مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة

مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة ( DMRG ) هي تقنية حسابية عددية مصممة للحصول على فيزياء الطاقة المنخفضة لأنظمة الكم متعددة الأجسام بدقة عالية. تحاول خوارزمية DMRG إيجاد دالة الموجة لحالة حاصل ضرب المصفوفة ذات أدنى طاقة لهاملتوني . وقد ابتكرها ستيفن ر. وايت عام 1992 [ 1 ] [ 2 ] ، وهي اليوم الطريقة الأكثر كفاءة للأنظمة أحادية البعد. [ 3 ]

تاريخ

كان أول تطبيق لطريقة إعادة التجميع الديناميكية (DMRG)، من قِبل ستيفن ر. وايت وراينهارد نواك ، هو إيجاد طيف نموذج الربط المحكم أحادي البعد، وهو النسخة الشبكية المنفصلة لجسيم أحادي البعد في صندوق . وقد اقترح كينيث ج. ويلسون هذا النموذج لاختبار أي طريقة جديدة لإعادة التجميع ، نظرًا لفشل جميع الطرق السابقة في حل هذه المشكلة البسيطة. [ 4 ] تغلبت طريقة DMRG على مشاكل طرق إعادة التجميع السابقة من خلال ربط كتلتين بموقعين في المنتصف، بدلًا من إضافة موقع واحد فقط إلى الكتلة في كل خطوة، بالإضافة إلى تحديد أهم الحالات التي يجب الاحتفاظ بها في نهاية كل خطوة باستخدام القيم الذاتية لمصفوفة الكثافة ، بدلًا من القيم الذاتية للطاقة. بعد نجاحها مع النموذج التجريبي ، جُرِّبت طريقة DMRG بنجاح على نموذج هايزنبرغ الكمومي . [ 5 ]

مبدأ

تكمن المشكلة الرئيسية في فيزياء الكم متعددة الأجسام في حقيقة أن فضاء هيلبرت ينمو أُسّيًا مع الحجم. بعبارة أخرى، إذا اعتبرنا شبكة، مع فضاء هيلبرت ذي بُعدد{\displaystyle d}في كل موقع من مواقع الشبكة، سيكون للفضاء الكلي لهيلبرت بُعددشمال{\displaystyle d^{N}}، أينشمال{\displaystyle N}يمثل عدد المواقع على الشبكة. على سبيل المثال، سلسلة ذات عزم مغزلي 1/2 وطول L لها 2L درجة حرية. طريقة DMRG هي طريقة تكرارية متغيرة تُقلل درجات الحرية الفعالة إلى تلك الأكثر أهمية لحالة مستهدفة. الحالة التي نهتم بها غالبًا هي الحالة الأرضية . 

بعد دورة تهيئة ، تقسم الطريقة النظام إلى نظامين فرعيين، أو كتلتين، لا يشترط أن تكونا متساويتين في الحجم، وموقعين بينهما. وقد تم اختيار مجموعة من الحالات التمثيلية للكتلة خلال التهيئة. تُعرف هذه المجموعة المكونة من الكتل اليسرى  +  الموقعين  + الكتل اليمنى باسم الكتلة الفائقة . الآن، يمكن إيجاد مرشح للحالة الأرضية للكتلة الفائقة، وهي نسخة مصغرة من النظام الكامل. قد تكون دقة هذه الحالة منخفضة نوعًا ما، لكن الطريقة تكرارية وتتحسن مع الخطوات اللاحقة. 

تقسيم النظام إلى كتلتين يسارية ويمينية، وفقًا لـ DMRG.

يتم إسقاط الحالة الأرضية المرشحة التي تم العثور عليها في فضاء هيلبرت الفرعي لكل كتلة باستخدام مصفوفة الكثافة ، ومن هنا جاءت التسمية. وبالتالي، يتم تحديث الحالات ذات الصلة لكل كتلة.

الآن، ينمو أحد الكتل على حساب الآخر، وتُكرر العملية. عندما تصل الكتلة النامية إلى أقصى حجم لها، تبدأ الكتلة الأخرى بالنمو مكانها. في كل مرة نعود فيها إلى الوضع الأصلي (أحجام متساوية)، نقول إن عملية مسح قد اكتملت. عادةً، تكفي بضع عمليات مسح للحصول على دقة جزء من  10 ^10 لشبكة أحادية البعد.

