التنظيم البُعدي

في الفيزياء النظرية ، يعد التنظيم البُعدي طريقة قدمها خوان خوسيه جيامبياجي وكارلوس غيدو بوليني ^{[ 1 ]} وكذلك - بشكل مستقل وأكثر شمولاً ^{[ 2 ]} - جيرارد هوفت ومارتينوس جي جي فيلتمان ^{[ 3 ]} لتنظيم التكاملات في تقييم مخططات فاينمان ؛ بعبارة أخرى، تعيين قيم لها تكون دوال ميرومورفية لمعامل معقد d ، وهو الاستمرار التحليلي لعدد أبعاد الزمكان.

تُكتب عملية التنظيم البُعدي تكامل فاينمان كتكامل يعتمد على بُعد الزمكان d ومربعات المسافات ( xᵢ _- xⱼ ₎ ^² لنقاط الزمكان xᵢ _، ... التي تظهر فيه. في الفضاء الإقليدي ، غالبًا ما يتقارب التكامل عندما تكون قيمة −Re ( d ) كبيرة بما فيه الكفاية، ويمكن استكماله تحليليًا من هذه المنطقة إلى دالة ميرومورفية مُعرَّفة لجميع قيم d المركبة . بشكل عام، سيكون هناك قطب عند القيمة الفيزيائية (عادةً 4) لـ d ، والذي يجب إلغاؤه عن طريق إعادة التطبيع للحصول على الكميات الفيزيائية. بيّن بافيل إيتينغوف أن التنظيم البُعدي مُعرَّف رياضيًا بشكل جيد، على الأقل في حالة الحقول الإقليدية الضخمة، باستخدام متعددة حدود برنشتاين-ساتو لإجراء الاستكمال التحليلي. ^{[ 4 ]}

على الرغم من أن هذه الطريقة تُفهم على نحو أفضل عند طرح الأقطاب واستبدال قيمة d بالعدد 4، إلا أنها حققت بعض النجاحات أيضًا عند تقريب قيمة d إلى عدد صحيح آخر، حيث تبدو النظرية مترابطة بقوة كما في حالة نقطة ويلسون-فيشر الثابتة . ويتمثل التطور الأكبر في أخذ الاستيفاء عبر الأبعاد الكسرية على محمل الجد. وقد دفع هذا بعض الباحثين إلى اقتراح إمكانية استخدام التنظيم البُعدي لدراسة فيزياء البلورات التي تبدو ظاهريًا كسورية . ^{[ 5 ]}

لقد قيل إن تنظيم دالة زيتا والتنظيم البُعدي متكافئان لأنهما يستخدمان نفس المبدأ المتمثل في استخدام الاستمرار التحليلي لكي تتقارب المتسلسلة أو التكامل. ^{[ 6 ]}

لنفترض وجود خط مشحون لانهائي بكثافة شحنة${\displaystyle s}$ونحسب جهد المسافة النقطية${\displaystyle x}$بعيدًا عن الخط. ^{[ 7 ]} التكامل يتباعد:$${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$$أين${\displaystyle A=s/(4\pi \epsilon _{0}).}$

بما أن الخط المشحون له "تناظر كروي" أحادي البعد (والذي في البعد الواحد هو مجرد تناظر انعكاسي)، يمكننا إعادة كتابة التكامل لاستغلال التناظر الكروي:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$حيث قمنا أولاً بإزالة الاعتماد على الطول عن طريق القسمة على وحدة الطول${\displaystyle x_{0}}$ثم قام بتحويل التكامل على${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$إلى تكامل على الكرة أحادية البعد${\displaystyle S^{1}}$، متبوعًا بتكامل على جميع أنصاف أقطار الكرة أحادية البعد.

والآن نقوم بتعميم هذا إلى بُعد${\displaystyle d}$حجم الكرة ذات البعد d هو${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}}$، أين${\displaystyle \Gamma }$هي دالة غاما . الآن يصبح التكامل$${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$متى${\displaystyle d=1-\epsilon }$، يهيمن ذيل التكامل على التكامل، أي${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },}$أين${\displaystyle c=\Theta (x/x_{0})}$(في تدوين ثيتا الكبير ). وبالتالي${\displaystyle V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon }$وبالتالي فإن المجال الكهربائي هو${\displaystyle V'(x)\sim x^{-1}}$كما ينبغي.

لنفترض أن المرء يرغب في تنظيم أبعاد تكامل حلقة متباعد لوغاريتميًا في أربعة أبعاد، مثل

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$

أولاً، اكتب التكامل في عدد عام غير صحيح من الأبعاد${\displaystyle d=4-\varepsilon }$، أين${\displaystyle \varepsilon }$سيُعتبر لاحقاً صغيراً،$${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$$إذا كانت الدالة التكاملية تعتمد فقط على${\displaystyle p^{2}}$، يمكننا تطبيق الصيغة ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).}$$بالنسبة للأبعاد الصحيحة مثل${\displaystyle d=3}$، وتختزل هذه الصيغة إلى تكاملات مألوفة على أغلفة رقيقة مثل${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$بالنسبة للأبعاد غير الصحيحة، نُعرّف قيمة التكامل بهذه الطريقة عن طريق الاستمرار التحليلي. وهذا يُعطي$${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$$لاحظ أن التكامل يتباعد مرة أخرى عندما${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$، لكنها محدودة بالنسبة للقيم الصغيرة العشوائية${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$.

• بوليني، كارلوس؛ جيامبياجي، خوان خوسيه (1972)، “إعادة تطبيع الأبعاد: عدد الأبعاد كمعلمة تنظيم”. , إيل نوفو سيمينتو بي ، 12 (1): 20–26 ، بيب كود : 1972NCimB..12...20B ، دوى : 10.1007 / BF02895558 ، S2CID 123505054 
• إيتينغوف، بافيل (1999)، "ملاحظة حول التنظيم البُعدي" ، الحقول الكمومية والأوتار: دورة للرياضيين، المجلد 1، (برينستون، نيوجيرسي، 1996/1997) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 597-607 ، ISBN  978-0-8218-2012-4MR 1701608​ 
• هوفت، جي. تي؛ فيلتمان، إم. (1972)، "التنظيم وإعادة التطبيع لحقول القياس" ، الفيزياء النووية ب ، 44 (1): 189-213 ، رمز Bibcode : 1972NuPhB..44..189T ، doi : 10.1016/0550-3213(72)90279-9 ، hdl : 1874/4845 ، ISSN 0550-3213