نقاط دائرية

في الهندسة ، يقال عن مجموعة من النقاط أنها متحدة الأضلاع (أو متحدة الأضلاع ) إذا كانت تقع على دائرة مشتركة . يسمى المضلع الذي تكون رؤوسه متحدة الأضلاع مضلعًا دوريًا ، وتسمى الدائرة الدائرة المحيطة به أو الدائرة المحيطة به . تكون جميع النقاط المتحدّة الأضلاع متساوية البعد عن مركز الدائرة.

إن النقاط الثلاث في المستوى التي لا تقع جميعها على خط مستقيم تكون دائرية، وبالتالي فإن كل مثلث هو مضلع دائري، مع دائرة محيطة محددة جيدًا. ومع ذلك، فإن أربع نقاط أو أكثر في المستوى ليست بالضرورة دائرية. بعد المثلثات، تمت دراسة الحالة الخاصة للأشكال الرباعية الدائرية على نطاق واسع.

بشكل عام، يجب أن يكون مركز O للدائرة التي تقع عليها النقطتان P و Q بحيث تكون المسافة بين OP و OQ متساوية. لذلك، يجب أن يقع O على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة PQ . ^[1] بالنسبة لـ n نقطة مميزة ، يوجد n ( n  − 1)/2 منصفات، والشرط الدوري هو أن تلتقي جميعها في نقطة واحدة، وهي المركز O.

تقع رؤوس كل مثلث على دائرة تسمى الدائرة المحيطة . (ولهذا السبب، يعرّف بعض المؤلفين "المستدير" فقط في سياق أربع نقاط أو أكثر على الدائرة.) ^[2] هناك أيضًا العديد من المجموعات الأخرى من النقاط المحددة من مثلث مستدير، بدوائر مختلفة؛ انظر الدائرة ذات النقاط التسع ^[3] ونظرية ليستر . ^[4]

نصف قطر الدائرة التي تقع عليها مجموعة من النقاط هو، بحكم التعريف، نصف قطر الدائرة المحيطة بأي مثلث له رؤوس عند أي ثلاث من تلك النقاط. إذا كانت المسافات الزوجية بين ثلاث نقاط هي a و b و c ، فإن نصف قطر الدائرة هو

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}.}$

تُعطى هنا معادلة الدائرة المحيطة بالمثلث، وتعبيرات نصف القطر وإحداثيات مركز الدائرة، من حيث الإحداثيات الديكارتية للرؤوس .

في أي مثلث، تكون جميع النقاط التسع التالية دائرية على ما يسمى بدائرة النقاط التسع : نقاط منتصف الحواف الثلاثة، وأقدام الارتفاعات الثلاثة ، والنقط التي تقع في منتصف المسافة بين مركز التقويم وكل من الرؤوس الثلاثة.

تنص نظرية ليستر على أنه في أي مثلث غير متوازي الأضلاع ، تكون نقطتي فيرما ، ومركز النقاط التسع ، ومركز الدائرة دائرية.

إذا تم رسم خطوط عبر نقطة ليموين موازية لأضلاع المثلث، فإن نقاط تقاطع الخطوط وأضلاع المثلث الست تكون دائرية، في ما يسمى بدائرة ليموين .

تحتوي دائرة فان لاموين المرتبطة بأي مثلث معين على مراكز محيطات المثلثات الستة المحددة بداخلها بواسطة متوسطاتها الثلاثة . ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

مركز محيط المثلث ونقطة ليموين وأول نقطتين من نقاط بروكارد دائرية، حيث يكون الجزء من مركز محيط المثلث إلى نقطة ليموين قطرًا . ^[5]

يُسمى الشكل الرباعي ABCD ذو الرؤوس الدائرية بالشكل الرباعي الدائري ؛ ويحدث هذا إذا وفقط إذا ( نظرية الزاوية المحيطية ) والتي تكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت الزوايا المتقابلة داخل الشكل الرباعي متكاملة . ^[6] الشكل الرباعي الدائري ذو الأضلاع المتتالية a و b و c و d ونصف محيطه s = ( a + b + c + d ) / 2 يكون نصف قطره المحيطي معطى بواسطة ^{[7] [8]}${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}},}$

تعبير تم استخلاصه من قبل عالم الرياضيات الهندي فاتاسيري باراميشفارا في القرن الخامس عشر.

وفقًا لنظرية بطليموس ، إذا كان الشكل الرباعي معطى بالمسافات الزوجية بين رؤوسه الأربعة A و B و C و D بالترتيب، فإنه يكون دائريًا إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب القطرين يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

إذا تقاطع خطان مستقيمان، أحدهما يحتوي على القطعة AC والآخر يحتوي على القطعة BD ، عند X ، فإن النقاط الأربع A و B و C و D تكون دائرية إذا وفقط إذا ^[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

قد يكون التقاطع X داخليًا أو خارجيًا للدائرة. تُعرف هذه النظرية باسم قوة النقطة .

