المتمم (نظرية المجموعات)

إذا كانت A مجموعة، فإن المتمم المطلق لـ A (أو ببساطة متمم A ) هو مجموعة العناصر غير الموجودة في A ( ضمن مجموعة أكبر مُعرَّفة ضمنيًا). بعبارة أخرى، لنفترض أن U مجموعة تحتوي على جميع العناصر قيد الدراسة؛ إذا لم تكن هناك حاجة لذكر U ، إما لأنها مُحدَّدة مسبقًا، أو لأنها بديهية وفريدة، فإن المتمم المطلق لـ A هو المتمم النسبي لـ A في U : ^{[ 3 ] [ أ ]}$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

يُرمز عادةً إلى المتمم المطلق للمجموعة A بالرمز التالي:${\displaystyle A^{c}}$[ ^{3 ] تتضمن} الرموز الأخرى${\displaystyle {\overline {A}}}$, ^{[ 4 ]}${\displaystyle A',}$^{[ 2 ]}${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$^{[ 5 ]}

• لنفترض أن الكون هو مجموعة الأعداد الصحيحة . إذا كانت A هي مجموعة الأعداد الفردية، فإن متممة A هي مجموعة الأعداد الزوجية. وإذا كانت B هي مجموعة مضاعفات العدد 3، فإن متممة B هي مجموعة الأعداد التي تُطابق 1 أو 2 بتردد 3 (أو بعبارة أبسط، الأعداد الصحيحة التي ليست من مضاعفات 3).
• لنفترض أن الكون هو مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 ورقة . إذا كانت المجموعة أ هي مجموعة أوراق البستوني، فإن مكملتها هي اتحاد مجموعات أوراق النادي والماس والقلوب. وإذا كانت المجموعة ب هي اتحاد مجموعتي أوراق النادي والماس، فإن مكملتها هي اتحاد مجموعتي أوراق القلوب والبستوني.
• عندما يكون الكون هو كون المجموعات الموصوفة في نظرية المجموعات الرسمية ، فإن المتمم المطلق لمجموعة ما ليس مجموعة بحد ذاته، بل هو فئة حقيقية . لمزيد من المعلومات، انظر المجموعة الشاملة .

لتكن A و B مجموعتين في فضاء شامل U. تُجسد المتطابقات التالية خصائص مهمة للمكملات المطلقة:

قوانين دي مورغان : ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

قوانين المكملات: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{إذا كان }}A\subseteq B{\text{، فإن }}B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (هذا يتبع من تكافؤ الشرط مع نقيضه ) .

قانون الانعكاس أو قانون المكمل المزدوج:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

العلاقات بين المكملات النسبية والمكملات المطلقة:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

العلاقة مع اختلاف المجموعة:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

يوضح القانونان التكميليان الأولان أعلاه أنه إذا كانت A مجموعة جزئية غير فارغة ومناسبة من U ، فإن { A ، A ^∁ } هي تجزئة لـ U.

إذا كانت A و B مجموعتين، فإن المتمم النسبي لـ A في B ، ^{[ 3 ]} ويسمى أيضًا الفرق بين مجموعتي B و A ، ^{[ 6 ]} هو مجموعة العناصر الموجودة في B ولكنها غير موجودة في A.

يُرمز إلى المتمم النسبي للمجموعة A في المجموعة B بالرمز التالي:${\displaystyle B\setminus A}$وفقًا لمعيار ISO 31-11 . ويكتب أحيانًا${\displaystyle BA,}$لكن هذه الصيغة قد تكون غامضة، إذ في بعض السياقات (على سبيل المثال، عمليات مجموعة مينكوفسكي في التحليل الوظيفي ) يمكن تفسيرها على أنها مجموعة جميع العناصر${\displaystyle ba,}$حيث يتم أخذ b من B و a من A.

رسميا: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• لو${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة الأعداد الحقيقية و${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذا كانت مجموعة الأعداد النسبية ، فإن${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$هي مجموعة الأعداد غير النسبية .

لتكن A و B و C ثلاث مجموعات في فضاء شامل U. تُجسد المتطابقات التالية خصائص بارزة للمكملات النسبية:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  مع الحالة الخاصة الهامة${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$مما يدل على أنه يمكن التعبير عن التقاطع باستخدام عملية المكمل النسبي فقط.

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• لو${\displaystyle A\subset B}$، ثم${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$.
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$يعادل${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$.