تقليل حجم الكتل المتغيرة مع الزمن

لنفترض سلسلة من N كيوبت ، موصوفة بالدالة${\displaystyle |\Psi \rangle \in H^{{\otimes }N}}$الطريقة الأكثر طبيعية للوصف${\displaystyle |\Psi \rangle }$ سيتم استخدام المحلي${\displaystyle M^{N}}$الأساس البُعدي${\displaystyle |i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle }$: $${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \limits _{i=1}^{M}c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}|{i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}}\rangle }$$ حيث M هو البعد الموجود في الموقع.

تكمن حيلة TEBD في إعادة كتابة المعاملات${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$: $${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}=\sum \limits _{\alpha _{1},..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{\alpha _{2}}^{[2]}\Gamma _{\alpha _{2}\alpha _{3}}^{[3]i_{3}}\lambda _{\alpha _{3}}^{[3]}\cdot ..\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}}^{[{N-1}]i_{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}}^{[N-1]}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}}$$

هذا الشكل، المعروف باسم حالة ضرب المصفوفة ، يبسط الحسابات بشكل كبير.

لفهم السبب، يمكن للمرء أن ينظر إلى تحليل شميدت للحالة، والذي يستخدم تحليل القيمة المفردة للتعبير عن حالة ذات تشابك محدود بشكل أبسط.

لنفترض حالة نظام ثنائي الأجزاء${\displaystyle \vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}}$كل دولة من هذا القبيل${\displaystyle |{\Psi }\rangle }$يمكن تمثيلها على أساس مختار بشكل مناسب على النحو التالي: $${\displaystyle \left\vert \Psi \right\rangle =\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}\left\vert {\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\right\rangle }$$ أين${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$يتم تشكيلها باستخدام المتجهات${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}}\rangle }$التي تجعل أساسًا متعامدًا في${\displaystyle H_{A}}$وبالتالي، المتجهات${\displaystyle |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$، والتي تشكل أساسًا متعامدًا في${\displaystyle {H_{B}}}$، مع المعاملات${\displaystyle a_{i}}$أن تكون واقعياً وإيجابياً، ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1}$يُطلق على هذا اسم تحليل شميدت (SD) للحالة. وبشكل عام، يصل المجموع إلى${\displaystyle M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))}$تُحدد رتبة شميدت لتقسيم ثنائي بعدد معاملات شميدت غير الصفرية. إذا كانت رتبة شميدت تساوي واحدًا، فإن التقسيم يتميز بحالة ضربية. تُحدد متجهات التقسيم الثنائي حتى طور معين، وتكون القيم الذاتية ورتبة شميدت فريدة.

على سبيل المثال، حالة الكيوبت المزدوج: $${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(|{00}\rangle +{\sqrt {3}}|{01}\rangle +{\sqrt {3}}|{10}\rangle +|{11}\rangle \right)}$$ يحتوي على الانحراف المعياري التالي: $${\displaystyle \left|{\Psi }\right\rangle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{1}^{A}\phi _{1}^{B}}\right\rangle +{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{2}^{A}\phi _{2}^{B}}\right\rangle }$$ مع $${\displaystyle |{\phi _{1}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle +|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{1}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{B}}\rangle +|{1_{B}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle -|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{1_{B}}\rangle -|{0_{B}}\rangle )}$$

من جهة أخرى، الدولة: $${\displaystyle |{\Phi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|{00}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {6}}}|{01}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{10}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {6}}}|{11}\rangle }$$ حالة المنتج: $${\displaystyle \left|\Phi \right\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\left|0_{A}\right\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}\left|1_{A}\right\rangle \right)\otimes \left(\left|0_{B}\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|1_{B}\right\rangle \right)}$$

في هذه المرحلة، نعرف ما يكفي لمحاولة معرفة كيف نبني التفكيك بشكل صريح (لنسميه D ).

