التقسيم القطري الدقيق

القطرنة الدقيقة (ED) هي تقنية عددية تُستخدم في الفيزياء لتحديد الحالات الذاتية وقيم الطاقة الذاتية لهاملتوني الكم . في هذه التقنية، يُعبَّر عن هاملتونيان نظام منفصل ومحدود في شكل مصفوفة، ثم يُقطَّر باستخدام الحاسوب. لا تُجدي القطرنة الدقيقة إلا للأنظمة ذات درجات الحرية القليلة، نظرًا للنمو الأسي لبُعد فضاء هيلبرت مع حجم النظام الكمومي. تُستخدم هذه التقنية بكثرة لدراسة نماذج الشبكة، بما في ذلك نموذج هوبارد ، ونموذج إيزينغ ، ونموذج هايزنبرغ ، ونموذج t - J ، ونموذج SYK . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بعد تحديد الحالات الذاتية${\displaystyle |n\rangle }$والطاقات${\displaystyle \epsilon _{n}}$بالنسبة لهاملتوني معين، يمكن استخدام القطرنة الدقيقة للحصول على القيم المتوقعة للكميات القابلة للرصد. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}}$إذا كانت كمية قابلة للرصد، فإن قيمتها الحرارية المتوقعة هي

${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n|{\mathcal {O}}|n\rangle ,}$

أين${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}}$هي دالة التقسيم . إذا أمكن كتابة الكمية القابلة للرصد في الأساس الأولي للمسألة، فيمكن حساب هذا المجموع بعد التحويل إلى أساس الحالات الذاتية.

يمكن تقييم دوال غرين بطريقة مماثلة. على سبيل المثال، دالة غرين المتأخرة${\displaystyle G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle }$يمكن كتابتها

${\displaystyle G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\sum _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n}}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.}$

يمكن أيضًا استخدام عملية القطرية الدقيقة لتحديد التطور الزمني للنظام بعد التبريد المفاجئ . لنفترض أن النظام قد تم تحضيره في حالة ابتدائية${\displaystyle |\psi \rangle }$ثم للوقت${\displaystyle t>0}$يتطور في ظل هاميلتوني جديد،${\displaystyle {\mathcal {H}}}$الحالة في ذلك الوقت${\displaystyle t}$يكون

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle .}$

يتناسب بُعد فضاء هيلبرت الذي يصف نظامًا كميًا تناسبًا أُسّيًا مع حجم النظام. على سبيل المثال، لنفترض نظامًا من${\displaystyle N}$اللف المغزلي متمركز على مواقع شبكية ثابتة. بُعد الأساس الموضعي هو 2، لأن حالة كل لف مغزلي يمكن وصفها على أنها تراكب لللف المغزلي لأعلى واللف المغزلي لأسفل، ويرمز لها بـ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$و${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$النظام الكامل له أبعاد${\displaystyle 2^{N}}$، ويكون حجم الهاميلتوني المُمثَّل كمصفوفة${\displaystyle 2^{N}\times 2^{N}}$وهذا يعني أن وقت الحساب ومتطلبات الذاكرة تتناسب عكسيًا بشكل كبير مع عملية القطرنة الدقيقة. عمليًا، يمكن تقليل متطلبات الذاكرة بالاستفادة من تناظر المسألة، أو بفرض قوانين الحفظ، أو بالعمل مع المصفوفات المتفرقة ، أو باستخدام تقنيات أخرى لتقليل بُعد فضاء هيلبرت. ^{[ 3 ]}

يُعدّ التحليل القطري الدقيق مفيدًا لاستخلاص معلومات دقيقة حول الأنظمة المحدودة. مع ذلك، غالبًا ما تُدرس أنظمة صغيرة لفهم أنظمة الشبكات اللانهائية. إذا كان النظام المُقاس قطريًا صغيرًا جدًا، فلن تعكس خصائصه خصائص النظام في الحد الديناميكي الحراري ، ويُقال إن المحاكاة تعاني من تأثيرات الحجم المحدود.

على عكس بعض تقنيات النظرية الدقيقة الأخرى، مثل طريقة مونت كارلو للحقل المساعد ، تُحسب دوال غرين باستخدام طريقة القطرية الدقيقة مباشرةً في الزمن الحقيقي، بدلاً من الزمن التخيلي . وعلى عكس هذه التقنيات الأخرى، لا تتطلب نتائج القطرية الدقيقة استكمالًا تحليليًا عدديًا . وهذه ميزة، لأن الاستكمال التحليلي العددي يُعد مسألة تحسين غير محددة جيدًا ومعقدة. ^{[ 4 ]}

• يمكن استخدامه كأداة لحل مشكلة الشوائب في تقنيات نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي . ^{[ 5 ]}
• عند دمجها مع قياس الحجم المحدود، يتم تقدير طاقة الحالة الأرضية والأسس الحرجة لنموذج إيزينغ ذي المجال المستعرض أحادي البعد . ^{[ 6 ]}
• دراسة خصائص نموذج هايزنبرغ ثنائي الأبعاد في مجال مغناطيسي، بما في ذلك المغناطيسية المضادة وسرعة الموجة المغزلية. ^{[ 7 ]}
• دراسة وزن درود لنموذج هوبارد ثنائي الأبعاد. ^{[ 8 ]}
• دراسة الارتباطات خارج الترتيب الزمني (OTOCs) والتشويش في نموذج SYK. ^{[ 9 ]}
• محاكاة أطياف الأشعة السينية الرنانة للمواد ذات الارتباط القوي. ^{[ 10 ]}
• محاكاة التحليل الطيفي غير الخطي للمغناطيس الكمومي . ^{[ 11 ]}

توجد العديد من حزم البرامج التي تُنفذ عملية القطرنة الدقيقة للهاميلتونيان الكمومي. وتشمل هذه البرامج ALPS و DoQo و EdLib و edrixs و Quanty وغيرها الكثير.

يمكن دمج نتائج القطرنة الدقيقة من العديد من المجموعات الصغيرة للحصول على معلومات أكثر دقة حول الأنظمة في الحد الديناميكي الحراري باستخدام التوسع العددي للمجموعات المرتبطة . ^{[ 12 ]}

• خوارزمية لانكزوس

• المحاكاة الكمومية / القطرنة الدقيقة
• شرح كامل لعملية تحويل البيانات إلى قطري باستخدام برنامج ALPS ( مؤرشف بتاريخ ٢٣ يوليو ٢٠١٩ في أرشيف الإنترنت) .
• طريقة القطرنة الدقيقة وطريقة لانكزوس في كتاب: طرق الأجسام المتعددة للمواد الحقيقية، تحرير إي. بافاريني، إي. كوخ، وإس. تشانغ، يوليش 2019، رقم ISBN 978-3-95806-400-3