مصفوفة قابلة لقطرنة

الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، المصفوفة المربعةأ{\displaystyle A} تُسمى المصفوفة قابلة للتقطير أو غير معيبة إذا كانت مشابهة لمصفوفة قطرية . أي، إذا وُجدت مصفوفة قابلة للعكسP{\displaystyle P} ومصفوفة قطريةد{\displaystyle D}بحيثP-1أP=د{\displaystyle P^{-1}AP=D}وهذا يعادلأ=PدP-1{\displaystyle A=PDP^{-1}}. (هذهP{\displaystyle P}،د{\displaystyle D}(ليست فريدة.) توجد هذه الخاصية لأي تطبيق خطي: ​​بالنسبة لفضاء متجهي محدود الأبعادV{\displaystyle V}خريطة خطية​تي:V→V{\displaystyle T:V\to V} يُطلق على النظام اسم "قابل للتقطير " إذا وُجد أساس مرتب منV{\displaystyle V} يتكون من المتجهات الذاتية لـتي{\displaystyle T}هذه التعريفات متكافئة: إذاتي{\displaystyle T} له تمثيل مصفوفيأ=PدP-1{\displaystyle A=PDP^{-1}}كما سبق، فإن متجهات الأعمدة لـP{\displaystyle P} تشكل أساسًا يتكون من المتجهات الذاتية لـتي{\displaystyle T}، والمدخلات القطرية لـد{\displaystyle D} هي القيم الذاتية المقابلة لـتي{\displaystyle T}فيما يتعلق بقاعدة المتجهات الذاتية هذه،تي{\displaystyle T} يمثلهاد{\displaystyle D}.

عملية القطرنة هي عملية إيجاد ما سبقP{\displaystyle P} ود{\displaystyle D}وهذا يُسهّل العديد من العمليات الحسابية اللاحقة. يمكن للمرء رفع مصفوفة قطريةد{\displaystyle D} يمكن رفع مصفوفة قطرية إلى قوة معينة برفع عناصر القطر الرئيسي إلى تلك القوة. محدد المصفوفة القطرية هو ببساطة حاصل ضرب جميع عناصر القطر الرئيسي. ويمكن تعميم هذه الحسابات بسهولة إلىأ=PدP-1{\displaystyle A=PDP^{-1}}.

التحويل الهندسي الذي تمثله مصفوفة قابلة للتقطير هو تمدد غير متجانس (أو تغيير في الحجم غير متناحٍ ). أي أنه يُمكنه تغيير حجم الفضاء بمقادير مختلفة في اتجاهات مختلفة. ويتم تغيير اتجاه كل متجه ذاتي بمعامل يُحدده قيمته الذاتية المقابلة.

تُسمى المصفوفة المربعة التي لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية بالمصفوفة المعيبة . قد يحدث أن تكون المصفوفةأ{\displaystyle A}مع إدخالات حقيقية يكون معيبًا على الأعداد الحقيقية، مما يعني أنأ=PدP-1{\displaystyle A=PDP^{-1}}من المستحيل أن يحدث ذلك لأي شيء قابل للانعكاسP{\displaystyle P}وقطريًاد{\displaystyle D}مع المدخلات الحقيقية، ولكن من الممكن استخدام المدخلات المركبة ، بحيثأ{\displaystyle A}يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية على الأعداد المركبة. على سبيل المثال، هذا هو الحال بالنسبة لمصفوفة الدوران العامة .

تنطبق العديد من نتائج المصفوفات القابلة للتقطير فقط على حقل مغلق جبريًا (مثل الأعداد المركبة). في هذه الحالة، تكون المصفوفات القابلة للتقطير كثيفة في فضاء جميع المصفوفات، مما يعني أنه يمكن تحويل أي مصفوفة ناقصة إلى مصفوفة قابلة للتقطير بتشويه طفيف ؛ وينص تحليل جوردان-شيفالي على أن أي مصفوفة هي مجموع فريد لمصفوفة قابلة للتقطير ومصفوفة معدومة القوة . على حقل مغلق جبريًا، تكون المصفوفات القابلة للتقطير مكافئة للمصفوفات شبه البسيطة .

تعريف

مربعن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}مع إدخالات في حقلF{\displaystyle F}يُطلق عليه اسم قابل للقطر أو غير معيب إذا كان هناك وجودن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفة القابلة للعكس (أي عنصر من عناصر المجموعة الخطية العامة)GL⁡(ن،F){\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )})P{\displaystyle P}بحيثP-1أP{\displaystyle P^{-1}AP}هي مصفوفة قطرية.

