متعددة الحدود القابلة للفصل

في الرياضيات ، تكون كثيرة الحدود P ( X ) على حقل معين K قابلة للفصل إذا كانت جذورها متميزة في إغلاق جبري لـ K ، أي أن عدد الجذور المتميزة يساوي درجة كثيرة الحدود. ^{[ 1 ]}

يرتبط هذا المفهوم ارتباطًا وثيقًا بمفهوم كثير الحدود الخالي من المربعات . إذا كان K حقلًا مثاليًا، فإن المفهومين يتطابقان. بشكل عام، يكون P ( X ) قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان خاليًا من المربعات على أي حقل يحتوي على K ، ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كان P ( X ) أوليًا نسبيًا مع مشتقته الشكلية DP ( X ).

في تعريف قديم، كان يُعتبر P ( X ) قابلاً للفصل إذا كان كل عامل من عوامله غير القابلة للاختزال في K [ X ] قابلاً للفصل وفقًا للتعريف الحديث. ^{[ 2 ]} في هذا التعريف، كانت قابلية الفصل تعتمد على الحقل K ؛ فعلى سبيل المثال، كان يُعتبر أي كثير حدود على حقل كامل قابلاً للفصل. هذا التعريف، على الرغم من أنه قد يكون مناسبًا لنظرية غالوا ، لم يعد مستخدمًا. ^{[ 3 ]}

تُستخدم كثيرات الحدود القابلة للفصل لتعريف الامتدادات القابلة للفصل : يكون امتداد الحقل K ⊂ L امتدادًا قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان لكل α في L وهو جبري على K ، فإن كثير الحدود الأدنى لـ α على K هو كثير حدود قابل للفصل.

قد تحدث الامتدادات غير القابلة للفصل (أي الامتدادات التي لا يمكن فصلها) فقط في الخاصية الإيجابية .

يؤدي المعيار المذكور أعلاه إلى استنتاج سريع مفاده أنه إذا كانت P غير قابلة للاختزال وغير قابلة للفصل، فإن D P ( X ) = 0. وبالتالي، يجب أن يكون لدينا

P ( X ) = Q ( X ^p )

لبعض كثيرات الحدود Q على K ، حيث العدد الأولي p هو الخاصية.

باستخدام هذه المعلومة يمكننا بناء مثال:

P ( X ) = X ^p − T

حيث K هو حقل الدوال الكسرية في المتغير T غير المحدد على الحقل المنتهي ذي p عنصرًا. هنا، يمكن إثبات أن P ( X ) غير قابل للاختزال وغير قابل للفصل بشكل مباشر. وهذا في الواقع مثال نموذجي على أهمية عدم الفصل ؛ فمن الناحية الهندسية، يمثل P التطبيق على الخط الإسقاطي فوق الحقل المنتهي، مع أخذ الإحداثيات مرفوعة للقوة p . تُعد هذه التطبيقات أساسية للهندسة الجبرية للحقول المنتهية. بعبارة أخرى، توجد في هذا السياق أغطية لا يمكن لنظرية غالوا "رؤيتها". (انظر التشكل الجذري لمناقشة أكثر تفصيلًا).

إذا كان L هو امتداد الحقل

K ( T ^{1/ p} ),

بمعنى آخر، إذا كان حقل التقسيم لـ P ، فإن L / K هو مثال على امتداد حقل غير قابل للفصل تمامًا . وهو من الدرجة p ، لكن ليس له أي تشاكل ذاتي يثبت K ، باستثناء التطابق، لأن T ^{1/ p} هو الجذر الوحيد لـ P. وهذا يُظهر بوضوح أن نظرية غالوا لا تنطبق هنا. يُسمى الحقل الذي لا توجد له مثل هذه الامتدادات حقلًا كاملًا . وكون الحقول المنتهية كاملة يتبع بالتجربة من بنيتها المعروفة.

يمكن إثبات أن حاصل الضرب الموتري لحقول L مع نفسها على K في هذا المثال يحتوي على عناصر معدومة غير صفرية. وهذا مظهر آخر من مظاهر عدم الانفصال: أي أن عملية الضرب الموتري على الحقول لا تُنتج بالضرورة حلقة هي حاصل ضرب حقول (أي ليست حلقة شبه بسيطة تبديلية ).

إذا كان P ( x ) قابلاً للفصل، وتشكل جذوره مجموعة ( مجموعة فرعية من الحقل K )، فإن P ( x ) هو متعدد حدود جمعي .

تظهر كثيرات الحدود القابلة للفصل بشكل متكرر في نظرية غالوا .

على سبيل المثال، ليكن P متعدد حدود غير قابل للاختزال بمعاملات صحيحة ، وليكن p عددًا أوليًا لا يقسم المعامل الرئيسي لـ P. ولتكن Q متعدد حدود على الحقل المنتهي ذي p عنصرًا، والذي يُحصل عليه باختزال معاملات P بتردد p . عندئذٍ، إذا كانت Q قابلة للفصل (وهو الحال لكل p باستثناء عدد محدود) ، فإن درجات العوامل غير القابلة للاختزال لـ Q هي أطوال دورات تبديل ما لمجموعة غالوا لـ P.

مثال آخر: إذا كانت P كما سبق، فإن المُحلِّل R لمجموعة G هو متعدد حدود معاملاته متعددات حدود في معاملات P ، مما يُعطي بعض المعلومات عن زمرة غالوا لـ P. بتعبير أدق، إذا كان R قابلاً للفصل وله جذر نسبي ، فإن زمرة غالوا لـ P تكون مُحتواة في G. على سبيل المثال، إذا كان D هو المُميِّز لـ P، فإن${\displaystyle X^{2}-D}$يُعدّ هذا المُحلِّل مُحلِّلاً للمجموعة المُتبادلة . ويكون هذا المُحلِّل قابلاً للفصل دائمًا (بافتراض أن الخاصية ليست 2) إذا كانت المجموعة P غير قابلة للاختزال، ولكن معظم المُحلِّلات ليست قابلة للفصل دائمًا.

• التماثل الداخلي لفروبينيوس