ضع في اعتبارك التقسيم الثنائي${\displaystyle [1]:[2..N]}$. الانحراف المعياري له المعاملات${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}}$والمتجهات الذاتية${\displaystyle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\right\rangle }$من خلال توسيع${\displaystyle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle }$في الأساس المحلي، يمكن للمرء أن يكتب:

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i_{1},{\alpha _{1}=1}}^{M,\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}|{i_{1}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$$

يمكن تقسيم العملية إلى ثلاث خطوات، تُكرر لكل رابطة (وبالتالي، لكل SD) في السلسلة: الخطوة 1 : التعبير عن${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$'s في أساس محلي للكيوبت 2: $${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\sum _{i_{2}}|{i_{2}}\rangle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

المتجهات${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$ليست بالضرورة موحدة .

الخطوة الثانية : اكتب كل متجه${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$من حيث الحد الأقصى (تأكيد فيدال)${\displaystyle \chi }$متجهات شميدت${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$وبالتالي، المعاملات${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}}$: $${\displaystyle |\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}\rangle =\sum _{\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

الخطوة 3 : قم بإجراء الاستبدالات واحصل على: $${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{i_{1},i_{2},\alpha _{1},\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{i_{1}i_{2}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

بتكرار الخطوات من 1 إلى 3، يمكن بناء التفكيك الكامل للحالة D. الأخير${\displaystyle \Gamma }$تُعدّ هذه حالة خاصة، مثل الحالات الأولى، حيث تُعبّر عن متجهات شميدت اليمنى عند${\displaystyle (N-1)^{th}}$السندات من حيث الأساس المحلي في${\displaystyle N^{th}}$مكان الشبكة. كما هو موضح في ^{[ 1 ]،} من السهل الحصول على تحليل شميدت عند${\displaystyle k^{th}}$الرابطة، أي${\displaystyle [1..k]:[k+1..N]}$، من د .

يتم إعطاء القيم الذاتية لشميدت بشكل صريح في D :

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{\alpha _{k}}\lambda _{{\alpha }_{k}}^{[k]}|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle }$$

متجهات شميدت الذاتية هي ببساطة:

$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}..\alpha _{k-1}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\cdot \cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]i_{k}}|{i_{1}i_{2}..i_{k}}\rangle }$$ و

$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle =\sum _{\alpha _{k+1},\alpha _{k+2}..\alpha _{N}}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}}^{[k+1]i_{k+1}}\lambda _{\alpha _{k+1}}^{[k+1]}\cdot \cdot \lambda _{\alpha _{N-1}}^{N-1}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}|{i_{k+1}i_{k+2}..i_{N}}\rangle }$$

والآن، بالنظر إلى D ، بدلاً من${\displaystyle M^{N}}$الشروط الأولية، هناك${\displaystyle {\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi }$يبدو أن هذه مجرد طريقة أنيقة لإعادة كتابة المعاملات${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$لكن في الواقع، الأمر يتجاوز ذلك. بافتراض أن N عدد زوجي، فإن رتبة شميدت${\displaystyle \chi }$يمكن أن يكون للقطع الثنائي في منتصف السلسلة قيمة قصوى تبلغ${\displaystyle M^{N/2}}$في هذه الحالة، ينتهي بنا الأمر على الأقل${\displaystyle M^{N+1}{\cdot }(N-2)}$المعاملات، مع الأخذ في الاعتبار فقط${\displaystyle {\chi }^{2}}$واحد، أكثر بقليل من البداية${\displaystyle M^{N}}$الحقيقة هي أن التفكيك D مفيد عند التعامل مع الأنظمة التي تُظهر درجة منخفضة من التشابك، وهو ما ينطبق لحسن الحظ على العديد من الأنظمة أحادية البعد، حيث تتلاشى معاملات شميدت للحالة الأرضية بطريقة أسية مع${\displaystyle \alpha }$:

$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\ K>0.}$$

لذلك، من الممكن أخذ بعض معاملات شميدت فقط في الاعتبار (وتحديداً أكبرها)، مع حذف المعاملات الأخرى وبالتالي إعادة تطبيع الحالة مرة أخرى:

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}}}\cdot \sum \limits _{{{\alpha }_{l}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|{\Phi _{\alpha _{l}}^{[1..l]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{l}}^{[l+1..N]}}\rangle ,}$$

أين${\displaystyle \chi _{c}}$يمثل عدد معاملات شميدت المحفوظة.

