خاتم مثالي مجاني

في الرياضيات ، وخاصةً في مجال نظرية الحلقات ، تُعرف الحلقة المثالية الحرة (اليمنى) ، أو fir ، بأنها حلقة تكون فيها جميع المثاليات اليمنى وحدات حرة ذات رتبة فريدة . تُسمى الحلقة التي تكون فيها جميع المثاليات اليمنى ذات مولدات لا تتجاوز n حرة ولها رتبة فريدة بـ n-fir . أما الحلقة شبه المثالية الحرة (semifir) فهي حلقة تكون فيها جميع المثاليات اليمنى ذات المولدات المحدودة وحدات حرة ذات رتبة فريدة. (وبالتالي، تكون الحلقة شبه مثالية حرة إذا كانت n- fir ​​لجميع قيم n ≥ 0). خاصية شبه المثالية الحرة متناظرة من اليسار إلى اليمين، بينما خاصية المثالية الحرة الحرة (fir) ليست كذلك.

اتضح أن الحلقة اليسرى واليمنى تُشكلان نطاقًا . علاوة على ذلك، فإن الحلقة التبادلية هي تحديدًا نطاق مثالي رئيسي ، بينما الحلقة شبه التبادلية هي تحديدًا نطاق بيزو . مع ذلك، لا تنطبق هذه الحقائق الأخيرة عمومًا على الحلقات غير التبادلية ( كوهن، 1971 ) .

كل مجال مثالي رئيسي يميني R هو مجال مثالي يميني يميني، لأن كل مثالي رئيسي يميني غير صفري في مجال ما متماثل مع R. وبالمثل، فإن مجال بيزو يميني هو مجال مثالي شبه يميني.

بما أن جميع المُثُل اليمنى في حلقةٍ يمنى حرة، فهي إسقاطية. لذا، فإن أي حلقة يمنى هي حلقة وراثية يمنى ، وكذلك الحلقة شبه الوراثية اليمنى هي حلقة شبه وراثية يمنى . ولأن الوحدات الإسقاطية على الحلقات المحلية حرة، ولأن الحلقات المحلية لها عدد أساس ثابت ، فإنه يترتب على ذلك أن الحلقة الوراثية اليمنى المحلية هي حلقة يمنى، وأن الحلقة شبه الوراثية اليمنى المحلية هي حلقة شبه وراثية يمنى.

على عكس المجال المثالي الأيمن الرئيسي، فإن المجال الأيمن ليس بالضرورة مجالًا نوثريًا أيمنًا ، ولكن في الحالة التبادلية، فإن R هو مجال ديديكيند لأنه مجال وراثي، وبالتالي فهو بالضرورة مجال نوثري.

ومن الأمثلة المهمة والمحفزة الأخرى لحلقة مثالية حرة هي الجبر k- التجميعي الحر (الوحدوي) لحلقات القسمة k ، والتي تسمى أيضًا حلقات متعددة الحدود غير التبادلية ( Cohn 2000 ، §5.4) .

تمتلك أشباه الأشجار عدد أساس ثابت ، وكل شبه شجرة هي مجال سيلفستر .

• كوهن، ب.م. (1971)، "حلقات المثالي الحر والضرب الحر للحلقات" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيين (نيس، 1970) ، المجلد  1، غوتييه-فيلار، الصفحات 273-278 ، MR 0506389 ، مؤرشف من الأصل في 25-11-2017 ، تم استرجاعه في 26-11-2010  
• كوهن، ب.م. (2006)، حلقات المثالي الحر والتوطين في الحلقات العامة ، سلسلة دراسات رياضية جديدة، المجلد  3، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-85337-8MR 2246388​ 
• كوهن، ب.م. (1985)، الحلقات الحرة وعلاقاتها ، سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  19 (  الطبعة الثانية)، بوسطن، ماساتشوستس: دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 978-0-12-179152-0MR 0800091​ 
• كوهن، بي إم (2000)، مقدمة في نظرية الحلقات ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-1-85233-206-8MR 1732101​ 
• "حلقة مثالية حرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]

• كوهن، ب.م. (1995)، الحقول المائلة. نظرية حلقات القسمة العامة ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  57، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-43217-0، Zbl 0840.16001