الأس الحرج

تصف الأسس الحرجة سلوك الكميات الفيزيائية بالقرب من التحولات الطورية المستمرة . ويُعتقد، وإن لم يُثبت ذلك، أنها عامة، أي أنها لا تعتمد على تفاصيل النظام الفيزيائي، بل على بعض سماته العامة فقط. على سبيل المثال، بالنسبة للأنظمة المغناطيسية الحديدية في حالة التوازن الحراري، تعتمد الأسس الحرجة فقط على:

• أبعاد النظام
• نطاق التفاعل
• بُعد الدوران​

تُدعم هذه الخصائص للأسس الحرجة بالبيانات التجريبية. ويمكن الحصول على نتائج تحليلية نظريًا في نظرية المجال المتوسط ​​في الأبعاد العالية أو عند معرفة الحلول الدقيقة، كما في نموذج إيزينغ ثنائي الأبعاد . ويتطلب المعالجة النظرية في الأبعاد العامة استخدام منهجية مجموعة إعادة التطبيع ، أو تقنيات التمهيد المطابق للأنظمة في حالة التوازن الحراري . وتظهر التحولات الطورية والأسس الحرجة في العديد من الأنظمة الفيزيائية، مثل الماء عند النقطة الحرجة ، والأنظمة المغناطيسية، والموصلية الفائقة، والترشيح، والسوائل المضطربة. ويختلف البعد الحرج الذي تكون عنده أسس المجال المتوسط ​​صالحة باختلاف الأنظمة، وقد يكون لانهائيًا.

غالبًا ما تكون درجة الحرارة هي العامل المتحكم في التحولات الطورية ، ولكن يمكن أن تكون أيضًا متغيرات ماكروسكوبية أخرى مثل الضغط أو مجال مغناطيسي خارجي. ولتبسيط الشرح، سنستخدم درجة الحرارة كمتغير تحكم، ويمكن تحويلها بسهولة إلى متغير تحكم آخر. تُسمى درجة الحرارة التي يحدث عندها التحول درجة الحرارة الحرجة T_{_c} . نريد وصف سلوك كمية فيزيائية f بدلالة قانون القوة حول درجة الحرارة الحرجة؛ لذا سنستخدم مصطلح درجة الحرارة المختزلة.

${\displaystyle \tau$ :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}

والتي تساوي صفرًا عند الانتقال الطوري ، ونحدد الأس الحرج${\displaystyle k}$مثل:

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

وهذا ينتج عنه قانون القوة الذي كنا نبحث عنه:

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

من المهم أن نتذكر أن هذا يمثل السلوك التقاربي للدالة f ( τ ) عندما τ → 0 .

وبشكل عام، قد يتوقع المرء

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

لنفترض أن النظام في حالة التوازن الحراري له طوران مختلفان يتميزان بمعامل ترتيب Ψ ، والذي يتلاشى عند درجة الحرارة T _c وما فوقها .

لننظر إلى أطوار الطور غير المنتظم ( τ > 0 )، والطور المنتظم ( τ < 0 )، ودرجة الحرارة الحرجة ( τ = 0 ) بشكل منفصل. ووفقًا للعرف المتعارف عليه، تُوضع علامة (') على الأسس الحرجة المتعلقة بالطور المنتظم. كما يُستخدم عادةً الرمز + (-) كرمز علوي/سفلي للدلالة على حالة الطور غير المنتظم (المنتظم). وبشكل عام، يحدث كسر التناظر التلقائي في الطور المنتظم.

يتم تقييم المدخلات التالية عند J = 0 (باستثناء المدخل δ )

يمكن اشتقاق الأسس الحرجة من الطاقة الحرة النوعية f ( J , T ) كدالة للمصدر ودرجة الحرارة. ويمكن اشتقاق طول الترابط من الدالة F [ J , T ] . في كثير من الحالات، تكون الأسس الحرجة المُعرَّفة في الأطوار المنتظمة وغير المنتظمة متطابقة.

عندما يكون البُعد الحرج الأعلى أربعة، تكون هذه العلاقات دقيقة بالقرب من النقطة الحرجة في الأنظمة ثنائية وثلاثية الأبعاد. أما في أربعة أبعاد، فتُعدَّل قوانين القوى بعوامل لوغاريتمية. ولا تظهر هذه العوامل في الأبعاد القريبة من أربعة، ولكن ليس بالضرورة أن تكون أربعة بالضبط، وهو ما يمكن استخدامه كحلٍّ لهذه المشكلة . ^{[ 1 ]}

تُعطى قيم الأسس الحرجة لحقل قياسي (يُعد نموذج إيزينغ مثالًا نموذجيًا عليه) في نظرية لانداو الكلاسيكية (المعروفة أيضًا بنظرية المجال المتوسط ) بواسطة