عملية المسح باستخدام جهاز DMRG.

دليل التنفيذ

يُعدّ التطبيق العملي لخوارزمية DMRG عملاً شاقاً . وفيما يلي بعض الحيل الحسابية الرئيسية:

  • بما أن حجم الهاميلتوني المُعاد تطبيعه عادةً ما يكون في حدود بضعة آلاف أو عشرات الآلاف، بينما الحالة الذاتية المطلوبة هي الحالة الأرضية، فإن الحالة الأرضية للكتلة الفائقة تُستخلص عبر خوارزمية تكرارية مثل خوارزمية لانكزوس لقطرنة المصفوفة. وثمة خيار آخر هو طريقة أرنولدي ، خاصةً عند التعامل مع المصفوفات غير الهرميتية.
  • تبدأ خوارزمية لانكزوس عادةً بأفضل تخمين للحل. إذا لم يتوفر أي تخمين، يتم اختيار متجه عشوائي. في خوارزمية DMRG، تُعتبر الحالة الأرضية المُحَصَّلة في خطوة معينة من خطوات DMRG، بعد تحويلها بشكل مناسب، تخمينًا معقولًا، وبالتالي فهي تعمل بشكل أفضل بكثير من متجه البداية العشوائي في خطوة DMRG التالية.
  • في الأنظمة ذات التناظرات، قد نحتفظ بأعداد كمومية، مثل اللف المغزلي الكلي في نموذج هايزنبرغ. ومن الملائم إيجاد الحالة الأرضية داخل كل قطاع من القطاعات التي ينقسم إليها فضاء هيلبرت.

التطبيقات

لقد طُبقت طريقة إعادة التركيب الكمومي المتعامد (DMRG) بنجاح للحصول على خصائص الطاقة المنخفضة لسلاسل اللف المغزلي: نموذج إيزينغ في مجال عرضي، نموذج هايزنبرغ ، أنظمة فرميونية مثل نموذج هوبارد ، مشاكل الشوائب مثل تأثير كوندو ، أنظمة البوزونات ، وفيزياء النقاط الكمومية المتصلة بأسلاك كمومية . كما تم توسيع نطاقها للعمل على الرسوم البيانية الشجرية ، ووجدت تطبيقات في دراسة المتفرعات . بالنسبة للأنظمة ثنائية الأبعاد التي يكون أحد أبعادها أكبر بكثير من الآخر، فإن DMRG دقيقة أيضًا، وقد أثبتت فائدتها في دراسة السلالم.

تم توسيع نطاق هذه الطريقة لدراسة الفيزياء الإحصائية المتوازنة في بعدين، ولتحليل الظواهر غير المتوازنة في بعد واحد.

كما تم تطبيق نموذج DMRG في مجال الكيمياء الكمية لدراسة الأنظمة المترابطة بقوة.

مثال: نموذج هايزنبرغ الكمي

لنفترض خوارزمية DMRG "اللانهائية" لـS=1{\displaystyle S=1}سلسلة هايزنبرغ الكمومية المضادة للمغناطيسية . يمكن تطبيق هذه الوصفة على أي شبكة أحادية البعد ثابتة تحت الإزاحة .

تُعد تقنية DMRG تقنية لإعادة التطبيع لأنها توفر اقتطاعًا فعالًا لفضاء هيلبرت للأنظمة الكمومية أحادية البعد.

نقطة البداية

لمحاكاة سلسلة لا نهائية، ابدأ بأربعة مواقع. الأول هو موقع الكتلة ، والأخير هو موقع كتلة الكون ، أما المواقع المتبقية فهي مواقع مضافة ، حيث يُضاف الموقع الأيمن إلى موقع كتلة الكون، والآخر إلى موقع الكتلة.

