تدفق المتجهات

في الرياضيات ، يشير التدفق المتجهي إلى مجموعة من المفاهيم المترابطة ارتباطًا وثيقًا للتدفق المحدد بواسطة حقل متجهي . وتظهر هذه المفاهيم في عدد من السياقات المختلفة، بما في ذلك الطوبولوجيا التفاضلية ، والهندسة الريمانية ، ونظرية زمر لي .

ليكن V حقلًا متجهيًا أملسًا على مشعب أملس M. يوجد تدفق أقصى وحيد D → M مولده المتناهي الصغر هو V. هنا ، D ⊆ R × M هو مجال التدفق . لكل p ∈ M، فإن التطبيق D _p → M هو المنحنى التكاملي الأقصى الوحيد لـ V الذي يبدأ من p .

التدفق العالمي هو التدفق الذي يكون نطاقه كاملاً في الفضاء R × M. تُعرّف التدفقات العالمية التأثيرات السلسة لـ R على M. يكون حقل المتجهات كاملاً إذا ولّد تدفقاً عالمياً. كل حقل متجهات سلس على مشعب مضغوط بدون حدود يكون كاملاً.

في الهندسة الريمانية ، يُمكن اعتبار التدفق المتجهي حلاً لنظام المعادلات التفاضلية الناتج عن حقل متجهي. ^{[ 1 ]} أي، إذا كان الحقل المتجهي (المحافظ) دالة إلى الفضاء المماسي ، فإنه يُمثل متجهات المماس لدالة ما عند كل نقطة. وبتقسيم متجهات المماس إلى مشتقات اتجاهية، يُمكن حل نظام المعادلات التفاضلية الناتج لإيجاد الدالة. وبهذا المعنى، تُمثل الدالة التدفق، وهي تُحفز الحقل المتجهي وتتأثر به في الوقت نفسه.

انطلاقًا من نقطة معينة، يُوصف معدل تغير المركبة i بالنسبة لمعاملات التدفق ("مدى تأثير التدفق") بواسطة المركبة i من الحقل. أي، إذا تم تحديد المعاملات باستخدام L "الطول على طول مسار التدفق"، فعند التقدم على طول التدفق بمقدار dL، تتغير مركبة الموضع الأولى وفقًا للمركبة الأولى من حقل المتجهات عند نقطة البداية، وينطبق الأمر نفسه على جميع المركبات الأخرى.

الخريطة الأسية

التجربة  : T _p M → M

يُعرَّف على أنه exp( X ) = γ(1) حيث γ  : I → M هو المسار الجيوديسي الوحيد الذي يمر بالنقطة p عند النقطة 0 ويكون متجه المماس له عند النقطة 0 هو X. هنا، I هي الفترة المفتوحة القصوى في R التي يُعرَّف عندها المسار الجيوديسي.

ليكن M مشعبًا شبه ريماني (أو أي مشعب ذي اتصال أفيني )، وليكن p نقطة في M. عندئذٍ، لكل V في T _p M، يوجد مسار جيوديسي وحيد γ  : I → M بحيث يكون γ(0) = p و${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V.}$ليكن D _p المجموعة الجزئية من T _p M التي يقع فيها 1 في I.

كل حقل متجهي ثابت من اليسار على زمرة لي يكون كاملاً. المنحنى التكاملي الذي يبدأ من نقطة التطابق هو زمرة جزئية ذات وسيط واحد من G. توجد تناظرات أحادية.

{ مجموعات فرعية ذات معلمة واحدة من G } ⇔ {حقول متجهة ثابتة من اليسار على G } ⇔ g = Te _G.

لتكن G زمرة لي، و g جبر لي الخاص بها . الدالة الأسية هي دالة exp  : g → G معطاة بالعلاقة exp( X ) = γ(1) حيث γ هو المنحنى التكاملي الذي يبدأ من نقطة التطابق في G والمولد بواسطة X.

• الخريطة الأسية سلسة.
• بالنسبة لـ X ثابتة، فإن الخريطة t ↦ exp( tX ) هي المجموعة الفرعية ذات المعلمة الواحدة من G التي تم إنشاؤها بواسطة X.
• يقتصر التطبيق الأسي على التماثل التفاضلي من جوار ما لـ 0 في g إلى جوار لـ e في G.
• صورة الخريطة الأسية تقع دائمًا في المكون المتصل للوحدة في G.

• تدفق متجه التدرج – إطار عمل رؤية الحاسوب