نقاط بروكارد

في الهندسة ، نقاط بروكارد هي نقاط خاصة داخل المثلث . وقد سميت نسبة إلى هنري بروكارد (1845-1922 ) ، وهو عالم رياضيات فرنسي.

في المثلث △ ABC ذي الأضلاع a و b و c ، حيث تُسمى رؤوسه A و B و C بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة، توجد نقطة واحدة فقط P بحيث تُشكل القطع المستقيمة AP و BP و CP نفس الزاوية ω مع الأضلاع c و a و b على التوالي ، أي أن

$${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,}$$

تُسمى النقطة P نقطة بروكارد الأولى للمثلث △ ABC ، وتُسمى الزاوية ω زاوية بروكارد للمثلث. تتميز هذه الزاوية بالخاصية التالية:

$${\displaystyle \cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle BCA{\bigr )}.}$$

توجد أيضًا نقطة بروكارد ثانية ، Q ، في المثلث △ ABC بحيث تشكل القطع المستقيمة AQ و BQ و CQ زوايا متساوية مع الأضلاع b وc وa على التوالي. بعبارة أخرى، المعادلات $${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$$ ينطبق. ومن اللافت للنظر أن نقطة بروكارد الثانية هذه لها نفس زاوية بروكارد التي لها نقطة بروكارد الأولى. بعبارة أخرى، الزاوية $${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$$ هو نفسه $${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$$

ترتبط نقطتا بروكارد ارتباطًا وثيقًا ببعضهما البعض؛ في الواقع، يعتمد الفرق بين الأولى والثانية على ترتيب قياس زوايا المثلث △ ABC . فعلى سبيل المثال، النقطة الأولى في بروكارد للمثلث △ ABC هي نفسها النقطة الثانية في بروكارد للمثلث △ ACB .

نقطتا بروكارد في المثلث △ ABC مترافقتان متساويتان في الزوايا.

أفضل طريقة لإنشاء نقاط بروكارد هي كما يلي. في المثال التالي، نعرض نقطة بروكارد الأولى، ولكن طريقة إنشاء نقطة بروكارد الثانية مشابهة جدًا.

كما هو موضح في الرسم التخطيطي أعلاه، ارسم دائرة تمر بالنقطتين A و B ، مماسة للضلع BC من المثلث (مركز هذه الدائرة هو نقطة تقاطع المنصف العمودي للضلع AB مع الخط العمودي على BC المار بالنقطة B ). وبالمثل، ارسم دائرة تمر بالنقطتين B و C ، مماسة للضلع AC ، ودائرة أخرى تمر بالنقطتين A و C ، مماسة للضلع AB . تشترك هذه الدوائر الثلاث في نقطة واحدة، وهي نقطة بروكارد الأولى للمثلث ABC . انظر أيضًا: الخطوط المماسية للدوائر .

تُعتبر الدوائر الثلاث التي تم إنشاؤها للتو دوائر فرعية للمثلث ABC . ويتم إنشاء نقطة بروكارد الثانية بطريقة مماثلة.

الإحداثيات الثلاثية المتجانسة لنقطتي بروكارد الأولى والثانية هي: $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}}$$ وبالتالي فإن إحداثياتها الباريسنترية هي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}}$$

تُعدّ نقاط بروكارد مثالًا على زوج من النقاط ثنائية المركز، لكنها ليست مراكز مثلثات لأن أيًا من نقطتي بروكارد غير ثابتة تحت تحويلات التشابه : فعكس مثلث مختلف الأضلاع، وهو حالة خاصة من التشابه، يحوّل إحدى نقطتي بروكارد إلى الأخرى. مع ذلك، فإن الزوج غير المرتب المُشكّل من النقطتين ثابت تحت تحويلات التشابه. نقطة المنتصف بين نقطتي بروكارد، والتي تُسمى نقطة منتصف بروكارد ، لها إحداثيات ثلاثية الخطوط ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$$ وهي مركز مثلث؛ وهي المركز X(39) في موسوعة مراكز المثلثات . النقطة الثالثة لبروكارد ، معطاة بالإحداثيات الثلاثية الخطية على النحو التالي ^{[ 3 ].}

$${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},}$$

هي نقطة منتصف بروكارد للمثلث المضاد للمكمل . وهي مركز X(76) في موسوعة مراكز المثلثات . إضافةً إلى ذلك:

• النقطة الثالثة من نقاط بروكارد هي المترافقة المتساوية الذرات للنقطة المتوسطة .
• النقطة الثالثة في بروكارد هي نقطة المنظور لمثلث بروكارد و △ ABC .
• تقع نقطة بروكارد الثالثة على قطر الدائرة المحيطة التي تربط نقطة شتاينر ونقطة تاري .

المسافة بين أول نقطتين من نقاط بروكارد P و Q تكون دائمًا أقل من أو تساوي نصف نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث R : ^{[ 1 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$$

ينصف الخط الواصل بين أول نقطتين من نقاط بروكارد عموديًا عند منتصف نقطة بروكارد بواسطة الخط الواصل بين مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ونقطة التناظر المتوسط. علاوة على ذلك، فإن مركز الدائرة المحيطة، ونقطة ليموين، وأول نقطتين من نقاط بروكارد تقع جميعها على دائرة بروكارد ، التي يمثل الخط الواصل بين مركز الدائرة المحيطة ونقطة ليموين قطرًا لها . ^{[ 1 ]} تلتقي المماسات لدائرة بروكارد عند أول نقطتين من نقاط بروكارد عند نقطة التناظر المتساوي للزاوية المقابلة لنقطة بروكارد الثالثة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

نقاط بروكارد P و Q متساوية البعد عن مركز الدائرة المحيطة بالمثلث O : ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.}$$

المثلثات الدوسية للنقطتين الأولى والثانية من نقاط بروكارد متطابقة مع بعضها البعض ومماثلة للمثلث الأصلي. ^{[ 4 ]}

إذا تقاطعت الخطوط AP وBP وCP ، التي تمر كل منها بأحد رؤوس المثلث وبنقطة بروكارد الأولى، مع الدائرة المحيطة بالمثلث ^عند النقاط L وM وN ، فإن المثلث △ LMN يطابق المثلث الأصلي △ ABC . وينطبق الأمر نفسه إذا استُبدلت نقطة بروكارد الأولى P بنقطة بروكارد الثانية Q. ^{[ 4} ]

• نقطة بروكارد الثالثة في عالم الرياضيات
• أزواج النقاط ثنائية المركز ومراكز المثلثات المرتبطة بها
• أزواج النقاط ثنائية المركز
• النقاط المركزية في عالم الرياضيات