط المار بنقطتي تماس متقابلتين. بتكرار هذه الحجة نفسها مع نقطتي التماس الأخريين، يكتمل برهان النتيجة.

إذا تقاطعت امتدادات الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي مماس عند النقطتين J و K ، وتقاطعت أقطاره عند النقطة P ، فإن JK يكون عموديًا على امتداد IP حيث I هي مركز الدائرة الداخلية. ^{[ 19 ] : النتيجة 4}

يقع مركز الدائرة الداخلية للشكل الرباعي المماسي على خط نيوتن الخاص به (الذي يصل بين منتصفي قطريه). ^{[ 21 ] : نظرية 3}

يمكن التعبير عن نسبة ضلعين متقابلين في شكل رباعي مماس بدلالة المسافات بين مركز الدائرة الداخلية I والرؤوس وفقًا لـ ^{[ 10 ] : ص 15}

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.}$

إن حاصل ضرب ضلعين متجاورين في شكل رباعي مماسي ABCD ذي مركز داخلي I يحقق ^{[ 22 ]}

${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.}$

إذا كانت النقطة I هي مركز الدائرة الداخلية للشكل الرباعي المماسي ABCD ، فإن ^{[ 10 ] : ص 16}

${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

يتطابق مركز الدائرة الداخلية I في الشكل الرباعي المماسي ABCD مع "مركز رأس" الشكل الرباعي إذا وفقط إذا ^{[ 10 ] : ص 22}

${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID.}$

إذا كانت M _p و M _q هما منتصفات القطرين AC و BD على التوالي في شكل رباعي مماس ABCD مع مركز داخلي I ، فإن ^{[ 10 ] : ص.19 [ 23 ]}

${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$

حيث تمثل e و f و g و h أطوال المماس عند النقاط A و B و C و D على التوالي. وبدمج المساواة الأولى مع خاصية سابقة، فإن "مركز رأس" الشكل الرباعي المماسي يتطابق مع مركز الدائرة الداخلية إذا وفقط إذا كان مركز الدائرة الداخلية هو منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي قطري الشكل.

إذا صُممت آلية رباعية القضبان على شكل شكل رباعي مماس، فإنها ستظل مماسية بغض النظر عن كيفية ثني الآلية، شريطة أن يظل الشكل الرباعي محدبًا. ^{[ 24 ] [ 25 ]} (على سبيل المثال، إذا تم تشويه مربع إلى معين، فإنه يظل مماسًا، وإن كان ذلك لدائرة داخلية أصغر). إذا تم تثبيت أحد الأضلاع في وضع ثابت، فعند ثني الشكل الرباعي، يرسم مركز الدائرة الداخلية دائرة نصف قطرها${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$حيث a و b و c و d هي الأضلاع بالتسلسل و s هو نصف المحيط.

في المثلثات غير المتداخلة APB و BPC و CPD و DPA التي تشكلها الأقطار في الشكل الرباعي المحدب ABCD ، حيث تتقاطع الأقطار عند النقطة P ، توجد الخصائص التالية للأشكال الرباعية المماسية.

لنفترض أن r1 و r2 و r3 _و r4 _تمثل أنصاف أقطار _{الدوائر} الداخلية في المثلثات الأربعة APB و BPC و CPD و DPA على التوالي . وقد أثبت تشاو وسيميونوف أن الشكل الرباعي يكون مماسًا _إذا وفقط إذا ^{[ 26 ]} .

