علاقة متصلة

في الرياضيات، تسمى العلاقة في مجموعة ما متصلة أو كاملة أو كلية إذا كانت تربط (أو "تقارن") جميع الأزواج المميزة من عناصر المجموعة في اتجاه واحد أو آخر بينما تسمى متصلة بقوة إذا كانت تربط جميع أزواج العناصر. وكما هو موضح في قسم المصطلحات أدناه، فإن المصطلحات الخاصة بهذه الخصائص ليست موحدة. لا ينبغي الخلط بين مفهوم "الإجمالي" ومفهوم العلاقة الكلية بمعنى أنه بالنسبة للجميع يوجد بحيث (انظر العلاقة التسلسلية ). ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle x\mathrel {R} y}$

تتميز الترابطية بشكل بارز في تعريف الطلبات الكلية : فالترتيب الكلي (أو الخطي) هو ترتيب جزئي يكون فيه أي عنصرين قابلين للمقارنة؛ أي أن علاقة الترتيب متصلة. وعلى نحو مماثل، فإن الترتيب الجزئي الصارم المتصل هو ترتيب كلي صارم. وتكون العلاقة ترتيبًا كليًا إذا وفقط إذا كانت ترتيبًا جزئيًا ومتصلًا بقوة. وتكون العلاقة ترتيبًا كليًا صارمًا إذا وفقط إذا كانت ترتيبًا جزئيًا صارمًا ومتصلًا فقط. ولا يمكن أبدًا أن يكون الترتيب الكلي الصارم متصلاً بقوة (إلا في مجال فارغ).

العلاقة على مجموعة تسمى${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$متصل عندما يكون للجميع أو، على نحو مكافئ، عندما يكون للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle {\text{ إذا }}x\neq y{\text{ ثم }}x\mathrel {R} y\quad {\text{أو}}\quad y\mathrel {R} x,}$$${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{أو}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{أو}}\quad x=y.}$$

علاقة مع الخاصية التي تسمى للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{أو}}\quad y\mathrel {R} x}$$متصل بقوة .^[1][2][3]

الاستخدام الرئيسي لمفهوم العلاقة المتصلة هو في سياق الأوامر، حيث يتم استخدامه لتحديد الأوامر الكلية أو الخطية. في هذا السياق، غالبًا ما لا يتم تسمية الخاصية على وجه التحديد. بدلاً من ذلك، يتم تعريف الأوامر الكلية على أنها أوامر جزئية حيث يكون أي عنصرين قابلين للمقارنة. ^{[4] [5]} وبالتالي،يُستخدم الإجمالي بشكل أكثر عمومية للعلاقات المتصلة أو المرتبطة بقوة.^[6]ومع ذلك، يجب التمييز بين مفهوم "العلاقة الكلية" وخاصية كونهامتسلسلة، والتي تسمى أيضًا الكلية. وبالمثل، تسمى العلاقات المتصلة أحيانًامكتملة ،^[7]على الرغم من أن هذا أيضًا يمكن أن يؤدي إلى ارتباك:تسمىالعلاقة العالمية^[8]و"مكتملة" لها عدة معاني أخرى فينظرية الترتيب. تسمى العلاقات المتصلة أيضًا^[9][10]أو يقال أنه يلبي التقسيم الثلاثي^[11](على الرغم من أن التعريف الأكثر شيوعًاللتقسيم الثلاثيأقوى في أنهالخيارات الثلاثةبالضبط). ${\displaystyle x\mathrel {R} y,y\mathrel {R} x,x=y}$

عندما لا تكون العلاقات التي يتم النظر فيها عبارة عن ترتيبات، فإن كونها متصلة وكونها متصلة بقوة هي خصائص مختلفة بشكل مهم. المصادر التي تحدد كليهما تستخدم أزواجًا من المصطلحات مثلمتصل ضعيفًا ومتصل،^[12] كاملومكتملبقوة،^[13] كليوكامل،^[6] شبه موصل ومتصل ،^[14]أومتصل ومتصل بشكل صارم ،^[15]على التوالي، كأسماء بديلة لمفاهيم متصلة ومتصلة بقوة كما هو محدد أعلاه.

ليكن علاقة متجانسة . الآتي متكافئ: ^[14]${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R}$متصل بقوة؛
• ${\displaystyle U\subseteq R\cup R^{\top }}$؛
• ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }}$؛
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$غير متماثل​

أين هي العلاقة العالمية و هي العلاقة العكسية لـ${\displaystyle U}$${\displaystyle R^{\top }}$${\displaystyle R.}$

وفيما يلي ما يعادل: ^[14]

• ${\displaystyle R}$متصل؛
• ${\displaystyle {\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }}$؛
• ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I}$؛
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$غير متماثل​

أين هي العلاقة التكميلية لعلاقة الهوية و هي العلاقة العكسية لـ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R^{\top }}$${\displaystyle R.}$

عند تقديم التقدم، استشهد راسل بمبدأ الاتصال:

كلما تم إعطاء سلسلة في الأصل من خلال علاقة غير متماثلة متعدية، يمكننا التعبير عن الارتباط من خلال الشرط الذي ينص على أن أي حدين من سلسلتنا يجب أن يكون لهما العلاقة المولدة .

—  برتراند راسل ، مبادئ الرياضيات ، صفحة 239

• العلاقة الحافة [ ^{ملاحظة 1]} لمخطط البطولة هي دائمًا علاقة متصلة بمجموعة رؤوس ' s .${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
• إذا كانت العلاقة المرتبطة بقوة متماثلة ، فهي علاقة عالمية .
• تكون العلاقة متصلة بقوة إذا، وفقط إذا، كانت متصلة وانعكاسية. ^{[الدليل 1]}
• لا يمكن أن تكون العلاقة المتصلة في مجموعة ما غير متعدية ، بشرط أن تحتوي على 4 عناصر على الأقل. ^[16] على مجموعة مكونة من 3 عناصر على سبيل المثال، تحتوي العلاقة على كلتا الخاصيتين.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{a,b,c\},}$${\displaystyle \{(a,b),(b,c),(c,a)\}}$
• إذا كانت علاقة متصلة على فإن جميع عناصر أو جميعها باستثناء عنصر واحد تكون في نطاق [ ^{الدليل 2]} وعلى نحو مماثل فإن جميع عناصر أو جميعها باستثناء عنصر واحد تكون في نطاق${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$

الأدلة