مساحة هيلبرت للموقع الواحد هيح{\displaystyle {\mathfrak {H}}}مع القاعدة{|S،Sz⟩}≡{|1،1⟩،|1،0⟩،|1،-1⟩}{\displaystyle \{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}}. باستخدام هذه القاعدة، تكون عوامل الدورانSx{\displaystyle S_{x}}،Sy{\displaystyle S_{y}}وSz{\displaystyle S_{z}}بالنسبة للموقع الواحد. لكل كتلة، والكتلتين، والموقعين، يوجد فضاء هيلبرت خاص بها.حب{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{ب}}، قاعدتها{|wأنا⟩}{\displaystyle \{|w_{i}\rangle \}}(أنا:1...خافت⁡(حب){\displaystyle i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})})ومِريها الخاصينياب:حب→حب{\displaystyle O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}}أين

  • حاجز:حب{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{B}}،{|uأنا⟩}{\displaystyle \{|u_{i}\rangle \}}،حب{\displaystyle H_{B}}،Sxب{\displaystyle S_{x_{B}}}،Syب{\displaystyle S_{y_{B}}}،Szب{\displaystyle S_{z_{B}}}
  • الجانب الأيسر:حل{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{l}}،{|تأنا⟩}{\displaystyle \{|t_{i}\rangle \}}،Sxل{\displaystyle S_{x_{l}}}،Syل{\displaystyle S_{y_{l}}}،Szل{\displaystyle S_{z_{l}}}
  • الجانب الأيمن:حر{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{r}}،{|sأنا⟩}{\displaystyle \{|s_{i}\rangle \}}،Sxر{\displaystyle S_{x_{r}}}،Syر{\displaystyle S_{y_{r}}}،Szر{\displaystyle S_{z_{r}}}
  • الكون:حيو{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{U}}،{|رأنا⟩}{\displaystyle \{|r_{i}\rangle \}}،حيو{\displaystyle H_{U}}،Sxيو{\displaystyle S_{x_{U}}}،Syيو{\displaystyle S_{y_{U}}}،Szيو{\displaystyle S_{z_{U}}}

عند نقطة البداية، تكون جميع فضاءات هيلبرت الأربعة متكافئة معح{\displaystyle {\mathfrak {H}}}جميع عوامل الدوران مكافئة لـSx{\displaystyle S_{x}}،Sy{\displaystyle S_{y}}وSz{\displaystyle S_{z}}وحب=حيو=0{\displaystyle H_{B}=H_{U}=0}. في التكرارات التالية، ينطبق هذا فقط على الموقعين الأيسر والأيمن.

الخطوة 1: تكوين مصفوفة هاميلتونية للكتلة الفائقة

المكونات هي عوامل التشغيل الأربعة للكتل وعوامل التشغيل الأربعة للكتل الكونية، والتي في التكرار الأول هي3×3{\displaystyle 3\times 3}المصفوفات ، ومؤثرات الدوران الثلاثة في الموقع الأيسر، ومؤثرات الدوران الثلاثة في الموقع الأيمن، والتي تكون دائمًا3×3{\displaystyle 3\times 3}المصفوفات. تتكون مصفوفة هاميلتون للكتلة الفائقة (السلسلة)، التي تحتوي في التكرار الأول على أربعة مواقع فقط، من هذه المؤثرات. في نموذج هايزنبرغ المضاد للمغناطيسية S=1، تكون مصفوفة هاميلتون كما يلي:

حSب=-ج∑⟨أنا،ج⟩SxأناSxج+SyأناSyج+SzأناSzج// _ {z_ {i}}\mathbf {S} _ {z_ {ي}}}

توجد هذه العمليات في فضاء حالة الكتلة الفائقة:حSب=حب⊗حل⊗حر⊗حيو{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}}، القاعدة هي{|و⟩=|u⟩⊗|ت⟩⊗|s⟩⊗|ر⟩}{\displaystyle \{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}}على سبيل المثال: (اصطلاح):

|1000...0⟩≡|و1⟩=|u1،ت1،s1،ر1⟩≡|100،100،100،100⟩{\displaystyle |1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle }

|0100...0⟩≡|و2⟩=|u1،ت1،s1،ر2⟩≡|100،100،100،010⟩{\displaystyle |0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle }

الهاميلتوني في صيغة DMRG هو (نضعج=-1{\displaystyle J=-1}):

حSب=حب+حيو+∑⟨أنا،ج⟩SxأناSxج+SyأناSyج+SzأناSzج// _ {y_ {j}}+\mathbf {S} _ {z_ {i}}\mathbf {S} _ {z_ {j}}}