دعونا نبتعد عن هذه الصورة المجردة ونُنعش أنفسنا بمثال ملموس، للتأكيد على فائدة هذا التفكيك. لنأخذ على سبيل المثال حالة 50 فرميونًا في سلسلة مغناطيسية حديدية ، من أجل التبسيط. لنفترض أن بُعدها 12، لـ${\displaystyle \chi _{c}}$ سيكون هذا خيارًا معقولًا، مع الإبقاء على القيم الذاتية المهملة عند${\displaystyle 0.0001}$نسبة مئوية من الإجمالي، كما هو موضح في الدراسات العددية، ^{[ 6 ]} أي ما يقارب${\displaystyle 2^{14}}$المعاملات، مقارنة بالأصل${\displaystyle 2^{50}}$تلك.

حتى لو لم تُظهر القيم الذاتية لشميدت هذا التضاؤل ​​الأسي ، ولكنها تُظهر انخفاضًا جبريًا، فلا يزال بإمكاننا استخدام D لوصف حالتنا${\displaystyle \psi }$عدد المعاملات اللازمة لوصف دقيق لـ${\displaystyle \psi }$قد تكون أكبر بشكل معقول، ولكنها لا تزال في متناول عمليات المحاكاة العددية النهائية.

لا تؤثر مولدات الكم المفتوحة (OQGs) إلا على الكيوبت الذي تعمل عليه، أي تحديث الحالة.${\displaystyle |{\psi }\rangle }$بعد تطبيق مؤثر وحدوي على الكيوبت k، لا يتم تعديل القيم الذاتية أو المتجهات الخاصة بمصفوفة شميدت على اليسار، وبالتالي فإن${\displaystyle \Gamma ^{[k-1]}}$أو على اليمين، ومن هنا جاء اسم${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$'s. الوحيد${\displaystyle \Gamma }$سيتم تحديث العناصر التالية:${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$(يتطلب فقط على الأكثر${\displaystyle {O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})}$العمليات)، كما

$${\displaystyle \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{'[k]i_{k}}=\sum _{j}U_{j_{k}}^{i_{k}}\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]j_{k}}.}$$

التغييرات المطلوبة لتحديث${\displaystyle \Gamma }$و${\displaystyle \lambda }$'s، بعد عملية وحدوية V على الكيوبتات k و k + 1، لا يهم إلا${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$، و${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$وهي تتكون من عدد من${\displaystyle {O}({M\cdot \chi }^{3})}$العمليات الأساسية.

اتباعاً لنهج فيدال الأصلي،${\displaystyle |{\psi }\rangle }$يمكن اعتبارها تنتمي إلى أربعة أنظمة فرعية فقط:

$${\displaystyle {{H}=J{\otimes }H_{C}{\otimes }H_{D}{\otimes }K}.\,}$$

الفضاء الجزئي J يمتد بواسطة المتجهات الذاتية لمصفوفة الكثافة المختزلة${\displaystyle \rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |}$:

$${\displaystyle \rho ^{[1..{k-1}]}=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})}^{2}|{\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}\rangle \langle {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}|=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})^{2}}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|.}$$

وبالمثل، يتم توليد الفضاء الفرعي K بواسطة المتجهات الذاتية لمصفوفة الكثافة المختزلة:

$${\displaystyle \rho ^{[{k+2}..{N}]}=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}\rangle \langle {\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}|=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\gamma }\rangle \langle {\gamma }|.}$$

المساحات الفرعية${\displaystyle H_{C}}$و${\displaystyle H_{D}}$ينتمي إلى الكيوبتات k و k + 1. باستخدام هذه القاعدة والتحليل D ،${\displaystyle |{\psi }\rangle }$يمكن كتابتها على النحو التالي:

$${\displaystyle |{\psi }\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\beta ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }^{[C-1]}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]i}\lambda _{\beta }^{[C]}\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]j}\lambda _{\gamma }^{[D]}|{{\alpha }ij{\gamma }}\rangle }$$

