الجبر الحر

في الرياضيات ، وخاصة في مجال الجبر المجرد المعروف بنظرية الحلقات ، يُعد الجبر الحر نظيرًا غير تبادلي لحلقة كثيرات الحدود ، إذ يمكن وصف عناصره بأنها "كثيرات حدود" ذات متغيرات غير تبادلية. وبالمثل، يمكن اعتبار حلقة كثيرات الحدود جبرًا حرًا تبادليًا .

بالنسبة لحلقة R التبديلية ، _فإن الجبر الحر ( التجميعي ، الأحادي ) على n من المتغيرات { X1 , ..., _Xn } _هو وحدة R الحرة ذات أساس يتكون من جميع الكلمات على الأبجدية { X1 , ..., Xn _} (بما في ذلك الكلمة الفارغة، وهي وحدة الجبر الحر). تصبح وحدة R هذه جبر R بتعريف عملية ضرب كما يلي: حاصل ضرب عنصرين من الأساس هو تسلسل الكلمات المتناظرة.

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

وبالتالي، يكون حاصل ضرب عنصرين عشوائيين من عناصر الوحدة النمطية R محددًا بشكل فريد (لأن الضرب في جبر R يجب أن يكون ثنائي الخطية R ). يُرمز إلى هذا الجبر R بالرمز R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩. ويمكن تعميم هذا البناء بسهولة على أي مجموعة X من المتغيرات غير المحددة.

باختصار، لمجموعة عشوائية${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$الجبر الحر ( التجميعي ، الأحادي ) R على X هو​

${\displaystyle R\langle X\rangle$ :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}

باستخدام الضرب الثنائي الخطي R الذي هو عبارة عن تسلسل على الكلمات، حيث يشير X * إلى الزمرة الحرة على X (أي الكلمات على الأحرف X _i )،${\displaystyle \oplus }$يشير إلى المجموع المباشر الخارجي ، و Rw يشير إلى وحدة R الحرة على عنصر واحد، الكلمة w .

على سبيل المثال، في R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩، بالنسبة للكميات العددية α, β, γ, δ ∈ R ، فإن المثال الملموس لحاصل ضرب عنصرين هو

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

يمكن تعريف حلقة كثيرات الحدود غير التبادلية بحلقة المونويد على R للمونويد الحر لجميع الكلمات المنتهية في X _i .

بما أن الكلمات المكونة للأبجدية { X ₁ , ..., X _n } تشكل أساسًا لـ R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩، فمن الواضح أنه يمكن كتابة أي عنصر من R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ بشكل فريد على النحو التالي:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

أين${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$هي عناصر من R ، وجميع هذه العناصر تقريبًا تساوي صفرًا. وهذا يفسر سبب تسمية عناصر R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ غالبًا بـ "كثيرات الحدود غير التبادلية" في "المتغيرات" (أو "المجهولات") X ₁ ,..., X _n ؛${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$تُسمى هذه المتغيرات "معاملات" لكثيرات الحدود هذه، ويُطلق على الجبر R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ اسم "جبر كثيرات الحدود غير التبادلي على R في n متغير". لاحظ أنه على عكس حلقة كثيرات الحدود الفعلية، فإن المتغيرات لا تتبادل . على سبيل المثال، X ₁ X ₂ لا يساوي X ₂ X ₁ .

بشكل أعم، يمكن بناء الجبر الحر R ⟨ E ⟩ على أي مجموعة E من المولدات . وبما أن الحلقات يمكن اعتبارها جبر Z ، فيمكن تعريف الحلقة الحرة على E على أنها الجبر الحر Z ⟨ E ⟩.

في حقل ما ، يمكن بناء الجبر الحر على n من المتغيرات غير المحددة كجبر موتر على فضاء متجهي ذي n بُعد . بالنسبة لحلقة معاملات أكثر عمومية، ينجح البناء نفسه إذا أخذنا الوحدة النمطية الحرة على n من المولدات .

إن بناء الجبر الحر على E هو بناء دالي بطبيعته ويحقق خاصية شاملة مناسبة . إن دالة الجبر الحر هي دالة مرافقة يسارية للدالة المنسية من فئة جبر R إلى فئة المجموعات .

الجبر الحر فوق حلقات القسمة هو حلقات مثالية حرة .

• الجبر المشترك الحر
• جبر الموترات
• كائن حر
• حلقة غير تبديلية
• سلسلة عقلانية
• جبر المصطلحات

• بيرستل، جان؛ رويتناور، كريستوف (2011). المتسلسلات الكسرية غير التبادلية مع تطبيقاتها . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  137. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 . 
• AA Bovdi (2001) [1994]، "الجبر الترابطي الحر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، مؤرشفة من الأصل في 15 نوفمبر 2025