المشغلون هم(د*3*3*د)×(د*3*3*د){\displaystyle (d*3*3*d)\times (d*3*3*d)}المصفوفات،د=خافت⁡(حب)≡خافت⁡(حيو){\displaystyle d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})}، على سبيل المثال:

⟨و|حب|و′⟩≡⟨u،ت،s،ر|حب⊗أنا⊗أنا⊗أنا|u′،ت′،s′،ر′⟩{\displaystyle \langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle }

SxبSxل=Sxبأنا⊗أناSxل⊗أناأنا⊗أناأنا=Sxب⊗Sxل⊗أنا⊗أنا{\displaystyle \mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} }

الخطوة 2: تحويل هاميلتونيان الكتلة الفائقة إلى شكل قطري

في هذه المرحلة، يجب عليك اختيار الحالة الذاتية للهاميلتوني التي تُحسب عندها بعض المتغيرات القابلة للرصد ، وهذه هي الحالة المستهدفة . في البداية، يمكنك اختيار الحالة الأرضية واستخدام خوارزمية متقدمة لإيجادها، إحداها موصوفة في:

تُعد هذه الخطوة الجزء الأكثر استهلاكاً للوقت في الخوارزمية.

لو|Ψ⟩=∑Ψأنا،ج،ك،w|uأنا،تج،sك،رw⟩{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle }في هذه الحالة المستهدفة، يمكن قياس القيمة المتوقعة لمختلف المؤثرات باستخدام|Ψ⟩{\displaystyle |\Psi \rangle }.

الخطوة 3: تقليل مصفوفة الكثافة

قم بتكوين مصفوفة الكثافة المختزلةρ{\displaystyle \rho }بالنسبة لنظام الكتلتين الأولين، الكتلة والموقع الأيسر. بحكم التعريف، هو(د*3)×(د*3){\displaystyle (d*3)\times (d*3)}المصفوفة:ρأنا،ج؛أنا′،ج′≡∑ك،wΨأنا،ج،ك،wΨأنا′،ج′،ك،w*{\displaystyle \rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}}

قم بالقطرانρ{\displaystyle \rho }وتشكيلم×(د*3){\displaystyle m\times (d*3)}مصفوفةتي{\displaystyle T}أي الصفوف هيم{\displaystyle m}المتجهات الذاتية المرتبطة بـم{\displaystyle m}أكبر القيم الذاتيةهـα{\displaystyle e_{\alpha }}لρ{\displaystyle \rho }. لذاتي{\displaystyle T}تتكون من أهم الحالات الذاتية لمصفوفة الكثافة المختزلة. اخترم{\displaystyle m}بالنظر إلى المعلمةPم≡∑α=1مهـα{\displaystyle P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }}:1-Pم≅0{\displaystyle 1-P_{m}\cong 0}.

الخطوة 4: مُعاملات الكتلة الجديدة وعاملات كتلة الكون

شكّل(د*3)×(د*3){\displaystyle (d*3)\times (d*3)}التمثيل المصفوفي للمؤثرات لنظام التركيب المكون من الكتلة والموقع الأيسر، ولنظام التركيب المكون من الموقع الأيمن وكتلة الكون، على سبيل المثال:

حب-ل=حب⊗أنا+Sxب⊗Sxل+Syب⊗Syل+Szب⊗Szل{\displaystyle H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}}

Sxب-ل=أنا⊗Sxل{\displaystyle S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}}

حر-يو=أنا⊗حيو+Sxر⊗Sxيو+Syر⊗Syيو+Szر⊗Szيو{\displaystyle H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}}

Sxر-يو=Sxر⊗أنا{\displaystyle S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I} }

والآن، شكّلم×م{\displaystyle m\times m}تُشكّل التمثيلات المصفوفية للكتلة الجديدة ومؤثرات الكتلة الكونية كتلة جديدة عن طريق تغيير الأساس بالتحويل.تي{\displaystyle T}، على سبيل المثال:حب=تيحب-لتي†Sxب=تيSxب-لتي†{\displaystyle {\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}}عند هذه النقطة تنتهي عملية التكرار وتعود الخوارزمية إلى الخطوة 1.

تتوقف الخوارزمية بنجاح عندما يتقارب المتغير القابل للملاحظة إلى قيمة معينة.