باستخدام نفس المنطق المستخدم في نظرية OQG، فإن تطبيق نظرية TQG V على الكيوبتات k و k + 1 يتطلب فقط التحديث${\displaystyle \Gamma ^{[C]}}$،${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \Gamma ^{[D]}.}$

يمكننا الكتابة${\displaystyle |{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle }$مثل: $${\displaystyle |{\psi '}\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}\lambda _{\gamma }|{{\alpha }ij\gamma }\rangle }$$ أين $${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}=\sum \limits _{\beta =1}^{\chi }\sum \limits _{m,n=1}^{M}V_{mn}^{ij}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]m}\lambda _{\beta }\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]n}.}$$

لمعرفة التحلل الجديد، الجديد${\displaystyle \lambda }$يجب حساب قيم 's عند الرابطة k ومتجهات شميدت الذاتية المقابلة لها والتعبير عنها بدلالة${\displaystyle {\Gamma }}$مصفوفة الكثافة المختزلة للتحليل D${\displaystyle \rho ^{'[DK]}}$وبالتالي يتم تحويلها إلى شكل قطري : $${\displaystyle \rho ^{'[DK]}=Tr_{JC}|{\psi '}\rangle \langle {\psi '}|=\sum _{j,j',\gamma ,\gamma '}\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}|{j\gamma }\rangle \langle {j'\gamma '}|.}$$

الجذور التربيعية لقيمها الذاتية هي الجديدة${\displaystyle \lambda }$التعبير عن المتجهات الذاتية للمصفوفة القطرية في الأساس:${\displaystyle \{|{j\gamma }\rangle \}}$ال${\displaystyle \Gamma ^{[{D]}}}$يتم الحصول على 's أيضًا: $${\displaystyle |{\Phi ^{'[{DK}]}}\rangle =\sum _{j,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j}\lambda _{\gamma }|{j\gamma }\rangle .}$$

من المتجهات الذاتية اليسرى، $${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{JC}]}}\rangle =\langle {\Phi _{\beta }^{'[{DK}]}}|{\psi '}\rangle =\sum _{i,j,\alpha ,\gamma }(\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j})^{*}\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}(\lambda _{\gamma })^{2}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle }$$ بعد التعبير عنها في الأساس${\displaystyle \{|{i\alpha }\rangle \}}$، ال${\displaystyle \Gamma ^{[{C}]}}$'s هي: $${\displaystyle |{\Phi ^{'[{JC}]}}\rangle =\sum _{i,\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{'[{C}]i}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle .}$$

يكون بُعد أكبر الموترات في D من رتبة${\displaystyle {O}(M{\cdot }{\chi }^{2})}$عند بناء${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}}$يقوم المرء بالتلخيص على${\displaystyle \beta }$،${\displaystyle {\it {m}}}$و${\displaystyle {\it {n}}}$لكل${\displaystyle \gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}}$، ليصل المجموع إلى${\displaystyle {O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})}$العمليات. وينطبق الشيء نفسه على تكوين العناصر${\displaystyle \rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}}$أو لحساب المتجهات الذاتية اليسرى${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle }$، بحد أقصى${\displaystyle {\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})}$، على التوالى${\displaystyle {\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})}$العمليات الأساسية. في حالة الكيوبتات،${\displaystyle M=2}$وبالتالي فإن دوره ليس ذا صلة كبيرة بالنسبة لحجم عدد العمليات الأساسية، ولكن في حالة كون البعد الموجود في الموقع أكبر من اثنين، فإنه يكون له مساهمة حاسمة إلى حد ما.