توصيف

تُعبّر الحقيقة الأساسية المتعلقة بالخرائط والمصفوفات القابلة للتقطير عن طريق ما يلي:

  • أنن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}فوق حقلF{\displaystyle F}تكون قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد فضاءاتها الذاتية يساوين{\displaystyle n}وهذا هو الحال إذا وفقط إذا كان هناك أساس لـFن{\displaystyle F^{n}}يتكون من المتجهات الذاتية لـأ{\displaystyle A}إذا تم العثور على مثل هذا الأساس، فيمكن تشكيل المصفوفةP{\displaystyle P}باستخدام متجهات الأساس هذه كأعمدة، وP-1أP{\displaystyle P^{-1}AP}ستكون مصفوفة قطرية عناصرها القطرية هي القيم الذاتية لـأ{\displaystyle A}المصفوفةP{\displaystyle P}تُعرف باسم مصفوفة الوضع لـأ{\displaystyle A}.
  • خريطة خطيةتي:V→V{\displaystyle T:V\to V}تكون قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد فضاءاتها الذاتية يساويخافت⁡(V){\displaystyle \dim(V)}وهذا هو الحال إذا وفقط إذا كان هناك أساس لـV{\displaystyle V}يتكون من المتجهات الذاتية لـتي{\displaystyle T}فيما يتعلق بهذا الأساس،تي{\displaystyle T}سيتم تمثيلها بمصفوفة قطرية. عناصر القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هي القيم الذاتية لـتي{\displaystyle T}.

غالباً ما يكون الشرط الكافي (ولكن ليس الضروري) التالي مفيداً.

  • أنن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}يمكن تحويلها إلى شكل قطري على الحقلF{\displaystyle F}إذا كان لديهن{\displaystyle n}القيم الذاتية المتميزة فيF{\displaystyle F}أي إذا كانت متعددة الحدود المميزة لهان{\displaystyle n}جذور متميزة فيF{\displaystyle F}لكن العكس قد يكون خاطئًا. تأمل[-13-1-35-1-331]،{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}والتي لها قيم ذاتية 1، 2، 2 (ليست جميعها متميزة) وقابلة للتقطير بصيغة قطرية ( مشابهة لـأ{\displaystyle A})[100020002]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}وتغيير مصفوفة الأساسP{\displaystyle P}:[11-1110103].{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}ويفشل العكس عندماأ{\displaystyle A}له فضاء ذاتي ذو بُعد أكبر من 1. في هذا المثال، الفضاء الذاتي لـأ{\displaystyle A}يرتبط بالقيمة الذاتية 2 بُعد 2.
  • خريطة خطيةتي:V→V{\displaystyle T:V\to V}معن=خافت⁡(V){\displaystyle n=\dim(V)}يمكن تحويلها إلى شكل قطري إذا كانت تحتوي علىن{\displaystyle n}القيم الذاتية المتميزة، أي إذا كانت متعددة الحدود المميزة لهان{\displaystyle n}جذور متميزة فيF{\displaystyle F}.

يتركأ{\displaystyle A}لتكن مصفوفة علىF{\displaystyle F}. لوأ{\displaystyle A}إذا كان المصفوفة قابلة للتقطير، فإن أي قوة منها قابلة للتقطير أيضاً. والعكس صحيح، إذا كان المصفوفة قابلة للتقطير.أ{\displaystyle A}قابلة للعكس،F{\displaystyle F}هي مغلقة جبريًا، وأن{\displaystyle A^{n}}يمكن تحويلها إلى قطري بالنسبة لبعضن{\displaystyle n}وهو ليس مضاعفًا صحيحًا لخاصيةF{\displaystyle F}، ثمأ{\displaystyle A}قابلة للتقطير. البرهان: إذاأن{\displaystyle A^{n}}إذا كانت قابلة للتقطير، فإنأ{\displaystyle A}يتم إبادتها بواسطة متعددة حدود ما(xن-λ1)⋯(xن-λك){\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}، والتي ليس لها جذر متعدد (لأنλج≠0{\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}) ويتم قسمته على الحد الأدنى لكثير الحدود لـأ{\displaystyle A}.

