حاصل الضرب الموتري للحقول

في الرياضيات ، يُعرف حاصل الضرب الموتري لحقلين بأنه حاصل ضربهما الموتري كجبر على حقل جزئي مشترك . إذا لم يُحدد حقل جزئي صراحةً، فيجب أن يكون للحقلين نفس الخاصية ، ويكون الحقل الجزئي المشترك هو حقلهما الجزئي الأولي .

إن حاصل الضرب الموتري لحقلين يكون أحيانًا حقلًا، وغالبًا ما يكون حاصل ضرب مباشر للحقول؛ وفي بعض الحالات، يمكن أن يحتوي على عناصر نيلبوتنت غير صفرية .

يعبر حاصل الضرب الموتري لحقلين في بنية واحدة عن الطريقة المختلفة لتضمين الحقلين في حقل امتداد مشترك .

أولًا، يُعرَّف مفهوم تركيب الحقول. يتكرر هذا البناء بكثرة في نظرية الحقول . تكمن فكرة التركيب في جعل أصغر حقل يحتوي على حقلين آخرين. ولتعريف التركيب رسميًا، يجب أولًا تحديد سلسلة من الحقول . ليكن k حقلًا، و L و K امتدادين لـ k . يُعرَّف التركيب، الذي يُرمز له بـ KL ، على النحو التالي:${\displaystyle KL=k(K\cup L)}$حيث يشير الجانب الأيمن إلى الامتداد الناتج عن K و L. يفترض هذا وجود حقل ما يحتوي على كل من K و L. إما أن يبدأ المرء في حالة يسهل فيها تحديد حقل محيط (على سبيل المثال، إذا كان كل من K و L حقلين فرعيين من الأعداد المركبة )، أو يثبت نتيجة تسمح بوضع كل من K و L ( كنسخ متماثلة ) في حقل كبير بما فيه الكفاية.

في كثير من الحالات، يمكن تعريف K . L على أنه حاصل ضرب موتر في فضاء متجهي ، مأخوذ على الحقل N الذي يمثل تقاطع K و L. على سبيل المثال، إذا أضفنا √2 إلى الحقل النسبي${\displaystyle \mathbb {Q} }$للحصول على K ، و√3 للحصول على L ، صحيح أن الحقل M الذي تم الحصول عليه كـ K . L داخل الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$هو ( حتى التماثل)

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

كفضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$(يمكن التحقق من هذا النوع من النتائج، بشكل عام، باستخدام نظرية التفرع لنظرية الأعداد الجبرية .)

تكون الحقول الجزئية K و L من M منفصلة خطيًا (على حقل جزئي N ) عندما تكون الخريطة الخطية الطبيعية N من هذا النوع

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

إلى K. L أحادي . ^{[ 1 ]} بطبيعة الحال ، ليس هذا هو الحال دائمًا، على سبيل المثال عندما K = L. عندما تكون الدرجات منتهية، يكون التعدد هنا مكافئًا للتقابل . وبالتالي، عندما يكون K و L حقلي امتداد منفصلين خطيًا منتهيي الدرجة على N ،${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L}$، كما هو الحال مع التوسعات المذكورة سابقًا للأعداد العقلانية.

من الحالات المهمة في نظرية الحقول الدائرية أنه بالنسبة للجذور النونية للوحدة ، حيث n عدد مركب ، فإن الحقول الفرعية المولدة بواسطة الجذور p ^k للوحدة للقوى الأولية التي تقسم n تكون منفصلة خطيًا لقيم p المختلفة . ^{[ 2 ]}

للحصول على نظرية عامة، يحتاج المرء إلى النظر في بنية حلقية على${\displaystyle K\otimes _{N}L}$يمكن للمرء أن يُعرّف المنتج${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$يكون${\displaystyle ac\otimes bd}$(انظر: حاصل الضرب الموتري للجبر ). هذه الصيغة متعددة الخطية على N في كل متغير؛ وبالتالي تُعرّف بنية حلقية على حاصل الضرب الموتري، مما يجعل${\displaystyle K\otimes _{N}L}$إلى جبر N تبادلي ، يسمى حاصل الضرب الموتري للحقول .

يمكن تحليل بنية الحلقة من خلال النظر في جميع طرق تضمين كل من K و L في امتداد حقل ما لـ N. يفترض البناء هنا الحقل الفرعي المشترك N ؛ ولكنه لا يفترض مسبقًا أن K و L حقلان فرعيان من حقل ما M (وبذلك يتم تجاوز التحفظات المتعلقة ببناء حقل مركب). عندما يتم تضمين K و L في مثل هذا الحقل M ، على سبيل المثال باستخدام التضمينات α لـ K و β لـ L ، ينتج عن ذلك تشاكل حلقي γ من${\displaystyle K\otimes _{N}L}$في M المحدد بواسطة:

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

ستكون نواة γ مثالية أولية لضرب الموتر؛ وعلى العكس من ذلك، فإن أي مثالية أولية لضرب الموتر ستعطي تشاكلًا لجبر N إلى مجال تكاملي (داخل حقل من الكسور ) وبالتالي توفر تضمينات K و L في حقل ما كامتدادات (نسخة من) N.

وبهذه الطريقة يمكن تحليل بنية${\displaystyle K\otimes _{N}L}$: قد يكون هناك من حيث المبدأ جذر صفري غير صفري (تقاطع جميع المثاليات الأولية) - وبعد أخذ القسمة على ذلك يمكن للمرء أن يتحدث عن ناتج جميع تضمينات K و L في M المختلفة ، على N.