يمثل توسيع سوزوكي-تروتر من الدرجة الأولى (ST1) طريقة عامة لكتابة المؤثرات الأسية: $${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}\right)^{n}}$$ أو، على نحو مماثل $${\displaystyle e^{{\delta }(A+B)}=e^{{\delta }A}e^{{\delta }B}+{\it {O}}(\delta ^{2}).}$$

يتلاشى حد التصحيح في النهاية${\displaystyle \delta \to 0}$

في محاكاة الديناميكا الكمومية، من المفيد استخدام مؤثرات وحدوية تحافظ على المعيار (على عكس متسلسلات القوى )، وهنا تبرز أهمية توسيع تروتر-سوزوكي. في مسائل الديناميكا الكمومية، تُثبت وحدوية المؤثرات في توسيع تروتر-سوزوكي جدواها العملية، إذ يميل الخطأ إلى التمركز في الطور الكلي ، مما يسمح لنا بحساب القيم المتوقعة والكميات المحفوظة بدقة. ولأن توسيع تروتر-سوزوكي يحافظ على حجم فضاء الطور، يُطلق عليه أيضًا اسم المُكامل التبسيطي .

يكمن سر ST2 في كتابة المعاملات الوحدوية${\displaystyle e^{-iHt}}$مثل: $${\displaystyle e^{-iH_{N}T}=[e^{-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta }}=[e^{{\frac {\delta }{2}}F}e^{{\delta }G}e^{{\frac {\delta }{2}}F}]^{n}}$$ أين${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$الرقم${\displaystyle n}$يُطلق عليه رقم تروتر.

المشغلون${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}}$،${\displaystyle e^{{\delta }G}}$يسهل التعبير عنها، كما يلي:

$${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}=\prod _{{\text{even }}l}e^{{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$$$${\displaystyle e^{{\delta }G}=\prod _{{\text{odd }}l}e^{{\delta }G^{[l]}}}$$

بما أن أي عاملين${\displaystyle F^{[l]}}$،${\displaystyle F^{[l']}}$(على التوالى،${\displaystyle G^{[l]}}$،${\displaystyle G^{[l']}}$) التنقل لـ${\displaystyle l{\neq }l'}$وتوسع ST من الدرجة الأولى يحتفظ فقط بضرب الدوال الأسية، ويصبح التقريب في هذه الحالة دقيقًا.

يمكن إجراء التطور الزمني وفقًا لـ

$${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{t+\delta }}\rangle =e^{-i{\frac {\delta }{2}}F}e^{{-i\delta }G}e^{{\frac {-i\delta }{2}}F}|{{\tilde {\psi }}_{t}}\rangle .}$$

لكل "خطوة زمنية"${\displaystyle \delta }$،${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$يتم تطبيقها تباعاً على جميع المواقع الفردية، ثم${\displaystyle e^{{-i\delta }G^{[l]}}}$إلى الزوجية، و${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$مرة أخرى، بالنسبة للحالات الفردية؛ هذه في الأساس سلسلة من TQG، وقد تم شرح كيفية تحديث التفكيك أعلاه.${\displaystyle {\it {D}}}$عند تطبيقها.

هدفنا هو توضيح التطور الزمني لحالة ما${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle }$لفترة زمنية T، باتجاه الدولة${\displaystyle |{\psi _{T}}\rangle }$باستخدام هاميلتونيان الجسيمات n${\displaystyle H_{n}}$.

من الصعب للغاية، إن لم يكن مستحيلاً، بناء التفكيك${\displaystyle {\it {D}}}$بالنسبة لحالة عشوائية مكونة من n جسيم، لأن هذا يعني أنه يجب حساب تحليل شميدت عند كل رابطة، وترتيب القيم الذاتية لشميدت بترتيب تنازلي، واختيار الأول${\displaystyle \chi _{c}}$ and the appropriate Schmidt eigenvectors. Mind this would imply diagonalizing somewhat generous reduced density matrices, which, depending on the system one has to simulate, might be a task beyond our reach and patience. Instead, one can try to do the following:

In the case of a Trotter approximation of ${\displaystyle {\it {p^{th}}}}$ order, the error is of order ${\displaystyle {\delta }^{p+1}}$. Taking into account ${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$ steps, the error after the time T is: $${\displaystyle \epsilon ={\frac {T}{\delta }}\delta ^{p+1}=T\delta ^{p}}$$

The unapproximated state ${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle }$ is:

$${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle ={\sqrt {1-{\epsilon }^{2}}}|{\psi _{Tr}}\rangle +{\epsilon }|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$$

where ${\displaystyle |{\psi _{Tr}}\rangle }$ is the state kept after the Trotter expansion and ${\displaystyle |{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$ accounts for the part that is neglected when doing the expansion.