حول الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }، تقريبًا كل مصفوفة قابلة للتقطير. بتعبير أدق: مجموعة الأعداد المركبةن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات التي لا يمكن قطريتها علىج{\displaystyle \mathbb {C} }، باعتبارها مجموعة فرعية منجن×ن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}، لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا. يمكن أيضًا القول إن المصفوفات القابلة للتقطير تُشكّل مجموعة جزئية كثيفة بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي : تقع المصفوفات غير القابلة للتقطير داخل المجموعة المتلاشية لمميز كثير الحدود المميز، وهو سطح فائق . ومن ذلك يترتب أيضًا الكثافة في الطوبولوجيا المعتادة ( القوية ) المعطاة بمعيار . لا ينطبق الأمر نفسه علىR{\displaystyle \mathbb {R} }.

يُعبّر تحليل جوردان -شيفالي عن المؤثر كمجموع جزئيه شبه البسيط (أي القابل للتقطير) وجزئه الصفري . وبالتالي، تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان جزؤها الصفري يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا لم يكن لكل كتلة في شكل جوردان أي جزء صفري؛ أي أن كل "كتلة" هي مصفوفة أحادية البعد.

القطرنة

لنفترض الأساسين العشوائيين التاليينهـ={هـأنا|∀أنا∈[ن]}{\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}وF={αأنا|∀أنا∈[ن]}{\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}لنفترض وجود تحويل خطي ممثل بمصفوفةأهـ{\displaystyle A_{E}}والتي كُتبت بالنسبة للأساس E. لنفترض أيضًا وجود معادلة ذاتية كما يلي:

أهـαهـ،أنا=λأناαهـ،أنا{\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}

تُكتب المتجهات الذاتية ألفا أيضًا بالنسبة إلى أساس E. بما أن المجموعة F هي مجموعة من المتجهات الذاتية للمصفوفة A، وهي تولد فضاءً متجهيًا اختياريًا، فإننا نقول إنه توجد مصفوفةدF{\displaystyle D_{F}}وهي مصفوفة قطرية مشابهة لـأهـ{\displaystyle A_{E}}. بعبارة أخرى،أهـ{\displaystyle A_{E}}تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا كُتبت في الأساس F. ونجري حساب تغيير الأساس باستخدام مصفوفة الانتقال.S{\displaystyle S}، والذي يغير الأساس من E إلى F على النحو التالي:

دF=SهـF أهـ Sهـ-1F{\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}،

أينSهـF{\displaystyle S_{E}^{F}}هي مصفوفة الانتقال من الأساس E إلى الأساس F. ويمكن بعد ذلك مساواة معكوسها بمصفوفة انتقال جديدة.P{\displaystyle P}مما يغير الأساس من F إلى E بدلاً من ذلك، وبالتالي لدينا العلاقة التالية  :

Sهـ-1F=PFهـ{\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}

كلاهماS{\displaystyle S}وP{\displaystyle P}مصفوفات الانتقال قابلة للعكس. وبالتالي يمكننا التعامل مع المصفوفات بالطريقة التالية:د=S أهـ S-1د=P-1 أهـ P{\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}المصفوفةأهـ{\displaystyle A_{E}}سيتم الإشارة إليه على النحو التالي:أ{\displaystyle A}، والتي لا تزال في الأساس E. وبالمثل، فإن المصفوفة القطرية في الأساس F.

يمكن تفسير عملية تحويل المصفوفة المتناظرة إلى مصفوفة قطرية على أنها دوران للمحاور لمواءمتها مع المتجهات الذاتية.

إذا كانت المصفوفةأ{\displaystyle A}يمكن تحويلها إلى شكل قطري، أي

P-1أP=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λن]=د،{\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}

ثم:

أP=P[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λن].{\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}

تحتوي مصفوفة الانتقال S على متجهات الأساس E كأعمدة مكتوبة في الأساس F. وعلى العكس من ذلك، تحتوي مصفوفة الانتقال العكسية P على متجهات الأساس F.αأنا{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}مكتوبة على أساس E بحيث يمكننا تمثيل P في شكل مصفوفة كتلية بالطريقة التالية:

P=[αهـ،1αهـ،2⋯αهـ،ن]،{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}

ونتيجة لذلك يمكننا أن نكتب:أ[αهـ،1αهـ،2⋯αهـ،ن]=[αهـ،1αهـ،2⋯αهـ،ن]د.{\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}

في صيغة المصفوفة المقطعية، يمكننا اعتبار المصفوفة A مصفوفة ذات بُعد 1×1، بينما المصفوفة P مصفوفة ذات بُعد 1×n. ويمكن كتابة المصفوفة D بصيغتها الكاملة، حيث تكون جميع عناصر القطر الرئيسي مصفوفة ذات بُعد n×n.

