تضمين الطلب

في نظرية الترتيب ، وهي فرع من الرياضيات ، يُعدّ تضمين الترتيب نوعًا خاصًا من الدوال الرتيبة ، يُتيح إمكانية تضمين مجموعة مرتبة جزئيًا في مجموعة أخرى. ومثل روابط غالوا ، يُشكّل تضمين الترتيب مفهومًا أضعف من مفهوم تماثل الترتيب . ويمكن فهم كلا هذين الضعفين في سياق نظرية الفئات .

بصورة رسمية، بالنظر إلى مجموعتين مرتبتين جزئياً (مجموعات جزئية الترتيب).${\displaystyle (S,\leq )}$و${\displaystyle (T,\preceq )}$، دالة${\displaystyle f:S\to T}$هو تضمين ترتيب إذا${\displaystyle f}$يحافظ على الترتيب ويعكسه في آن واحد ، أي بالنسبة للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle S}$، لدى المرء

${\displaystyle x\leq y{\text{ إذا وفقط إذا }}f(x)\preceq f(y).}$^{[ 1 ]}

هذه الدالة بالضرورة أحادية ، لأن${\displaystyle f(x)=f(y)}$يشير إلى${\displaystyle x\leq y}$و${\displaystyle y\leq x}$^{[ 1 ]} إذا كان هناك تمثيل ترتيبي موجود من مجموعة جزئية مرتبة${\displaystyle S}$إلى مجموعة مرتبة${\displaystyle T}$يقول أحدهم أن${\displaystyle S}$يمكن تضمينها في${\displaystyle T}$.

يمكن وصف التشاكل الترتيبي بأنه تضمين ترتيبي شامل . ونتيجةً لذلك، فإن أي تضمين ترتيبي f يقتصر على تشاكل بين نطاقه S وصورته f ( S )، مما يبرر مصطلح "التضمين". ^{[ 1 ]} من ناحية أخرى، قد يكون من الممكن تضمين مجموعتين جزئيتين (لا نهائيتين بالضرورة) ترتيبيًا في بعضهما البعض دون أن تكونا متماثلتين ترتيبيًا.

ويمكن تقديم مثال على ذلك من خلال الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,1)}$الأعداد الحقيقية والفترة المغلقة المقابلة لها${\displaystyle [0,1]}$الوظيفة${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$يربط الأول بالمجموعة الفرعية${\displaystyle (0.03,0.97)}$من الأخير والأخير إلى المجموعة الفرعية${\displaystyle [0.03,0.97]}$انظر الصورة للاطلاع على المجموعة الأولى. ترتيب المجموعتين بالطريقة الطبيعية،${\displaystyle f}$إنها تحافظ على الترتيب وتعكسه (لأنها دالة خطية ). ومع ذلك، لا يمكن أن يوجد تماثل بين المجموعتين الجزئيتين المرتبتين، لأن على سبيل المثال${\displaystyle [0,1]}$يحتوي على عنصر أصغر بينما${\displaystyle (0,1)}$لا. للاطلاع على مثال مشابه باستخدام دالة الظل العكسي (arctan) لترتيب الأعداد الحقيقية في فترة زمنية، ودالة التطابق للاتجاه المعاكس، انظر على سبيل المثال جست وويز (1996). ^{[ 2 ]}

الانكماش هو زوج${\displaystyle (f,g)}$من الخرائط التي تحافظ على الترتيب والتي يتكون منها${\displaystyle g\circ f}$هي الهوية. في هذه الحالة،${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم الانكماش المشترك، ويجب أن يكون تضمينًا ترتيبيًا. ^{[ 3 ]} ومع ذلك، ليس كل تضمين ترتيبي انكماشًا مشتركًا. كمثال بسيط، التضمين الترتيبي الفريد${\displaystyle f:\emptyset \to \{1\}}$لا يوجد تراجع من مجموعة جزئية مرتبة فارغة إلى مجموعة جزئية مرتبة غير فارغة، لأنه لا توجد خريطة تحافظ على الترتيب.${\displaystyle g:\{1\}\to \emptyset }$. ولتوضيح ذلك بشكل أكبر، انظر إلى المجموعة${\displaystyle S}$مجموعة من قواسم العدد 6، مرتبة جزئيًا حسب قاسم x للعدد y ، انظر الصورة. ضع في اعتبارك المجموعة الجزئية المرتبة جزئيًا المضمنة${\displaystyle \{1,2,3\}}$. تراجع عن التضمين${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$سيحتاج إلى إرسال${\displaystyle 6}$إلى مكان ما في${\displaystyle \{1,2,3\}}$فوق كليهما${\displaystyle 2}$و${\displaystyle 3}$لكن لا يوجد مكان كهذا.

يمكن النظر إلى مجموعات الترتيب الجزئي (Posets) بسهولة من زوايا نظر متعددة، وتُعدّ تضمينات الترتيب بسيطة بما يكفي بحيث يسهل رؤيتها من أي مكان. على سبيل المثال:

• ( من الناحية النظرية ) المجموعة المرتبة جزئياً هي مجموعة مزودة بعلاقة ثنائية (انعكاسية، ومتناظرة عكسياً ، ومتعدية) . التضمين الترتيبي A → B هو تماثل من A إلى بنية فرعية أولية من B.
• ( من الناحية النظرية للرسوم البيانية ) المجموعة المرتبة جزئياً هي رسم بياني (متعدي، غير دوري ، موجه، انعكاسي) . التضمين الترتيبي A → B هو تماثل بياني من A إلى رسم بياني فرعي مستحث من B.
• ( من الناحية النظرية للفئات ) المجموعة المرتبة جزئياً هي فئة (صغيرة، رقيقة، وهيكلية) بحيث تحتوي كل مجموعة متجانسة على عنصر واحد على الأكثر. التضمين الترتيبي A → B هو دالة كاملة وأمينة من A إلى B وهي أحادية على الكائنات، أو بشكل مكافئ ، تماثل من A إلى فئة فرعية كاملة من B.

• نظرية دوشنيك-ميلر
• نظرية لافر