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

إذا أضفنا حدودًا مشتقة لتحويلها إلى نظرية جينزبورغ-لانداو للمجال المتوسط ، فسنحصل على

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

من أهم الاكتشافات في دراسة الظواهر الحرجة أن نظرية المجال المتوسط ​​للنقاط الحرجة لا تكون صحيحة إلا عندما يكون البعد المكاني للنظام أعلى من بُعد معين يُسمى البعد الحرج الأعلى ، والذي يستثني الأبعاد الفيزيائية 1 و2 و3 في معظم الحالات. تكمن مشكلة نظرية المجال المتوسط ​​في أن الأسس الحرجة لا تعتمد على البعد المكاني. يؤدي هذا إلى تباين كمي دون الأبعاد الحرجة، حيث تختلف الأسس الحرجة الحقيقية عن قيم المجال المتوسط. بل قد يؤدي إلى تباين نوعي عند الأبعاد المكانية المنخفضة، حيث لا يمكن أن توجد نقطة حرجة في الواقع، على الرغم من أن نظرية المجال المتوسط ​​لا تزال تتنبأ بوجودها. هذا هو الحال بالنسبة لنموذج إيزينغ في البعد 1 حيث لا يوجد انتقال طوري. يُطلق على البعد المكاني الذي تصبح فيه نظرية المجال المتوسط ​​غير صحيحة نوعيًا اسم البعد الحرج الأدنى.

أدق قيمة مُقاسة لـ α هي −0.0127(3) لانتقال طور الهيليوم فائق الميوعة (ما يُعرف بانتقال لامدا ). وقد قُيست هذه القيمة على متن مكوك فضائي لتقليل فروق الضغط في العينة. ^{[ 2 ]} وتختلف هذه القيمة اختلافًا كبيرًا عن أدق التقديرات النظرية ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} المُستمدة من تقنيات التمدد عند درجات الحرارة العالية، وطرق مونت كارلو ، وتقنية التمهيد المطابق . ^{[ 6 ]}

يمكن حساب الأسس الحرجة باستخدام طرق مونت كارلو لنماذج الشبكة. وتعتمد دقة هذه الطريقة القائمة على المبادئ الأساسية على الموارد الحاسوبية المتاحة، والتي تحدد القدرة على الوصول إلى حد الحجم اللانهائي وتقليل الأخطاء الإحصائية. وتعتمد تقنيات أخرى على الفهم النظري للتقلبات الحرجة. وتُعد مجموعة إعادة التطبيع التقنية الأكثر شيوعًا . أما التمهيد المطابق فهو تقنية طُوّرت حديثًا، وقد حققت دقة فائقة في حساب الأسس الحرجة لمعادلة إيزينغ .

في ضوء المقاييس الحرجة، يمكننا إعادة صياغة جميع الكميات الديناميكية الحرارية بدلالة كميات لا بُعدية. وبالقرب من النقطة الحرجة، يمكن إعادة صياغة كل شيء بدلالة نسب معينة لقوى الكميات المختزلة. هذه هي دوال القياس.

يمكن استنتاج أصل دوال القياس من مجموعة إعادة التطبيع. النقطة الحرجة هي نقطة ثابتة في نطاق الأشعة تحت الحمراء . في جوار صغير كافٍ حول النقطة الحرجة، يمكننا تبسيط تأثير مجموعة إعادة التطبيع. هذا يعني أساسًا أن إعادة قياس النظام بمعامل a يكافئ إعادة قياس المؤثرات وحقول المصدر بمعامل Δ لبعض قيم Δ ^. بالتالي، يمكننا إعادة تحديد معلمات جميع الكميات بدلالة كميات مستقلة عن المقياس بعد إعادة قياسها.

كان يُعتقد لفترة طويلة أن الأسس الحرجة متساوية فوق وتحت درجة الحرارة الحرجة، مثل α ≡ α ′ أو γ ≡ γ ′ . وقد ثبت الآن أن هذا ليس صحيحًا بالضرورة: فعندما يتم كسر التناظر المستمر صراحةً إلى تناظر منفصل بواسطة تباينات غير ذات صلة (بمعنى مجموعة إعادة التطبيع)، فإن الأسس γ ​​و γ ′ لا تكون متطابقة. ^{[ 7 ]}

تُرمز الأسس الحرجة بأحرف يونانية. وهي تندرج ضمن فئات الشمولية وتخضع لعلاقات القياس والقياس الفائق.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

تشير هذه المعادلات إلى وجود أسين مستقلين فقط، على سبيل المثال، ν و η . كل هذا ينبع من نظرية مجموعة إعادة التطبيع .