أ[αهـ،1αهـ،2⋯αهـ،ن]=[αهـ،1αهـ،2⋯αهـ،ن][λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λن].{\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}

بإجراء عملية ضرب المصفوفات المذكورة أعلاه، نحصل على النتيجة التالية:أ[α1α2⋯αن]=[λ1α1λ2α2⋯λنαن]{\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}بأخذ كل مكون من مكونات مصفوفة الكتلة بشكل فردي على كلا الجانبين، نحصل على ما يلي:

أαأنا=λأناαأنا(أنا=1،2،...،ن).{\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}

إذن، متجهات الأعمدة لـP{\displaystyle P}هي المتجهات الذاتية اليمنى لـأ{\displaystyle A}، والعنصر القطري المقابل هو القيمة الذاتية المقابلة . قابلية عكسP{\displaystyle P}ويشير ذلك أيضًا إلى أن المتجهات الذاتية مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا لـFن{\displaystyle F^{n}}هذا هو الشرط الضروري والكافي لإمكانية القطرنة والنهج المتعارف عليه للقطرنة. متجهات الصفوف لـP-1{\displaystyle P^{-1}}هي المتجهات الذاتية اليسرى لـأ{\displaystyle A}.

عندما تكون المصفوفة معقدةأ∈جن×ن{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}هي مصفوفة هيرميتية (أو بشكل أعم مصفوفة عادية )، والمتجهات الذاتية لـأ{\displaystyle A}يمكن اختيارها لتشكيل أساس متعامد لـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}، وP{\displaystyle P}يمكن اختيارها لتكون مصفوفة وحدوية . إذا بالإضافة إلى ذلك،أ∈Rن×ن{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}إذا كانت مصفوفة متناظرة حقيقية ، فيمكن اختيار متجهاتها الذاتية لتكون أساسًا متعامدًا.Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}وP{\displaystyle P}يمكن اختيارها لتكون مصفوفة متعامدة .

في معظم الأعمال العملية، يتم تحويل المصفوفات إلى مصفوفات قطرية عددياً باستخدام برامج الحاسوب. وتوجد العديد من الخوارزميات لتحقيق ذلك.

القطرنة المتزامنة

يقال إن مجموعة من المصفوفات قابلة للتقطير المتزامن إذا وُجدت مصفوفة واحدة قابلة للعكسP{\displaystyle P}بحيثP-1أP{\displaystyle P^{-1}AP}هي مصفوفة قطرية لكلأ{\displaystyle A}في المجموعة. تُحدد النظرية التالية خصائص المصفوفات القابلة للتقطير المتزامن: تكون مجموعة المصفوفات القابلة للتقطير تبادلية إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للتقطير المتزامن. [ 1 ] : ص 64

مجموعة الكلن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات القابلة لقطرنة (فوقج{\displaystyle \mathbb {C} }) معن>1{\displaystyle n>1}لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية في آن واحد. على سبيل المثال، المصفوفات

[1000]و[1100]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}

يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية، ولكن لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية في الوقت نفسه لأنها لا تتبادل.

تتكون المجموعة من مصفوفات عادية تبادلية إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير المتزامن بواسطة مصفوفة وحدوية ؛ أي أنه توجد مصفوفة وحدويةيو{\displaystyle U}بحيثيو*أيو{\displaystyle U^{*}AU}يكون قطريًا لكلأ{\displaystyle A}في المجموعة.

بلغة نظرية لي ، فإن مجموعة من المصفوفات القابلة للتقطير المتزامن تولد جبر لي تورال .