فرضية منتج المصفوفة

يرتبط نجاح طريقة إعادة التجميع الديناميكية (DMRG) للأنظمة أحادية البعد بكونها طريقة حسابية ضمن فضاء حالات ضرب المصفوفات (MPS). [ 6 ] وهذه حالات من الشكل

|Ψ⟩=∑s1⋯sشمالTr⁡(أs1⋯أsشمال)|s1⋯sشمال⟩{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatorname {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})|s_{1}\cdots s_{N}\rangle }

أينs1⋯sشمال{\displaystyle s_{1}\cdots s_{N}}تمثل قيم المركبة z- eg للدوران في سلسلة الدوران ، و A s i هي مصفوفات ذات بُعد m عشوائي . عندما m → ∞، يصبح التمثيل دقيقًا.   

في تطبيقات الكيمياء الكمومية،sأنا{\displaystyle s_{i}}يرمز إلى الاحتمالات الأربعة لإسقاط العدد الكمي المغزلي للإلكترونين اللذين يمكنهما شغل مدار واحد، وبالتاليsأنا=|٠٠⟩،|10⟩،|01⟩،|11⟩{\displaystyle s_{i}=|00\rangle ,|10\rangle ,|01\rangle ,|11\rangle }حيث يتوافق المدخل الأول (الثاني) لهذه الحالات مع الإلكترون ذي اللف المغزلي لأعلى (لأسفل). في الكيمياء الكمومية،أs1{\displaystyle A^{s_{1}}}(لشيء معين)sأنا{\displaystyle s_{i}}) وأsشمال{\displaystyle A^{s_{N}}}(لشيء معين)sشمال{\displaystyle s_{N}}يتم اختيار المصفوفات عادةً لتكون مصفوفات صفوف وأعمدة على التوالي. وبهذه الطريقة، تكون نتيجةأs1...أsشمال{\displaystyle A^{s_{1}}\ldots A^{s_{N}}}هي قيمة عددية، وبالتالي فإن عملية التتبع غير ضرورية.شمال{\displaystyle N}يمثل عدد المواقع (المدارات بشكل أساسي) المستخدمة في المحاكاة.

المصفوفات في فرضية MPS ليست فريدة، يمكن للمرء، على سبيل المثال، إدخالب-1ب{\displaystyle B^{-1}B}في منتصفأsأناأsأنا+1{\displaystyle A^{s_{i}}A^{s_{i+1}}}ثم حددأ~sأنا=أsأناب-1{\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i}}=A^{s_{i}}B^{-1}}وأ~sأنا+1=بأsأنا+1{\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i+1}}=BA^{s_{i+1}}}وستبقى الحالة دون تغيير. تُستخدم حرية القياس هذه لتحويل المصفوفات إلى شكل معياري. توجد ثلاثة أنواع من الأشكال المعيارية: (1) الشكل المعياري الأيسر، عندما

∑sأنا(أ~sأنا)†أ~sأنا=أنا{\displaystyle \sum _{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }{\tilde {A}}^{s_{i}}=I}

للجميعأنا{\displaystyle i}(2) الشكل المعياري الأيمن، عندما

∑sأناأ~sأنا(أ~sأنا)†=أنا{\displaystyle \sum _{s_{i}}{\tilde {A}}^{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }=I}

للجميعأنا{\displaystyle i}و(3) الشكل الكنسي المختلط عندما توجد كل من المصفوفات المعيارية اليسرى واليمنى بينشمال{\displaystyle N}المصفوفات في فرضية MPS المذكورة أعلاه .

يتمثل الهدف من حساب DMRG في إيجاد عناصر كل منأsأنا{\displaystyle A^{s_{i}}}المصفوفات. وُضعت خوارزميات الموقع الواحد والموقعين لهذا الغرض. في خوارزمية الموقع الواحد، تُحل عناصر مصفوفة واحدة فقط (موقع واحد) في كل مرة. أما خوارزمية الموقعين فتعني ببساطة دمج مصفوفتين (ضربهما) أولًا في مصفوفة واحدة، ثم تُحل عناصرها. وقد طُرحت خوارزمية الموقعين لأن خوارزمية الموقع الواحد أكثر عرضةً للوقوع في الحد الأدنى المحلي. إن وجود مسألة القيم الذاتية الرئيسية في أحد الأشكال القياسية المذكورة أعلاه يُسهّل الحساب، إذ يُؤدي إلى مسألة القيم الذاتية العادية. وبدون التوحيد القياسي، ستُعالج مسألة القيم الذاتية المعممة.

