صفيحة مستوية

في الرياضيات ، تُعرف الصفيحة المستوية (أو الصفيحة المستوية ^{[ 1 ]} ) بأنها شكل مستوٍ يُمثل طبقة رقيقة، عادةً ما تكون منتظمة، من جسم صلب . كما تُستخدم كنموذج مثالي لمقطع عرضي مستوٍ لجسم صلب في عمليات التكامل . ويمكن استخدام الصفائح المستوية لتحديد عزم القصور الذاتي ، أو مركز كتلة الأشكال، بالإضافة إلى كونها أداة مساعدة في الحسابات المقابلة للأجسام ثلاثية الأبعاد.

تُعرَّف الصفيحة المستوية بأنها شكل ( مجموعة مغلقة ) D من مساحة محدودة في مستوى، مع كتلة m . ^{[ 2 ]}

يُعدّ هذا مفيدًا في حساب عزم القصور الذاتي أو مركز الكتلة لكثافة ثابتة، لأن كتلة الصفيحة تتناسب طرديًا مع مساحتها. أما في حالة الكثافة المتغيرة، والتي تُعطى بواسطة دالة كثافة سطحية (غير سالبة ) ،${\displaystyle \rho (x,y),}$الكتلة${\displaystyle m}$[3] من الصفيحة المستوية D هو تكامل مستوٍ لـ ρ على الشكل: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$$

يقع مركز كتلة الصفيحة عند النقطة

$${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)}$$

أين${\displaystyle M_{y}}$هي لحظة دوران الصفيحة بأكملها حول المحور y و${\displaystyle M_{x}}$هي لحظة دوران الصفيحة بأكملها حول المحور السيني:

$$// _ {D} x\,\rho (x,y)\,dx\,dy\\[1ex]M_{x}&=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}y_{ij}^{*}\,\rho (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy\end{aligned}}}$$

مع إجراء عمليات الجمع والتكامل على مجال مستوٍ${\displaystyle D}$.

أوجد مركز كتلة صفيحة ذات حواف محددة بالخطوط${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle y=x}$و${\displaystyle y=4-x}$حيث تُعطى الكثافة على النحو التالي${\displaystyle \rho (x,y)=2x+3y+2}$.

لهذا السبب الكتلة${\displaystyle m}$يجب العثور عليها وكذلك اللحظات${\displaystyle M_{y}}$و${\displaystyle M_{x}}$.

القداس هو${\textstyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$والتي يمكن التعبير عنها بشكل مكافئ كتكامل متكرر :

$${\displaystyle m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\left(2x+3y+2\right)dy\,dx}$$

التكامل الداخلي هو:

$$\begin{aligned}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\\[1ex]&=\left[2xy+{\frac {3}{2}}y^{2}+2y\right]_{y=x}^{y=4-x}\\[1ex]&=\left[2x\left(4-x\right)+{\frac {3}{2}}\left(4-x\right)^{2}+2\left(4-x\right)\right]-\left[2x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{2}+2x\right]\\[1ex]&=-4x^{2}-8x+32\end{aligned}}}$$

بإدخال هذا في التكامل الخارجي ينتج عنه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)dx\\[1ex]&=\left[-{\frac {4}{3}}x^{3}-4x^{2}+32x\right]_{0}^{2}={\frac {112}{3}}\end{aligned}}}$$

وبالمثل يتم حساب كلا اللحظتين:

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy\\[1ex]&=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\left(2x+3y+2\right)dy\,dx\end{aligned}}}$$

مع التكامل الداخلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{y=x}^{4-x}x\left(2x+3y+2\right)dy&=\left[2x^{2}y+{\frac {3x}{2}}y^{2}+2xy\right]_{y=x}^{4-x}\\[1ex]&=-4x^{3}-8x^{2}+32x\end{aligned}}}$$

مما يجعل:

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{0}^{2}\left(-4x^{3}-8x^{2}+32x\right)dx\\[1ex]&=\left[-x^{4}-{\frac {8}{3}}x^{3}+16x^{2}\right]_{0}^{2}={\frac {80}{3}}\end{aligned}}}$$

و

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy\\[1ex]&=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\left(2x+3y+2\right)dy\,dx\\[1ex]&=\int _{0}^{2}\left[xy^{2}+y^{3}+y^{2}\right]_{y=x}^{4-x}\,dx\\[1ex]&=\int _{0}^{2}\left(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80\right)dx\\[1ex]&=\left[-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right]_{0}^{2}={\frac {248}{3}}\end{aligned}}}$$

وأخيرًا، مركز الكتلة هو

$${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}$$