أمثلة

المصفوفات القابلة لقطرنة

  • تكون الدوال الانعكاسية قابلة للقطرية على الأعداد الحقيقية (وفي الواقع أي حقل ذي خاصية ليست 2)، مع ±1 على القطر.
  • التحويلات الداخلية ذات الرتبة المحدودة قابلة للتقطير علىج{\displaystyle \mathbb {C} }(أو أي حقل مغلق جبريًا حيث لا يقسم مميز الحقل رتبة التشاكل الداخلي) بجذور الوحدة على القطر. وينتج هذا لأن متعددة الحدود الدنيا قابلة للفصل ، لأن جذور الوحدة متميزة.
  • يمكن تحويل الإسقاطات إلى إسقاطات قطرية، مع وجود أصفار وواحدات على القطر.
التمثيل الهندسي للقطرنة المتعامدة لمصفوفة متناظرة حقيقية
  • المصفوفات المتناظرة الحقيقية قابلة للتقطير بواسطة المصفوفات المتعامدة ؛ أي، بالنظر إلى مصفوفة متناظرة حقيقيةأ{\displaystyle A}،سؤالتيأسؤال{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ}يكون قطريًا لبعض المصفوفات المتعامدةسؤال{\displaystyle Q}وبشكل أعم، تكون المصفوفات قابلة للتقطير بواسطة المصفوفات الوحدوية إذا وفقط إذا كانت طبيعية . في حالة المصفوفة المتناظرة الحقيقية، نرى أنأ=أتي{\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }}، لذلك من الواضحأأتي=أتيأ{\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}ينطبق. من أمثلة المصفوفات العادية المصفوفات المتناظرة الحقيقية (أو المتناظرة المائلة ) (مثل مصفوفات التغاير) والمصفوفات الهرميتية (أو المصفوفات الهرميتية المائلة). انظر إلى النظريات الطيفية للاطلاع على تعميمات الفضاءات المتجهة اللانهائية الأبعاد.

تتوفر تصورات هندسية إضافية للقطرية المتعامدة، بما في ذلك مصفوفات الانعكاس والإسقاط المتعامد، على موقع ويكيميديا ​​كومنز .

المصفوفات غير القابلة للتقطير

بشكل عام، لا يمكن تحويل مصفوفة الدوران إلى مصفوفة قطرية على الأعداد الحقيقية، ولكن جميع مصفوفات الدوران قابلة للتحويل إلى مصفوفة قطرية على الحقل المركب. حتى لو لم تكن المصفوفة قابلة للتحويل إلى مصفوفة قطرية، فمن الممكن دائمًا بذل قصارى الجهد لإيجاد مصفوفة لها نفس الخصائص، تتكون من قيم ذاتية على القطر الرئيسي، وقيم إما 1 أو 0 على القطر العلوي - وهو ما يُعرف بصيغة جوردان المعيارية .

بعض المصفوفات لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية على أي حقل، وأبرزها المصفوفات العديمة القوة غير الصفرية . يحدث هذا بشكل عام إذا لم تتطابق التعددية الجبرية والهندسية للقيمة الذاتية. على سبيل المثال، لنأخذ

ج=[0100].{\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}

هذه المصفوفة غير قابلة للتقطير: لا توجد مصفوفةيو{\displaystyle U}بحيثيو-1جيو{\displaystyle U^{-1}CU}هي مصفوفة قطرية. في الواقع،ج{\displaystyle C}لها قيمة ذاتية واحدة (وهي الصفر) وهذه القيمة الذاتية لها تعدد جبري 2 وتعدد هندسي 1.

بعض المصفوفات الحقيقية لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية على مجموعة الأعداد الحقيقية. لنأخذ على سبيل المثال المصفوفة

ب=[01-10].{\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}

المصفوفةب{\displaystyle B}ليس لها أي قيم ذاتية حقيقية، لذلك لا توجد مصفوفة حقيقيةسؤال{\displaystyle Q}بحيثسؤال-1بسؤال{\displaystyle Q^{-1}BQ}هي مصفوفة قطرية. ومع ذلك، يمكننا تحويلها إلى مصفوفة قطرية.ب{\displaystyle B}إذا سمحنا بالأعداد المركبة. في الواقع، إذا أخذنا

سؤال=[1أناأنا1]،{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},}

ثمسؤال-1بسؤال{\displaystyle Q^{-1}BQ}هو قطري. من السهل إيجاد ذلكب{\displaystyle B}هي مصفوفة الدوران التي تدور عكس اتجاه عقارب الساعة بزاويةθ=-π2{\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}

لاحظ أن الأمثلة المذكورة أعلاه توضح أن مجموع المصفوفات القابلة للتقطير ليس بالضرورة أن يكون قابلاً للتقطير.

