حالة ضرب المصفوفة

تحلل${\displaystyle d^{N}}$يبدأ الموتر ذو الأبعاد n بفصل المؤشر الأيسر، أي المؤشر الأول${\displaystyle s_{1}}$والتي تصف درجات الحرية الفيزيائية للموقع الأول. ويتم ذلك عن طريق إعادة تشكيل${\displaystyle |\Psi \rangle }$كما يلي

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

في هذه الصيغة،${\displaystyle s_{1}}$يتم التعامل معه كمؤشر صف،${\displaystyle (s_{2}\ldots s_{N})}$كمؤشر عمود، والمعامل${\displaystyle \psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}}$له أبعاد${\displaystyle (d\times d^{N-1})}$ينتج عن إجراء SVD

${\displaystyle \psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}U_{s_{1},\alpha _{1}}D_{\alpha _{1},\alpha _{1}}(V^{\dagger })_{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}U_{s_{1},\alpha _{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}.}$

في العلاقة المذكورة أعلاه، المصفوفات${\displaystyle D}$و${\displaystyle V^{\dagger }}$يتم ضربها وتشكيل المصفوفة${\displaystyle \psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}}$و${\displaystyle r_{1}\leq d}$.${\displaystyle A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}}$يخزن معلومات حول موقع الشبكة الأول. وقد تم الحصول عليه عن طريق تحليل المصفوفة${\displaystyle U}$داخل${\displaystyle d}$متجهات الصف${\displaystyle A^{s_{1}}}$مع إدخالات${\displaystyle A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}=U_{s_{1},\alpha _{1}}}$لذا، يأخذ متجه الحالة الشكل التالي

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

يتم فصل الموقع الثاني عن طريق التجميع${\displaystyle s_{2}}$و${\displaystyle \alpha _{1}}$، وتمثيل ${\displaystyle \psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}}$كمصفوفة ${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}}$من الأبعاد${\displaystyle (r_{1}d\times d^{N-2})}$. التحليل اللاحق للقيم المفردة لـ${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}}$يمكن تنفيذ ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{2}}^{r_{2}}U_{(\alpha _{1}s_{2}),\alpha _{2}}D_{\alpha _{2},\alpha _{2}}(V^{\dagger })_{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{2}}^{r_{2}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}}$.

نستبدل أعلاه${\displaystyle U}$بواسطة مجموعة من${\displaystyle d}$مصفوفات ذات بُعد${\displaystyle (r_{1}\times r_{2})}$مع إدخالات${\displaystyle A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}=U_{(\alpha _{1}s_{2}),\alpha _{2}}}$أبعاد${\displaystyle \psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}}$يكون${\displaystyle (r_{2}\times d^{N-2})}$مع${\displaystyle r_{2}\leq r_{1}d\leq d^{2}}$. لذلك،

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

باتباع الخطوات الموضحة أعلاه، الدولة${\displaystyle |\Psi \rangle }$يمكن تمثيلها كحاصل ضرب مصفوفات

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N-1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}A_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

الأبعاد القصوى لـ${\displaystyle A}$تحدث المصفوفات في حالة التفكيك الدقيق، أي بافتراض، للتبسيط، أن${\displaystyle N}$زوجي،${\displaystyle (1\times d),(d\times d^{2}),\ldots ,(d^{N/2-1}\times d^{N/2}),(d^{N/2}\times d^{N/2-1}),\ldots ,(d^{2}\times d),(d\times 1)}$بالانتقال من الموقع الأول إلى الموقع الأخير. ومع ذلك، ونظرًا للنمو الأسي لأبعاد المصفوفة في معظم الحالات، فإنه من المستحيل إجراء التفكيك الدقيق.

يتم تعريف MPS المزدوج عن طريق استبدال كل مصفوفة${\displaystyle A}$مع${\displaystyle A^{*}}$:

${\displaystyle \langle \Psi |=\sum \limits _{\{s\}}\sum \limits _{\alpha '_{1},...,\alpha '_{N-1}}A_{\alpha '_{1}}^{*s'_{1}}A_{\alpha '_{1},\alpha '_{2}}^{*s'_{2}}...A_{\alpha '_{N-2},\alpha '_{N-1}}^{*s'_{N-1}}A_{\alpha '_{N-1}}^{*s'_{N}}\langle s'_{1}...s'_{N}|.}$

لاحظ أن كل مصفوفة${\displaystyle U}$في تحليل القيم المفردة، تكون المصفوفة شبه وحدوية ذات الخاصية التالية:${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$وهذا يؤدي إلى

${\displaystyle \delta _{\alpha _{i},\alpha _{j}}=\sum _{\alpha _{i-1}s_{i}}(U^{\dagger })_{\alpha _{i},(\alpha _{i-1}s_{i})}U_{(\alpha _{i-1}s_{i}),\alpha _{j}}=\sum _{\alpha _{i-1}s_{i}}(A^{s_{i}\dagger })_{\alpha _{i},\alpha _{i-1}}A_{\alpha _{i-1},\alpha _{j}}^{s_{i}}=\sum _{s_{i}}(A^{s_{i}\dagger }A^{s_{i}})_{\alpha _{i},\alpha _{j}}}$.

