مصفوفة شبه متعامدة

ضع في اعتبارك${\displaystyle 3\times 2}$مصفوفة أعمدتها متعامدة: ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ هنا، أعمدتها متعامدة. لذلك، فهي شبه متعامدة، وهو ما تؤكده المعطيات التالية: ${\displaystyle A^{T}A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}}$

ضع في اعتبارك${\displaystyle 2\times 3}$مصفوفة صفوفها متعامدة: ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}$ هنا، صفوفها متعامدة. لذلك، فهي شبه متعامدة، وهو ما تؤكده المعطيات التالية: ${\displaystyle BB^{T}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}}$

ما يلي${\displaystyle 3\times 2}$تحتوي المصفوفة على أعمدة متعامدة، ولكنها ليست أعمدة متعامدة معيارية، وبالتالي فهي ليست شبه متعامدة: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ تؤكد الحسابات ذلك: ${\displaystyle C^{T}C={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}}\neq I_{2}}$

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$طويل أم مربع (${\displaystyle m\geq n}$)، وشبه تعامده يعني${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$لأي متجه${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$،${\displaystyle A}$يحافظ على معياره: $\displaystyle \|Ax\|_{2}^{2}=(Ax)^{T}(Ax)=x^{T}A^{T}Ax=x^{T}I_{n}x=\|x\|_{2}^{2}}$ إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$قصير (${\displaystyle m<n}$)، فهو يحافظ على معيار المتجهات في فضاء صفوفه .

لو${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$ثم أعمدة${\displaystyle A}$مستقلة خطيًا، لذا فإن رتبة${\displaystyle A}$يجب أن يكون${\displaystyle n}$. لو${\displaystyle AA^{T}=I_{m}}$ثم صفوف${\displaystyle A}$مستقلة خطيًا، لذا فإن رتبة${\displaystyle A}$يجب أن يكون${\displaystyle m}$في كلتا الحالتين، تكون المصفوفة ذات رتبة كاملة.

العبارة هي أن المصفوفة الحقيقية${\displaystyle A}$تكون شبه متعامدة إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها المفردة غير الصفرية تساوي 1.

وهذا يتبع مباشرة من تحليل القيم المفردة (SVD) .${\displaystyle A=U\Sigma V^{T}}$.

(${\displaystyle \implies }$) يفترض${\displaystyle A}$إذا كان شبه متعامد. فإما${\displaystyle A^{T}A=I}$أو${\displaystyle AA^{T}=I}$القيم المفردة غير الصفرية لـ${\displaystyle A}$هي الجذور التربيعية للقيم الذاتية غير الصفرية لكليهما${\displaystyle A^{T}A}$و${\displaystyle AA^{T}}$بما أن إحدى هذه المصفوفات "الغرامية" هي مصفوفة الوحدة ، فإن قيمها الذاتية جميعها تساوي 1. وبالتالي، فإن القيم المفردة غير الصفرية لـ${\displaystyle A}$يجب أن يكون 1.

(${\displaystyle \Leftarrow }$) افترض أن جميع القيم المفردة غير الصفرية لـ${\displaystyle A}$1. هذا يجبر كتلة${\displaystyle \Sigma }$تحتوي على القيم غير الصفرية لتكون مصفوفة الوحدة. يضمن هذا الهيكل إما${\displaystyle \Sigma ^{T}\Sigma =I_{n}}$(لو${\displaystyle A}$(يحتل المرتبة الكاملة في العمود) أو${\displaystyle \Sigma \Sigma ^{T}=I_{m}}$(لو${\displaystyle A}$(لها رتبة صف كاملة). باستبدال هذا في تعابير لـ${\displaystyle A^{T}A=V(\Sigma ^{T}\Sigma )V^{T}}$أو${\displaystyle AA^{T}=U(\Sigma \Sigma ^{T})U^{T}}$يوضح ذلك على التوالي أنه يجب تبسيط أحدهما إلى مصفوفة الوحدة، مما يحقق تعريف المصفوفة شبه المتعامدة.