الإضافات

في عام 2004، طُوِّرت طريقة التخفيض التدريجي للكتل المتغيرة زمنيًا لتنفيذ التطور الآني لحالات ضرب المصفوفات. [ 7 ] وتستند الفكرة إلى المحاكاة الكلاسيكية للحاسوب الكمومي . لاحقًا، تم ابتكار طريقة جديدة لحساب التطور الآني ضمن صيغة DMRG استنادًا إلى طريقة رونج-كوتا . [ 8 ]

في السنوات الأخيرة، تم تقديم بعض المقترحات التي توسع تعريف حالات ضرب المصفوفة وطرق DMRG لتشمل الأبعاد الثنائية والثلاثية. [ 9 ]

للمزيد من القراءة

  • مجموعة أدوات ضرب المصفوفات : مجموعة أدوات مجانية مرخصة بموجب رخصة جنو العمومية (GPL) لمعالجة حالات ضرب المصفوفات المحدودة وغير المحدودة، مكتوبة بلغة C++
  • Uni10 : مكتبة تُنفذ العديد من خوارزميات شبكات الموترات (DMRG، TEBD، MERA، PEPS ...) بلغة C++
  • مسحوق ذو قوة: توزيع مجاني لرمز DMRG المعتمد على الوقت والمكتوب بلغة فورتران ( مؤرشف بتاريخ 2017-12-04 في Wayback Machine )
  • حزمة برامج ALPS : توزيع مجاني لأكواد بايثون لمحاكاة الأنظمة المترابطة، بما في ذلك القطرنة الدقيقة ، وDMRG، وخوارزميات مونت كارلو الكمومية لنماذج مختلفة.
  • DMRG++ : تطبيق مجاني لـ DMRG مكتوب بلغة C++
  • مكتبة ITensor ( الموتر الذكي): مكتبة مجانية لإجراء حسابات DMRG القائمة على حالة الموتر وضرب المصفوفة مكتوبة بلغة C++ و Julia [ 10 ]
  • OpenMPS : تطبيق مفتوح المصدر لـ DMRG يعتمد على حالات ضرب المصفوفة مكتوب بلغة Python/Fortran2003.
  • Snake : برنامج مفتوح المصدر لـ DMRG و tDMRG و dTEMRTed DMRG مكتوب بلغة C++ [ 11 ]
  • CheMPS2 : كود DMRG مفتوح المصدر (GPL) مُكيَّف مع الدوران للكيمياء الكمومية ab initio مكتوب بلغة C++ [ 12 ]
  • Block : إطار عمل DMRG مفتوح المصدر للكيمياء الكمومية ونماذج الهاميلتونيان مكتوب بلغة C++. يدعم التناظر SU(2) والتناظرات غير الأبيلية العامة.
  • Block2 : تطبيق متوازي فعال لـ DMRG، و DMRG الديناميكي، و tdDMRG، و DMRG ذي درجة الحرارة المحدودة للكيمياء الكمومية والنماذج المكتوبة بلغة Python/C++.
  • TenPy : مكتبة بايثون فعالة لطرق حالة حاصل ضرب الموترات، تم إنشاؤها لمحاكاة أنظمة الكم متعددة الأجسام. [ 13 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايت، ستيفن ر. (992-11-09). "صياغة مصفوفة الكثافة لمجموعات إعادة التطبيع الكمومي" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 69 (19): 2863-2866 . Bibcode : 1992PhRvL..69.2863W . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2863 . PMID 10046608 . 
  2. ↑ وايت، ستيفن ر. (1993-10-01). "خوارزميات مصفوفة الكثافة لمجموعات إعادة التطبيع الكمومي" . مجلة Physical Review B. 48 ( 14): 10345–10356 . Bibcode : 1993PhRvB..4810345W . doi : 10.1103/PhysRevB.48.10345 . PMID 10007313 . 
  3. ↑ ناكاتاني، ناوكي (2018)، "حالات ضرب المصفوفة وخوارزمية مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة"، وحدة مرجعية في الكيمياء والعلوم الجزيئية والهندسة الكيميائية ، إلسيفير، doi : 10.1016/b978-0-12-409547-2.11473-8 ، ISBN 978-0-12-409547-2