وبعبارة أدق،${\displaystyle \sum _{s_{i}}A^{s_{i}\dagger }A^{s_{i}}=I}$بما أن المصفوفات مُعَيَّرة من اليسار، فإننا نسمي التركيب بالتركيب القانوني الأيسر.

وبالمثل، يمكن بدء عملية التفكيك من الموقع الأيمن تمامًا. بعد فصل المؤشر الأول، يصبح الموتر ${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}}$يتحول على النحو التالي:

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\psi _{(s_{1}...s_{N-1}),s_{N}}=\sum _{\alpha _{N-1}}U_{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}D_{\alpha _{N-1},\alpha _{N-1}}(V^{\dagger })_{\alpha _{N-1},s_{N}}=\sum _{\alpha _{N-1}}\psi _{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$.

المصفوفة${\displaystyle \psi _{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}}$تم الحصول عليها عن طريق ضرب المصفوفات${\displaystyle U}$و${\displaystyle D}$وإعادة تشكيل${\displaystyle (V^{\dagger })_{\alpha _{N-1},s_{N}}}$داخل${\displaystyle d}$أشكال متجهات الأعمدة${\displaystyle B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$بإجراء سلسلة من عمليات إعادة التشكيل وتحليل القيم المفردة، يأخذ متجه الحالة الشكل التالي:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N-1}}B_{\alpha _{1}}^{s_{1}}B_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

بما أن كل مصفوفة${\displaystyle V}$في تحليل القيم المفردة، تكون المصفوفة شبه وحدوية ذات الخاصية التالية:${\displaystyle V^{\dagger }V=I}$، ال${\displaystyle B}$المصفوفات مُعَيَّرة من اليمين وتخضع لـ${\displaystyle \sum _{s_{i}}B^{s_{i}}B^{s_{i}\dagger }=I}$وبالتالي، يُطلق على هذا التفكيك اسم التفكيك الكنسي الأيمن.

يتم إجراء عملية التفكيك من اليمين ومن اليسار. بافتراض أن عملية التفكيك الكلاسيكية اليسرى قد تم إجراؤها على المواقع n الأولى، ${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}}$يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{n-1},\alpha _{n}}^{s_{n}}D_{\alpha _{n},\alpha _{n}}(V^{\dagger })_{\alpha _{n},(s_{n+1}...s_{N})}}$.

في الخطوة التالية، نعيد تشكيل${\displaystyle (V^{\dagger })_{\alpha _{n},(s_{n+1}...s_{N})}}$مثل${\displaystyle \psi _{(\alpha _{n}s_{n+1}...s_{n-1}),s_{N}}}$ثم تابع سلسلة عمليات إعادة التشكيل وتحليل القيم المفردة من اليمين إلى اليسار.${\displaystyle s_{n+1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{(\alpha _{n}s_{n+1}...s_{n-1}),s_{N}}=&\sum _{\alpha _{n+1}...\alpha _{N}}U_{(\alpha _{n}s_{n+1}),\alpha _{n+1}}D_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}\\=&\sum _{\alpha _{n+1}...\alpha _{N}}B_{\alpha _{n},\alpha _{n+1}}^{s_{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}\end{aligned}}}$.

ونتيجة لذلك،

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{n-1},\alpha _{n}}^{s_{n}}D_{\alpha _{n},\alpha _{n}}B_{\alpha _{n},\alpha _{n+1}}^{s_{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$.

حالة غرينبيرغر-هورن-زيلينغر ، والتي يمكن كتابتها لـ N جسيمًا على أنها تراكب لـ N صفر و N واحد

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

يمكن التعبير عنها كحالة ضرب مصفوفة، حتى التطبيع، مع

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

أو بشكل مكافئ، باستخدام الترميز من: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

تستخدم هذه الصيغة مصفوفات عناصرها متجهات حالة (بدلاً من الأعداد المركبة)، وعند ضرب المصفوفات، يتم استخدام الضرب الموتري لعناصرها (بدلاً من ضرب عددين مركبين). تُنشأ هذه المصفوفة على النحو التالي:

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

لاحظ أن الضرب الموتري ليس تبادليًا .

في هذا المثال تحديداً، يكون حاصل ضرب مصفوفتين من النوع A هو:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

الحالة W ، أي تراكب جميع حالات الأساس الحسابي ذات وزن هامينغ واحد.

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

على الرغم من أن الحالة متناظرة تبديلياً، إلا أن أبسط تمثيل لها في نظام MPS ليس كذلك. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

دالة الموجة للحالة الأرضية AKLT ، وهي المثال التاريخي لنهج MPS، ^{[ 11 ]} تتوافق مع الاختيار ^{[ 9 ]}

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

حيث${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$هي مصفوفات باولي ، أو

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

يمكن كتابة الحالة الأرضية لماجومدار-غوش على النحو التالي: MPS مع

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$