فئتان

بحسب التعريف، تتكون الفئة C الصارمة المكونة من فئتين من البيانات التالية: ^{[ 3 ]} 

• فئة من الخلايا الصفرية ،
• لكل زوج من الخلايا الصفرية${\displaystyle a,b}$مجموعة${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$تُسمى مجموعة الخلايا المكونة من 1-${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$،
• لكل زوج من الخلايا المكونة من خلية واحدة${\displaystyle f,g}$في نفس المجموعة المتجانسة، مجموعة${\displaystyle \operatorname {2Mor} (f,g)}$تُسمى مجموعة الخلايا المكونة من خليتين من${\displaystyle f}$ل${\displaystyle g}$،
• التراكيب العادية : الخرائط${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Hom} (b,c)\times \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)} ,
• التكوينات الرأسية : الخرائط${\displaystyle \circ$ :\operatorname {2Mor} (g,h)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (f,h)} , حيث${\displaystyle f,g,h}$يقعون في نفس المجموعة المنزلية،
• التكوينات الأفقية : الخرائط${\displaystyle *:\operatorname {2Mor} (u,v)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (u\circ f,v\circ g)}$ل${\displaystyle f,g:a\to b}$و${\displaystyle u,v:b\to c}$

والتي تخضع للشروط التالية

• تشكل الخلايا ذات القيمة 0 والتي تفصل بينها خلايا ذات القيمة 1 فئةً في التركيب العادي.
• لكل خلية صفرية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، الخلايا من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$تشكل الخلايا المكونة من خليتين بينهما فئة ضمن التركيب الرأسي،
• تشكل الخلايا الصفرية التي تفصل بينها خلايا ثنائية، وخلايا أحادية بينها، فئةً في التركيب الأفقي؛ أي أن الكائن هو خلية صفرية ومجموعة التماثل من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$هي مجموعة جميع الخلايا المكونة من 2 خلايا من الشكل${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$بالنسبة للبعض${\displaystyle f,g:a\to b}$،
• قانون التبادل :${\displaystyle (\delta *\beta )\circ (\gamma *\alpha )}$عندما يتم تعريفها، تكون هي نفسها${\displaystyle (\delta \circ \gamma )*(\beta \circ \alpha )}$.

في بعض المصادر ^{[ 4 ]} (انظر أيضًا نظرية الفئات العليا )، استُبدلت مصطلحات الخلايا الصفرية والخلايا الأحادية والخلايا الثنائية بمصطلحات التشاكلات الصفرية والتشاكلات الأحادية والتشاكلات الثنائية . كما تُكتب التراكيب الرأسية والتراكيب الأفقية على النحو التالي:${\displaystyle \circ _{1},\circ _{0}}$.

يمكن تمثيل قانون التبادل كرسم تخطيطي للصق كما يلي:

	=		=		${\displaystyle \circ _{0}}$
${\displaystyle \circ _{1}}$

يُشير الرسم البياني الأيسر هنا إلى التركيب الرأسي للمركبات الأفقية، بينما يُشير الرسم البياني الأيمن إلى التركيب الأفقي للمركبات الرأسية، أما الرسم البياني في المنتصف فهو التمثيل المعتاد لكليهما. تُرسَم الخلايا الثنائية بأسهم مزدوجة ⇒، والخلية الأحادية بأسهم مفردة →، والخلية الصفرية بنقاط.

بما أن التعريف، كما هو واضح، ليس مختصراً، فمن الشائع عملياً استخدام تعميم لنظرية الفئات، مثل نظرية الفئات العليا (انظر أدناه) أو نظرية الفئات المُثرية، لتعريف فئة ثنائية صارمة. يختلف مفهوم الفئة الثنائية الصارمة عن المفهوم الأكثر عمومية للفئة الثنائية الضعيفة المُعرّف أدناه، في أن تركيب الخلايا الأحادية (التركيب الأفقي) يشترط أن يكون ترابطياً صارماً، بينما في النسخة الضعيفة، يكفي أن يكون ترابطياً حتى تماثل ثنائي متماسك .