  4. ↑ وايت، إس آر؛ نواك، آر إم (15 يونيو 1992). "مجموعات إعادة التطبيع الكمومي في الفضاء الحقيقي" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 68 (24): 3487-3490 . رمز Bibcode : 1992PhRvL..68.3487W . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.3487 . PMID 10045717 . 
  5. ↑ وايت، ستيفن ر.؛ هوس، ديفيد أ. (1993-08-01). "دراسة عددية لمجموعة إعادة التطبيع للحالات الذاتية المنخفضة لسلسلة هايزنبرغ المضادة للمغناطيسية S=1" . مجلة Physical Review B. 48 ( 6): 3844–3852 . Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103/PhysRevB.48.3844 . PMID 10008834 . 
  6. ↑ رومر، ستيفان؛ أوستلوند، ستيلان (28-06-1996). "فئة من الدوال الموجية المفترضة لأنظمة الدوران أحادية البعد وعلاقتها بمجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة". مجلة Physical Review B. 55 ( 4): 2164–2181 . arXiv : cond-mat/9606213 . doi : 10.1103/PhysRevB.55.2164 .
  7. ↑ دالي، أ. ج.؛ كولاث، س.؛ شولووك، يو.؛ فيدال، ج. (26-04-2004). "مجموعة إعادة التطبيع لمصفوفة الكثافة المعتمدة على الزمن باستخدام فضاءات هيلبرت الفعالة التكيفية". مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة (4) P04005. arXiv : cond-mat/0403313 . Bibcode : 2004JSMTE..04..005D . doi : 10.1088/1742-5468/2004/04/P04005 .
  8. ↑ فيغوين، أدريان إي؛ وايت، ستيفن ر. (18 يوليو 2005). "طرق استهداف الخطوة الزمنية للديناميكيات في الوقت الحقيقي باستخدام مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة" . مجلة Physical Review B. 72 ( 2) 020404. arXiv : cond-mat/0502475 . Bibcode : 2005PhRvB..72b0404F . doi : 10.1103/PhysRevB.72.020404 .
  9. ↑ فيرسترات، ف.؛ سيراك، ج. (2004-07-02). "خوارزميات إعادة التطبيع لأنظمة الكم متعددة الأجسام في بعدين أو أكثر". arXiv : cond-mat/0407066 .
  10. ↑ فيشمان، ماثيو؛ وايت، ستيفن؛ ستودنماير، إدوين مايلز (23 أغسطس 2022). "مكتبة برمجيات ITensor لحسابات شبكة الموترات" . SciPost Physics Codebases 4: 004. arXiv : 2007.14822 . doi : 10.21468/SciPostPhysCodeb.4 . ISSN 2949-804X . 
  11. ↑ غو، تشنغ؛ فايشلبوم، أندرياس؛ كيرين، ستيفان؛ شيانغ، تاو؛ فون دلفت، يان (30 مارس 2009). "دراسة مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة لنموذج شوائب كمومي مع هاميلتوني لاندو-زينر المعتمد على الزمن" . مجلة Physical Review B. 79 ( 11) 115137. arXiv : 0810.2900 . Bibcode : 2009PhRvB..79k5137G . doi : 10.1103/PhysRevB.79.115137 .
  12. ↑ ووترز، سيباستيان؛ بولمانز، وارد؛ آيرز، بول دبليو؛ نيك، ديمتري فان (2014-01-08)، "CheMPS2: تطبيق مجاني مفتوح المصدر مُكيَّف مع الدوران لمجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة للكيمياء الكمومية من المبادئ الأولى"، مجلة اتصالات الفيزياء الحاسوبية ، 185 (6): 1501-1514 ، arXiv : 1312.2415 ، Bibcode : 2014CoPhC.185.1501W ، doi : 10.1016/j.cpc.2014.01.019
  13. ↑ هاوشيلد، يوهانس؛ بولمان، فرانك (30-11-2018)، "محاكاة عددية فعالة باستخدام شبكات الموتر: بايثون شبكة الموتر (TeNPy)"، سلسلة محاضرات الفيزياء SciPost، المجلد 5، arXiv : 1805.00055 ، doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.5