يكون الشكل الرباعي المحدب متعامد الأضلاع (له أقطار متعامدة) إذا وفقط إذا كانت نقاط منتصف الأضلاع وأقدام الارتفاعات الأربعة ثماني نقاط دائرية، على ما يسمى بالدائرة ذات النقاط الثماني .

بشكل عام، يسمى المضلع الذي تكون جميع رؤوسه دائرية مضلعًا دائريًا . يكون المضلع دائريًا إذا وفقط إذا كانت منصفات أضلاعه العمودية متزامنة . ^[10] كل مضلع منتظم هو مضلع دائري.

بالنسبة للمضلع الدائري ذي العدد الفردي من الأضلاع، تكون جميع الزوايا متساوية إذا وفقط إذا كان المضلع منتظمًا. أما المضلع الدائري ذي العدد الزوجي من الأضلاع، فإن جميع زواياه متساوية إذا وفقط إذا كانت الأضلاع المتبادلة متساوية (أي أن الأضلاع 1، 3، 5، ... متساوية، والأضلاع 2، 4، 6، ... متساوية). ^[11]

يُعرف الخماسي الدائري ذو الأضلاع والمساحة النسبية باسم خماسى روبنز . وفي جميع الحالات المعروفة، يكون لأقطاره أيضًا أطوال نسبية، على الرغم من أن ما إذا كان هذا صحيحًا لجميع خماسيات روبنز المحتملة هو مشكلة لم يتم حلها. ^[12]

في أي مضلع دائري n- ضلع زوجي ، يكون مجموع مجموعة واحدة من الزوايا المتبادلة (الأولى والثالثة والخامسة، إلخ) مساويًا لمجموع المجموعة الأخرى من الزوايا المتبادلة. ويمكن إثبات ذلك بالاستقراء من حالة n = 4 ، في كل حالة استبدال ضلع بثلاثة أضلاع أخرى وملاحظة أن هذه الأضلاع الثلاثة الجديدة مع الضلع القديم تشكل شكلًا رباعيًا يتمتع بهذه الخاصية؛ تمثل الزوايا المتبادلة للشكل الرباعي الأخير الإضافات إلى مجموع الزوايا المتبادلة للشكل الرباعي السابق n- ضلع.

المضلع المماس هو المضلع الذي توجد به دائرة محصورة مماسة لكل جانب من جوانب المضلع؛ وبالتالي تكون نقاط التماس هذه دائرية على الدائرة المحصورة. دع مضلعًا واحدًا من النوع n محصورًا في دائرة، ودع مضلعًا آخر من النوع n يكون مماسًا لتلك الدائرة عند رؤوس المضلع الأول من النوع n . إذن من أي نقطة P على الدائرة، فإن حاصل ضرب المسافات العمودية من P إلى جوانب المضلع الأول من النوع n يساوي حاصل ضرب المسافات العمودية من P إلى جوانب المضلع الثاني من النوع n . ^[13]

ليكن لضلع دائري n رؤوس A ₁ , …, A _n على الدائرة الوحدوية. إذن لأي نقطة M على القوس الأصغر A ₁ A _n ، فإن المسافات من M إلى الرؤوس تحقق ^[14]

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-2}}}+{\overline {MA_ {n}}}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if}}n{\text{ غريب}};\\{\overline {MA_{1}}}+{\ خط علوي {MA_ {3}}}+\cdots +{\overline {MA_ {n-3}}}+{\overline {MA_ {n-1}}}\leq n / {\sqrt {2}}&{ \text{if }}n{\text{ زوجي}}.\end{الحالات}}}$

بالنسبة لمضلع منتظم ذو n ضلع، إذا كانت المسافات من أي نقطة M على الدائرة المحيطة إلى الرؤوس A _i ، فإن ^[15]${\displaystyle {\overline {MA_{i}}}}$

${\displaystyle 3({\overline {MA_{1}}}^{2}+{\overline {MA_{2}}}^{2}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{2})^{2}=2n({\overline {MA_{1}}}^{4}+{\overline {MA_{2}}}^{4}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{4}).}$

أي مضلع منتظم هو دائري. ضع في اعتبارك دائرة وحدة، ثم ارسم محيطًا لمثلث منتظم بحيث يلامس كل ضلع الدائرة. ارسم محيطًا لدائرة، ثم ارسم محيطًا لمربع. مرة أخرى، ارسم محيطًا لدائرة، ثم ارسم محيطًا لخماسي منتظم ، وهكذا. تتقارب أقطار الدوائر المحددة إلى ما يسمى بالثابت المحيط بالمضلع

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .}$

(التسلسل A051762 في OEIS ). معكوس هذا الثابت هو ثابت كيبلر-بوكامب .