كيفية تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية

إن عملية تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية هي نفس عملية إيجاد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية ، وذلك في حالة كون المتجهات الذاتية تشكل أساسًا. على سبيل المثال، لنفترض المصفوفة التالية

أ=[01-20101-13].{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}

جذور متعددة الحدود المميزةص(λ)=المحقق(λأنا-أ){\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)}القيم الذاتيةλ1=1،λ2=1،λ3=2{\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2}حل النظام الخطي(1أنا-أ)v=0{\displaystyle \left(1I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }يعطي المتجهات الذاتيةv1=(1،1،0){\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)}وv2=(0،2،1){\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)}، بينما(2أنا-أ)v=0{\displaystyle \left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }أعطِv3=(1،0،-1){\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)}؛ إنه،أvأنا=λأناvأنا{\displaystyle A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}لأنا=1،2،3{\displaystyle i=1,2,3}تشكل هذه المتجهات أساسًا لـV=R3{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}لذلك يمكننا تجميعها كمتجهات عمودية لمصفوفة تغيير الأساسP{\displaystyle P}للحصول على: P-1أP=[10112001-1]-1[01-20101-13][10112001-1]=[100010002]=د.{\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.} يمكننا النظر إلى هذه المعادلة من حيث التحويلات:P{\displaystyle P}يأخذ الأساس القياسي إلى الأساس الذاتي،Pهـأنا=vأنا{\displaystyle P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}}إذن لدينا: P-1أPهـأنا=P-1أvأنا=P-1(λأناvأنا)=λأناهـأنا،{\displaystyle P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},} لهذا السبب.P-1أP{\displaystyle P^{-1}AP}يمتلك الأساس القياسي كمتجهات ذاتية، وهي الخاصية المميزة لـد{\displaystyle D}.

لاحظ أنه لا يوجد ترتيب مفضل للمتجهات الذاتية فيP{\displaystyle P}تغيير ترتيب المتجهات الذاتية فيP{\displaystyle P}يُغير فقط ترتيب القيم الذاتية في الشكل القطري لـأ{\displaystyle A}[ 2 ]​

تطبيق على دوال المصفوفات

يمكن استخدام عملية التقطير لحساب قوى المصفوفة بكفاءةأ=PدP-1{\displaystyle A=PDP^{-1}}:

أك=(PدP-1)ك=(PدP-1)(PدP-1)⋯(PدP-1)=Pد(P-1P)د(P-1P)⋯(P-1P)دP-1=PدكP-1،{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}

والأخير سهل الحساب لأنه لا يتضمن سوى قوى المصفوفة القطرية. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفةأ{\displaystyle A}مع القيم الذاتيةλ=1،1،2{\displaystyle \lambda =1,1,2}في المثال أعلاه، نقوم بحساب:

أك=PدكP-1=[10112001-1][1ك0001ك0002ك][10112001-1]-1=[2-2ك-1+2ك2-2ك+1010-1+2ك1-2ك-1+2ك+1].{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

يمكن تعميم هذا النهج ليشمل الدوال الأسية للمصفوفات وغيرها من دوال المصفوفات التي يمكن تعريفها كمتسلسلات قوى. على سبيل المثال، تعريفخبرة⁡(أ)=أنا+أ+12!أ2+13!أ3+⋯{\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }لدينا :

خبرة⁡(أ)=Pخبرة⁡(د)P-1=[10112001-1][هـ1000هـ1000هـ2][10112001-1]-1=[2هـ-هـ2-هـ+هـ22هـ-2هـ20هـ0-هـ+هـ2هـ-هـ2-هـ+2هـ2].{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

يُعد هذا مفيدًا بشكل خاص في إيجاد تعبيرات مغلقة الشكل لحدود المتتاليات الخطية المتكررة ، مثل أعداد فيبوناتشي .

