خطأ في الاقتطاع

سلسلة مجموع لـ${\displaystyle e^{x}}$يُعطى بواسطة متسلسلة لانهائية مثل $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

في الواقع، لا يمكننا استخدام سوى عدد محدود من هذه الحدود، إذ سيستغرق استخدامها جميعًا وقتًا حسابيًا لا نهائيًا. لذا، لنفترض أننا نستخدم ثلاثة حدود فقط من المتسلسلة، عندها $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

في هذه الحالة، يكون خطأ الاقتطاع هو${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

مثال أ:

بالنظر إلى السلسلة اللانهائية التالية، أوجد خطأ القطع لـ x = 0.75 إذا تم استخدام الحدود الثلاثة الأولى فقط من السلسلة. $${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

حل

باستخدام الحدود الثلاثة الأولى فقط من المتسلسلة، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}}$$

مجموع متسلسلة هندسية لانهائية $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$ يُعطى بواسطة $${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

بالنسبة لمتسلسلتنا، a = 1 و r = 0.75 ، لنعطي $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0.75}}=4}$$

وبالتالي فإن خطأ الاقتطاع هو $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875}$$

يُعطى تعريف المشتقة الأولى الدقيقة للدالة بالصيغة التالية: $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

لكن إذا كنا نحسب المشتقة عدديًا،${\displaystyle h}$يجب أن تكون محدودة. الخطأ الناتج عن اختيار${\displaystyle h}$إن كون الشيء محدودًا هو خطأ في عملية التفاضل الرياضية.

مثال أ:

أوجد طريقة التقريب في حساب المشتقة الأولى لـ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$في${\displaystyle x=7}$باستخدام حجم خطوة من${\displaystyle h=0.25}$

حل:

المشتق الأول لـ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$يكون $${\displaystyle f'(x)=15x^{2},}$$ وفي${\displaystyle x=7}$، $${\displaystyle f'(7)=735.}$$

القيمة التقريبية معطاة بواسطة $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$$

وبالتالي فإن خطأ الاقتطاع هو $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625}$$

تعريف التكامل الدقيق للدالة${\displaystyle f(x)}$من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$يُعطى على النحو التالي.

يترك${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$لتكن دالة معرفة على فترة مغلقة${\displaystyle [a,b]}$من الأعداد الحقيقية،${\displaystyle \mathbb {R} }$، و $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$ ليكن تجزئة لـ I ، حيث $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ أين${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$و${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$.

هذا يعني أننا نحسب المساحة تحت المنحنى باستخدام عدد لا نهائي من المستطيلات. مع ذلك، إذا كنا نحسب التكامل عدديًا، فلا يمكننا استخدام سوى عدد محدود من المستطيلات. الخطأ الناتج عن اختيار عدد محدود من المستطيلات بدلًا من عدد لا نهائي منها هو خطأ اقتطاع في عملية التكامل الرياضية.

مثال أ.

بالنسبة للتكامل $${\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$أوجد خطأ القطع إذا تم استخدام مجموع ريمان الأيسر المكون من جزأين مع عرض متساوٍ للأجزاء.

حل

لدينا القيمة الدقيقة كما $$\displaystyle \begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

باستخدام مستطيلين متساويين في العرض لتقريب المساحة (انظر الشكل 2) أسفل المنحنى، تكون القيمة التقريبية للتكامل

$$\displaystyle \begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{خطأ الاقتطاع}}&={\text{القيمة الدقيقة}}-{\text{القيمة التقريبية}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

أحيانًا، يُطلق خطأً على خطأ التقريب (نتيجة استخدام أعداد الفاصلة العائمة ذات الدقة المحدودة على أجهزة الكمبيوتر) اسم خطأ الاقتطاع، خاصةً إذا تم تقريب العدد عن طريق التقطيع. هذا ليس الاستخدام الصحيح لمصطلح "خطأ الاقتطاع"؛ ومع ذلك، قد يكون وصفه باقتطاع عدد مقبولًا.

قد يتسبب خطأ الاقتطاع في${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$داخل جهاز كمبيوتر عندما${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$لأن${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$(كما ينبغي)، بينما${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$. هنا،${\displaystyle A+(B+C)}$يحتوي على خطأ اقتطاع يساوي 1. يحدث خطأ الاقتطاع هذا لأن أجهزة الكمبيوتر لا تخزن الأرقام الأقل أهمية لعدد صحيح كبير للغاية.