في السياقات التي يتم فيها اعتبار الخطوط نوعًا من الدوائر المعممة ذات نصف القطر اللانهائي، تُعتبر النقاط المتوازية (النقاط على طول خط واحد) دائرية. وجهة النظر هذه مفيدة، على سبيل المثال، عند دراسة الانعكاس عبر دائرة أو بشكل عام تحويلات موبيوس (التحويلات الهندسية الناتجة عن الانعكاسات وانعكاسات الدائرة)، حيث تحافظ هذه التحويلات على دائرية النقاط فقط بهذا المعنى الموسع. ^[16]

في المستوى المركب (المكون من خلال النظر إلى الأجزاء الحقيقية والتخيلية لعدد مركب كإحداثيات ديكارتية x و y للمستوى)، فإن الدورية لها صيغة بسيطة بشكل خاص: أربع نقاط في المستوى المركب تكون إما دورية أو متوازية إذا وفقط إذا كانت نسبتها المتقاطعة عددًا حقيقيًا . ^[17]

تتمتع بعض المضلعات الدائرية بخاصية أن مساحتها وجميع أضلاعها أعداد صحيحة موجبة. تسمى المثلثات التي تتمتع بهذه الخاصية مثلثات هيرونية ؛ وتسمى الرباعيات الدائرية التي تتمتع بهذه الخاصية (والتي يكون للأقطار التي تربط بين الرؤوس المتقابلة طول صحيح) رباعيات براهماجوبتا ؛ وتسمى الخماسيات الدائرية التي تتمتع بهذه الخاصية خماسيات روبنز . وبشكل عام، فإن إصدارات هذه المضلعات الدائرية التي يتم قياسها بعدد نسبي سيكون لها مساحة وأطوال أضلاع أعداد نسبية.

ليكن θ ₁ هي الزاوية الممتدة على أحد أضلاع المضلع الدائري كما يُرى من مركز الدائرة المحيطة. وبالمثل، حدد الزوايا المركزية θ ₂ و... و θ _n للأضلاع المتبقية n − 1. كل مثلث هيروني وكل رباعي أضلاع براهماجوبتا له قيمة نسبية لمماس الزاوية الربعية، tan θ _k / 4 ، لكل قيمة لـ k . كل خماسي روبنز معروف (له أقطار لها طول نسبي و) له هذه الخاصية، على الرغم من أنه من غير المحلول معرفة ما إذا كان كل خماسي روبنز ممكن له هذه الخاصية أم لا.

والعكس صحيح بالنسبة لجميع المضلعات الدائرية التي لها أي عدد من الأضلاع؛ فإذا كانت جميع هذه الزوايا المركزية لها مماسات نسبية لزواياها الربعية، فإن المضلع الدائري المفترض الذي تحيط به الدائرة الوحدوية سيكون له في نفس الوقت أطوال أضلاع نسبية ومساحة نسبية. بالإضافة إلى ذلك، فإن كل قطر يربط بين رأسين، سواء كان الرأسان متجاورين أم لا، سيكون له طول نسبي. ويمكن قياس مثل هذا المضلع الدائري بحيث تكون مساحته وأطواله جميعها أعدادًا صحيحة.

تعطي هذه العلاقة العكسية طريقة لتوليد مضلعات دائرية بمساحة صحيحة وأضلاع وقطر. بالنسبة لمضلع به n ضلع، دع 0 < c ₁ < ... < c _{n −1} < +∞ تكون أعدادًا نسبية. هذه هي مماسات ربع الزوايا التراكمية θ ₁ و θ ₁ + θ ₂ و ... و θ ₁ + ... + θ _{n −1} . دع q ₁ = c ₁ ، دع q _n = 1 / c _{n −1} ، ودع q _k = ( c _k − c _{k −1} ) / (1 + c _k c _{k −1} ) لـ k = 2 و ... و n −1 . هذه الأعداد النسبية هي مماسات أرباع الزوايا الفردية، باستخدام صيغة مماس الفرق بين الزوايا. وبالتالي، نحصل على أطوال الأضلاع النسبية للمضلع المحيط بالدائرة الوحدوية على النحو التالي: s _k = 4 q _k / (1 + q _k ² ) . والمساحة النسبية هي A = ∑ _k 2 q _k (1 − q _k ² ) / (1 + q _k ² ) ² . ويمكن تحويل هذه الأطوال إلى أعداد صحيحة عن طريق قياس أطوال الأضلاع بواسطة ثابت مشترك.

تكون المجموعة المكونة من خمس نقاط أو أكثر متحدة الدورية إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة فرعية مكونة من أربع نقاط متحدة الدورية. ^[18] ويمكن اعتبار هذه الخاصية بمثابة نظير للدورية لخاصية هيلي للمجموعات المحدبة.

المفهوم المرتبط بهذا هو مفهوم الدائرة المحدودة الدنيا ، وهي أصغر دائرة تحتوي بالكامل على مجموعة من النقاط. كل مجموعة من النقاط في المستوى لها دائرة محدودة دنيا فريدة، والتي يمكن إنشاؤها بواسطة خوارزمية زمنية خطية . ^[19]

حتى لو كانت مجموعة من النقاط دائرية، فقد تكون الدائرة المحيطة بها مختلفة عن الدائرة المحيطة بها الدنيا. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث المنفرج ، فإن الدائرة المحيطة بها الدنيا لها أطول ضلع كقطر ولا تمر عبر الرأس المقابل.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدائري المتصل". MathWorld .
• أربع نقاط دائرية بقلم مايكل شرايبر، مشروع العروض التوضيحية لوولفرام .