تطبيق خاص

على سبيل المثال، انظر إلى المصفوفة التالية:

م=[أب-أ0ب].{\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}

حساب القوى المختلفة لـم{\displaystyle M}يكشف عن نمط مفاجئ:

م2=[أ2ب2-أ20ب2]،م3=[أ3ب3-أ30ب3]،م4=[أ4ب4-أ40ب4]،...{\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }

يمكن تفسير الظاهرة المذكورة أعلاه عن طريق تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية.م{\displaystyle M}ولتحقيق ذلك ، نحتاج إلى أساس منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يتكون من المتجهات الذاتية لـم{\displaystyle M}إحدى هذه القواعد للمتجهات الذاتية تُعطى بواسطة

u=[10]=هـ1،v=[11]=هـ1+هـ2،{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}

حيث يرمز e i إلى الأساس القياسي لـ R n . ويُعطى التغيير العكسي للأساس بواسطة

هـ1=u،هـ2=v-u.{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}

تُظهر الحسابات المباشرة أن

مu=أu،مv=بv.{\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}

وبالتالي، فإن a و b هما القيمتان الذاتيتان المناظرتان لـ u و v على التوالي. وبسبب خطية ضرب المصفوفات، لدينا أن

منu=أنu،منv=بنv.{\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .}

بالعودة إلى الأساس القياسي، لدينا

منهـ1=منu=أنهـ1،منهـ2=من(v-u)=بنv-أنu=(بن-أن)هـ1+بنهـ2.{\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}

العلاقات السابقة، المعبر عنها في شكل مصفوفة، هي

من=[أنبن-أن0بن]،{\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}

وبذلك يتم تفسير الظاهرة المذكورة أعلاه.

تطبيق ميكانيكا الكم

في الحسابات الميكانيكية الكمومية والكيميائية الكمومية، يُعدّ تحويل المصفوفات إلى عناصر قطرية من أكثر العمليات العددية استخدامًا. والسبب الرئيسي هو أن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن هي معادلة قيم ذاتية، على الرغم من أنها في معظم الحالات الفيزيائية تقع على فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد .

من أكثر الطرق شيوعًا لتقريب معادلة شرودنغر هو تقليص (أو إسقاط) فضاء هيلبرت إلى بُعد محدود، وبعد ذلك يمكن صياغة المعادلة كمسألة قيم ذاتية لمصفوفة حقيقية متناظرة أو مصفوفة هيرميتية مركبة. ويستند هذا التقريب رسميًا إلى مبدأ التباين ، وهو صالح للهاملتونيين المحدودين من الأسفل.

تؤدي نظرية الاضطراب من الدرجة الأولى أيضًا إلى مشكلة القيم الذاتية للمصفوفة للحالات المنحلة.

نظرية المؤثرات

يمكن تعميم المصفوفات إلى مؤثرات خطية . ويمكن تعميم المصفوفة القطرية إلى مؤثرات قطرية على فضاءات هيلبرت.

يتركح{\displaystyle H}ليكن فضاء هيلبرت. عاملد:ح→ح{\displaystyle D:H\to H}يكون مؤثرًا قطريًا إذا وفقط إذا وُجد أساس متعامد.(هـن)ن{\displaystyle (e_{n})_{n}}لح{\displaystyle H}بحيثدهـن=λنهـن{\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}}بالنسبة للبعضλن∈ج{\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }.

لأيص≥1{\displaystyle p\geq 1}عرّف معيار شاتن-p كما يلي.تي:ح→ح{\displaystyle T:H\to H}كن عاملاً، ثم‖تي‖ص:=Tr⁡(|تي|ص)1/ص{\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}}، أينTr{\displaystyle \operatorname {Tr} }هو الأثر . فئة p-Schatten هي مجموعة جميع المؤثرات ذات معيار p-Schatten المحدود.

أظهر كل من ويل [ 3 ]، وفون نيومان [ 4 ] ، وكورودا [ 5 ] ما يلي:

لأيص>1{\displaystyle p>1}أي مؤثر ذاتي الترافقتي{\displaystyle T}في مساحة هيلبرتح{\displaystyle H}وأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}يوجد عامل قطريد{\displaystyle D}بحيث‖تي-د‖ص≤ϵ{\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }.

بمعنى آخر، أي مؤثر ذاتي مرافق هو اضطراب متناهي الصغر ناتج عن مؤثر قطري، حيث يُقصد بـ "متناهي الصغر" معيار شاتن-p. وبالتحديد، بما أن فئة مؤثرات هيلبرت-شميدت هي فئة شاتن-2، فهذا يعني أن أي مؤثر ذاتي مرافق قابل للتقطير بعد اضطرابه بواسطة مؤثر هيلبرت-شميدت متناهي الصغر. في الواقع، يمكن تعميم النتيجة السابقة بشكل أكبر:

لأي معيار مثالي ليس من فئة الأثر، مع المعيار‖⋅‖ج{\displaystyle \|\cdot \|_{J}}أي مؤثر ذاتي الترافقتي{\displaystyle T}في مساحة هيلبرتح{\displaystyle H}وأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}يوجد عامل قطريد{\displaystyle D}بحيث‖تي-د‖ج≤ϵ{\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }.