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

وقد أثبت فاينشتين هذا التوصيف قبل خمس سنوات. ^{[ 16 ] : ص 169} [27] وفي حل مسألته، قدم فاسيليف وسينديروف توصيفًا مشابهًا. إذا كانت h1 وh2 و ^{h3 و h4} تمثل الارتفاعات في _{المثلثات} الأربعة _نفسها ( من _نقطة تقاطع الأقطار إلى أضلاع الشكل الرباعي) _{، فإن الشكل الرباعي يكون مماسًا} ^إذا وفقط إذا ^{[ 5 ] [ 27} ]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.}$

ثمة توصيف مشابه آخر يتعلق بأنصاف أقطار الدوائر الخارجية r _a و r _b و r _c و r _d في المثلثات الأربعة نفسها (حيث تكون الدوائر الخارجية الأربعة مماسة لأحد أضلاع الشكل الرباعي وامتدادات أقطاره). يكون الشكل الرباعي مماسًا إذا وفقط إذا ^{[ 1 ] : ص 70}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.}$

إذا كانت R1 و R2 _و R3 _و R4 تمثل _أنصاف أقطار الدوائر المحيطة بالمثلثات _APB و BPC و CPD و DPA ^على التوالي ، فإن الشكل الرباعي ABCD يكون مماسًا إذا وفقط إذا [ 28 ^{] : ص 23-24}

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

في عام ١٩٩٦، كان فاينشتين على الأرجح أول من أثبت توصيفًا رائعًا آخر للأشكال الرباعية المماسية، والذي ظهر لاحقًا في العديد من المجلات والمواقع الإلكترونية. ^{[ ١ ] : ص ٧٢-٧٣.} ينص هذا التوصيف على أنه عند تقسيم شكل رباعي محدب إلى أربعة مثلثات غير متداخلة بواسطة قطريه، فإن مراكز الدوائر الداخلية لهذه المثلثات الأربعة تكون متحدة الدائرة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي مماسًا. في الواقع، تُشكل مراكز الدوائر الداخلية شكلًا رباعيًا دائريًا متعامد الأقطار . ^{[ ١ ] : ص ٧٤.} ومن النتائج ذات الصلة أنه يمكن استبدال الدوائر الداخلية بالدوائر الخارجية لنفس المثلثات (المماسة لأضلاع الشكل الرباعي وامتدادات أقطاره). وبالتالي، يكون الشكل الرباعي المحدب مماسًا إذا وفقط إذا كانت مراكز الدوائر الخارجية الأربعة هي رؤوس شكل رباعي دائري . ^{[ ١ ] : ص ٧٤. 73}

يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD ، الذي تتقاطع أقطاره عند النقطة P ، مماسًا إذا وفقط إذا كانت المراكز الخارجية الأربعة في المثلثات APB و BPC و CPD و DPA المقابلة للرأسين B و D تقع على دائرة واحدة. ^{[ 1 ] : ص 79.} إذا كانت R _{_a} و R_{_b} و R_{_c} و R_{_d} هي أنصاف أقطار المراكز الخارجية في المثلثات APB و BPC و CPD و DPA المقابلة للرأسين B و D على التوالي ، فإن شرطًا آخر هو أن يكون الشكل الرباعي مماسًا إذا وفقط إذا ^{[ 1 ] : ص 80.}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.}$

علاوة على ذلك، يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD الذي تتقاطع أقطاره عند النقطة P مماسًا إذا وفقط إذا ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$

حيث ∆( APB ) هي مساحة المثلث APB .

_{لنرمز إلى} القطعتين اللتين يقسمهما تقاطع القطر P مع القطر AC بالرمزين AP = p1 و PC = p2 _، وبالمثل يقسم P القطر BD إلى القطعتين _BP = q1 و PD = q2 . عندئذٍ يكون الشكل الرباعي مماسًا إذا وفقط ^إذا تحققت إحدى المتساويات التالية: ^[ ₂₉ ^]

${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

أو ^{[ 1 ] : ص 74}

${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

أو ^{[ 1 ] : ص 77}

${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

• الشكل الرباعي لأبولونيوس ، حيث تكون نواتج ضرب الأضلاع المتقابلة متساوية بدلاً من مجموعها.
• الشكل الرباعي المماسي الخارجي ، وهو شكل رباعي يمس دائرة خارجه.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "الرباعي المماسي" ، عالم الرياضيات{{cite web}}: CS1 maint: overridden setting ( link )