تظهر التحولات الطورية والأسس الحرجة أيضًا في عمليات الترشيح ، حيث يُعد تركيز المواقع أو الروابط "المشغولة" في الشبكة البلورية هو العامل المتحكم في التحول الطوري (مقارنةً بدرجة الحرارة في التحولات الطورية الكلاسيكية في الفيزياء). ومن أبسط الأمثلة على ذلك ترشيح برنولي في شبكة مربعة ثنائية الأبعاد، حيث تُشغل المواقع عشوائيًا باحتمالية معينة.${\displaystyle p}$تُعرَّف المجموعة بأنها مجموعة من المواقع المجاورة المشغولة. بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle p}$لا تشكل المواقع المشغولة سوى تجمعات محلية صغيرة. عند عتبة الترشيح${\displaystyle p_{c}\approx 0.5927}$(وتُسمى أيضًا الاحتمالية الحرجة) تتشكل مجموعة ممتدة عبر مواقع متقابلة من النظام، ونشهد انتقالًا طوريًا من الدرجة الثانية يتميز بأسس حرجة شاملة. ^{[ 8 ] [ 9 ]} بالنسبة للترشيح، تختلف فئة الشمولية عن فئة شمولية إيزينغ. على سبيل المثال، يكون الأس الحرج لطول الارتباط هو${\displaystyle \nu =4/3}$ مقارنة بترشيح برنولي ثنائي الأبعاد بـ${\displaystyle \nu =1}$بالنسبة لنموذج إيزينغ ثنائي الأبعاد.

توجد بعض الأنظمة غير المتجانسة حيث يعتمد طول الارتباط على الاتجاه.

يمكن اعتبار الترشيح الموجه أيضاً ترشيحاً غير متناحٍ. في هذه الحالة، تختلف الأسس الحرجة ويكون البعد الحرج الأعلى 5. ^{[ 10 ]}

قد يظهر سلوك أكثر تعقيدًا عند النقاط الحرجة المتعددة ، أو على الحدود، أو عند تقاطعات المتشعبات الحرجة. ويمكن الوصول إلى هذه الحالات عن طريق ضبط قيمة اثنين أو أكثر من المعاملات، مثل درجة الحرارة والضغط.

تشير الأمثلة السابقة حصراً إلى الخصائص الساكنة لنظام حرج. مع ذلك، قد تصبح الخصائص الديناميكية للنظام حرجة أيضاً. على وجه الخصوص، يتباعد الزمن المميز، τ _char ، للنظام وفقاً للعلاقة τ _char ∝ ξ ^z ، حيث z هو الأس الديناميكي . علاوة على ذلك، تنقسم فئات العمومية الساكنة الكبيرة للنماذج المتكافئة ذات الأسس الحرجة الساكنة المتطابقة إلى فئات عمومية ديناميكية أصغر ، إذا اشترطنا أن تكون الأسس الديناميكية متطابقة أيضاً.

يمكن حساب الأسس الحرجة للتوازن من نظرية المجال المطابق .

توجد أيضًا أسس حرجة للتنظيم الذاتي الحرج للأنظمة المبددة للطاقة .

• فئة الشمولية للقيم العددية للأسس الحرجة
• الشبكات المعقدة
• الرسوم البيانية العشوائية
• عدم المساواة في راشبروك
• توسيع نطاق Widom
• التمهيد المطابق
• إيزينغ الأسس الحرجة
• الأسس الحرجة للترشيح
• علم الشبكات
• نظرية الترشيح
• نظرية الرسم البياني

• هاجن كلاينرت وفيرينا شولت فروهليند، الخصائص الحرجة لـ φ ⁴ - النظريات ، العالم العلمي (سنغافورة، 2001) ؛ غلاف ورقي رقم ISBN 981-02-4658-7
• تودا، م.، كوبو، ر.، سايتو، ن.، الفيزياء الإحصائية 1 ، سبرينغر-فيرلاغ (برلين، 1983)؛ غلاف مقوى، رقم ISBN 3-540-11460-2
• JMYeomans، الميكانيكا الإحصائية لانتقالات الطور ، مطبعة أكسفورد كلارندون
• مقدمة إتش إي ستانلي في التحولات الطورية والظواهر الحرجة ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1971
• فئات الشمولية من سكلوغويكي
• زين-جاستن، جان (2002). نظرية الحقل الكمومي والظواهر الحرجة ، أكسفورد، مطبعة كلارندون (2002)، رقم ISBN 0-19-850923-5
• زين-جاستن، ج. (2010). "الظواهر الحرجة: نهج نظري للمجال" مقالة Scholarpedia، 5(5):8346.
• د. بولاند، س. ريتشكوف، أ. فيتشي، "التمهيد المطابق: النظرية والتقنيات العددية والتطبيقات" ، مجلة الفيزياء الحديثة 91 (2019) 015002، http://arxiv.org/abs/1805.04405
• F. Leonard and B. Delamotte يمكن أن تكون الأسس الحرجة مختلفة على جانبي الانتقال: آلية عامة ، Phys. Rev. Lett. 115، 200601 (2015)، https://arxiv.org/abs/1508.07852 ،