النتيجة خاطئة بالنسبة لـص=1{\displaystyle p=1}( فئة التتبع ). هذه نتيجة بسيطة لنظرية كاتو [ 6 ] - روزنبلوم [ 7 ] [ 8 ] : النظرية الحادية عشرة.8 ، والتي تنص على أنه إذاتي{\displaystyle T}هو ذاتي الترافق، وأ{\displaystyle A}إذا كانت فئة التتبع، فإنتي،تي+أ{\displaystyle T,T+A}يمتلكان نفس الجزء المتصل تمامًا من الطيف . ومع ذلك، تكون النتيجة حادة، بمعنى أنه إذاتي{\displaystyle T}إذا لم يكن لها جزء متصل بشكل مطلق، فيمكن تحويلها إلى شكل قطري بعد إحداث اضطراب بواسطة عامل من فئة الأثر متناهي الصغر. [ 9 ]

فيما يخص عملية التقطير المتزامن ، من المعروف أنه عند إعطاء قائمة محدودة منتي1،...،تين{\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}المؤثرات المترافقة ذاتيًا التي تتبادل مع بعضها البعض، لأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}، يوجد تسلسل من المؤثرات القطريةد1،...،دن{\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}بحيث‖تي1-د1‖ن≤ϵ،...،‖تين-دن‖ن≤ϵ{\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon }، أين‖⋅‖ن{\displaystyle \|\cdot \|_{n}}هي معيار شاتن من الرتبة n. لاحظ أنن≥2{\displaystyle n\geq 2}[ 10 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفات، الطبعة الثانية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521839402.
  2. ↑ أنطون، هـ.؛ روريس، س. (22 فبراير 2000). الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) ( الطبعة الثامنة). جون وايلي وأولاده. ISBN  978-0-471-17052-5.
  3. ^ فون ويل، هيرمان (ديسمبر 1909). "Über beschränkte Quadratische Formen، deren Differenceenz vollstetig ist" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (في المانيا). 27 (1): 373-392 . دوى : 10.1007 / BF03019655 . ISSN 0009-725X . 
  4. ^ فون نيومان ، جون (1935). "Charakterisierung des Spektrums eines Integraloperators" [ توصيف طيف المشغل المتكامل ] . Actualités Scientifiques et Industrielles (باللغة الألمانية). 229 : 3 – 20.
  5. ↑ كورودا، شيغي توشي (1958-01-01). "حول نظرية فايل-فون نيومان" . وقائع الأكاديمية اليابانية، السلسلة أ، العلوم الرياضية . 34 (1). doi : 10.3792/pja/1195524841 . ISSN 0386-2194 . 
  6. ↑ كاتو، توسيو (1957). "اضطراب الأطياف المستمرة بواسطة عوامل فئة الأثر" . وقائع الأكاديمية اليابانية . 33 (5): 260-264 . doi : 10.3792/pja/1195525063 .
  7. ↑ روزنبلوم، مارفن (1957). "اضطراب الطيف المستمر والتكافؤ الوحدوي" . مجلة باسيفيك للرياضيات 7 ( 4): 997-1010 . doi : 10.2140/pjm.1957.7.997 .
  8. ↑ ريد، مايكل ؛ سيمون، باري (12 مايو 1979). نظرية التشتت . مناهج الفيزياء الرياضية الحديثة. المجلد 3 ( الطبعة الأولى). دار النشر الأكاديمية. ISBN   978-0125850032.
  9. ↑ كاري، ر. و.؛ بينكوس، ج. د. (1976). "التكافؤ الوحدوي بتردد فئة الأثر للمؤثرات الذاتية المرافقة" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 98 (2): 481-514 . doi : 10.2307/2373898 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2373898 .  
  10. ↑ فويكوليسكو، دان (1990-06-01). "حول وجود وحدات تقريبية شبه مركزية بالنسبة للمثاليّات المعيارية. الجزء الأول" . مجلة التحليل الوظيفي . 91 (1): 1-36 . doi : 10.1016/0022-1236(90)90047-O . ISSN 0022-1236 .