The total error scales with time ${\displaystyle T}$ as: $${\displaystyle \epsilon (T)=1-|\langle {\tilde {\psi _{Tr}}}|{\psi _{Tr}}\rangle |^{2}=1-1+\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}}$$

The Trotter error is independent of the dimension of the chain.

Considering the errors arising from the truncation of the Hilbert space comprised in the decomposition D, they are twofold.

First, as we have seen above, the smallest contributions to the Schmidt spectrum are left away, the state being faithfully represented up to: $${\displaystyle \epsilon ({\it {D}})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})}$$ where ${\displaystyle \epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$ is the sum of all the discarded eigenvalues of the reduced density matrix, at the bond ${\displaystyle {\it {n}}}$. The state ${\displaystyle |{\psi }\rangle }$ is, at a given bond ${\displaystyle {\it {n}}}$, described by the Schmidt decomposition: $${\displaystyle |{\psi }\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle }$$ where $${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$$ is the state kept after the truncation and $${\displaystyle |{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$$ is the state formed by the eigenfunctions corresponding to the smallest, irrelevant Schmidt coefficients, which are neglected. Now, ${\displaystyle \langle \psi _{D}^{\bot }|\psi _{D}\rangle =0}$ because they are spanned by vectors corresponding to orthogonal spaces. Using the same argument as for the Trotter expansion, the error after the truncation is: $${\displaystyle \epsilon _{n}=1-|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$$

After moving to the next bond, the state is, similarly: $${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}}|{{{\psi }'}_{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}}|{{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle }$$ The error, after the second truncation, is: $${\displaystyle \epsilon =1-|\langle {\psi }|\psi '_{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})(1-\epsilon _{n})}$$ and so on, as we move from bond to bond.

The second error source enfolded in the decomposition ${\displaystyle D}$ is more subtle and requires a little bit of calculation.

As we calculated before, the normalization constant after making the truncation at bond ${\displaystyle l}$${\displaystyle ([1..l]:[l+1..N])}$ is: $${\displaystyle R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}={1-\epsilon _{l}}}$$

Now let us go to the bond ${\displaystyle {\it {l}}-1}$واحسب معيار متجهات شميدت اليمنى${\displaystyle \|{\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}\|}$مع الأخذ في الاعتبار بُعد شميدت الكامل، فإن المعيار هو: $${\displaystyle n_{1}=1=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\sum \limits _{\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2},}$$

أين${\displaystyle (c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\sum \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}}}$.

مع الأخذ في الاعتبار المساحة المقتطعة، فإن القاعدة هي: $${\displaystyle n_{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}}$$

بأخذ الفرق،${\displaystyle \epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1}$، فنحصل على: $${\displaystyle \epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\to }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l}{\to }{0}}}$$

وبالتالي، عند إنشاء مصفوفة الكثافة المختزلة، يتم ضرب أثر المصفوفة بالمعامل التالي: $${\displaystyle |\langle {\psi _{D}}|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}}$$

يتم تحديد الحد الأعلى لخطأ القطع الكلي ، مع الأخذ في الاعتبار كلا المصدرين، بواسطة: $${\displaystyle \epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-2\epsilon _{n})}$$

عند استخدام توسيع تروتر، لا ننتقل من رابطة إلى أخرى، بل بين الروابط ذات التكافؤ نفسه؛ علاوة على ذلك، بالنسبة لـ ST2، نجري مسحًا للروابط الزوجية واثنين للروابط الفردية. ومع ذلك، تظل الحسابات المذكورة أعلاه صحيحة. يُقيّم الخطأ بضرب الناتج بثابت التوحيد تباعًا، في كل مرة نبني فيها مصفوفة الكثافة المختزلة ونختار قيمها الذاتية المناسبة.