في حالة كون K و L امتدادين منتهيين لـ N ، يكون الوضع بسيطًا للغاية لأن حاصل الضرب الموتري ذو بُعد منتهٍ كجبر N (وبالتالي حلقة أرتينية ). يمكن القول حينها أنه إذا كان R هو الجذر، فإن${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$كحاصل ضرب مباشر لعدد محدود من الحقول. كل حقل من هذه الحقول هو ممثل لفئة تكافؤ من تضمينات الحقول (المختلفة أساسًا) لـ K و L في امتداد ما M.

ولإعطاء مثال واضح، انظر إلى الحقول${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$و${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$من الواضح${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$هي حقول متماثلة ولكنها غير متساوية تقنيًا، وتقاطعها (من منظور نظرية المجموعات) هو الحقل الأولي${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$. حاصل ضربهما الموتري

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N} L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

ليس حقلاً، بل هو رباعي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {Q} }$الجبر - علاوة على ذلك، فإن هذا الجبر متماثل مع المجموع المباشر للحقول

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

عبر الخريطة التي تم الحصول عليها بواسطة${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$أخلاقياً${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ينبغي اعتبارها أكبر حقل فرعي مشترك حتى التماثل بين K و L عبر التماثلات${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$عند إجراء عملية الضرب الموتري على هذا المرشح الأفضل لأكبر حقل فرعي مشترك، نحصل في الواقع على حقل (بسيط إلى حد ما).

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$.

كمثال آخر، إذا تم توليد K على${\displaystyle \mathbb {Q} }$بقسمة العدد 2 على الجذر التكعيبي ، ثم${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$هو مجموع (نسخة من) K ، وحقل تجزئة من

X ³ − 2,

من الدرجة السادسة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن إثبات ذلك بحساب بُعد حاصل الضرب الموتري على${\displaystyle \mathbb {Q} }$باعتبار 9، وملاحظة أن حقل التقسيم يحتوي على نسختين (بل ثلاث نسخ) من K ، وهو مركب من نسختين منها. وهذا يُظهر، بالمناسبة، أن R = {0} في هذه الحالة.

مثال يؤدي إلى عنصر عديم القوة غير صفري: ليكن

P ( X ) = X ^p − T

حيث K هو حقل الدوال الكسرية في المتغير T غير المحدد على الحقل المنتهي ذي p عنصرًا (انظر كثير الحدود القابل للفصل : النقطة الأساسية هنا هي أن P غير قابل للفصل). إذا كان L هو امتداد الحقل K ( T ^{1/ p} ) ( حقل التقسيم لـ P )، فإن L / K هو مثال على امتداد حقل غير قابل للفصل تمامًا .${\displaystyle L\otimes _{K}L}$العنصر

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

هو عديم القوة: بأخذ قوته من الرتبة p نحصل على 0 باستخدام الخطية K.

في نظرية الأعداد الجبرية ، تُعدّ الضربات الموترية للحقول أداة أساسية (ضمنياً في كثير من الأحيان). إذا كان K امتداداً لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الدرجة المحدودة n ،${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$هو دائمًا ناتج حقول متماثلة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$الحقول الحقيقية تمامًا هي تلك التي لا تحتوي إلا على _{حقول حقيقية :} عمومًا ، يوجد _r⁻¹ حقل حقيقي و r⁻² حقل مركب، حيث r⁻¹ + 2r⁻² = n كما يتضح من حساب الأبعاد. تتطابق عوامل الحقل تطابقًا تامًا مع التضمينات الحقيقية ، وأزواج التضمينات المركبة المترافقة ، الموصوفة في الأدبيات الكلاسيكية. 

تنطبق هذه الفكرة أيضاً على${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$أين${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p هو حقل الأعداد p -adic . وهو ناتج عن امتدادات منتهية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p ، في تناظر 1-1 مع إكمالات K لامتدادات المقياس p -adic على${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

يُقدّم هذا صورة عامة، بل وطريقة لتطوير نظرية غالوا (على غرار ما استُخدم في نظرية غالوا لغروتينديك ). ويمكن إثبات أنه بالنسبة للامتدادات القابلة للفصل، يكون الجذر دائمًا {0}؛ وبالتالي فإن حالة نظرية غالوا هي الحالة شبه البسيطة ، أي حالة جداء الحقول فقط.

• امتداد الكميات القياسية - حاصل الضرب الموتري لامتداد حقل وفضاء متجهي فوق ذلك الحقل

• "الموسوعة المركبة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• كيمبف، جورج ر. (2012) [1995]. "9.2 تحليل جداءات الموتر للحقول" . البنى الجبرية . سبرينغر. ص 85-87 . ISBN  978-3-322-80278-1.
• ميلن، جيه إس (18 مارس 2017). نظرية الأعداد الجبرية (ملف PDF) . ص  17. 3.07.
• شتاين، ويليام (2004). "مقدمة موجزة لنظرية الأعداد الجبرية الكلاسيكية والأديلية" (ملف PDF) . الصفحات 140-142 . 
• زاريسكي، أوسكار ؛ صموئيل، بيير (1975) [1958]. الجبر التبادلي 1. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  28. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90089-6. MR 0090581 . 

• موضوع على موقع MathOverflow حول تعريف الانفصال الخطي