بالنظر إلى فئة أحادية V ، فإن الفئة C المُثرية على V هي نسخة مجردة من الفئة؛ أي أنها تتكون من البيانات

• فئة من الكائنات ،
• لكل زوج من الأشياء${\displaystyle a,b}$، كائن متماثل${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$في${\displaystyle V}$،
• التركيبات : التشكلات${\displaystyle \operatorname {Hom} (b,c)\otimes \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)}$في${\displaystyle V}$،
• الهويات : التشكلات${\displaystyle 1\to \operatorname {Hom} (a,a)}$في${\displaystyle V}$

التي تخضع لبديهيات التجميع والوحدة. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle V={\textbf {Set}}}$هي فئة المجموعات التي تحتوي على${\displaystyle \otimes }$المنتج الديكارتي، ثم الفئة التي تم إثراؤها عليه هي فئة عادية.

لو${\displaystyle V={\textbf {قطة}}}$، فئة الفئات الصغيرة مع${\displaystyle \otimes }$إذا كان ناتج الفئات ، فإن الفئة المُثرية به هي بالضبط فئة ثنائية صارمة. في الواقع،${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$يمتلك بنية فئة؛ لذا فهو يُنتج تركيبات ثنائية الخلايا وتركيبات رأسية. كما أن كل تركيب هو دالة؛ على وجه الخصوص، يُرسل تركيبات ثنائية الخلايا إلى تركيبات ثنائية الخلايا، مما يُنتج تركيبات أفقية. قانون التبادل هو نتيجة لخاصية الدوال في هذه التركيبات.

تؤدي عملية مماثلة للفئات الثلاثية إلى فئات ثلاثية ، وبشكل أكثر عمومية إلى فئات ضعيفة من النوع n للفئات من النوع n ، على الرغم من أن هذا النهج الاستقرائي ليس شائعًا بالضرورة اليوم.

يمكن تعريف الفئة الثنائية الضعيفة أو الفئة الثنائية بنفس طريقة تعريف الفئة الثنائية الصارمة، باستثناء اشتراط أن يكون التركيب الأفقي ترابطيًا حتى تماثل متماسك . ويشابه شرط التماسك هنا الشروط المطلوبة للفئات المونيدية ؛ فعلى سبيل المثال، الفئة المونيدية هي نفسها الفئة الثنائية الضعيفة ذات الخلية الصفرية الواحدة. ^{[ 5 ]}

في نظرية الفئات العليا، إذا كانت C فئةً لانهائيةً ( مركب كان ضعيفًا ) يتحدد تركيبها فقط بواسطة مُركّبات 0-simplexes و1-simplexes و2-simplexes، فإنها تُعدّ فئةً ضعيفةً من نوع (2, 1)؛ أي فئةً ضعيفةً من نوع 2 يكون فيها كل تشاكل 2 قابلًا للعكس. لذا، فإن الفئة الضعيفة من نوع 2 هي فئة (∞, 2) يتحدد تركيبها فقط بواسطة مُركّبات 0 و1 و2-simplexes.

الفئة الثنائية النموذجية هي فئة الفئات الصغيرة ، حيث تعمل التحويلات الطبيعية كتشاكلات ثنائية. ^{[ 6 ]} جميع الكائنات ( الخلايا الصفرية ) هي فئات صغيرة، وبالنسبة للكائنين أ و ب، فإن مجموعة التماثل${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$يكتسب بنية فئة كفئة دالة . التركيب الرأسي هو ^{[ 7 ]} تركيب التحويلات الطبيعية.

وبالمثل، إذا كانت لدينا فئة أحادية V ، فإن فئة الفئات (الصغيرة) المُثرية على V هي فئة ثنائية. كذلك، إذا${\displaystyle A}$إذا كانت فئة، فإن الفاصلة هي فئة${\displaystyle \mathbf {Cat} \downarrow A}$هي فئة ثنائية ذات تحولات طبيعية تتوافق مع الهوية. ^{[ 6 ]}

على غرار فئة Cat ، تُشكّل الزمر الجزئية (الفئات التي تكون فيها التشكلات قابلة للعكس) فئة ثنائية، حيث يكون التشكل الثنائي تحويلاً طبيعياً. غالباً ما يُنظر أيضاً إلى Grpd حيث تكون جميع التشكلات الثنائية تحويلات قابلة للعكس. في هذه الحالة الأخيرة، تُصبح فئة (2، 1).

تُعتبر فئة Ord للمجموعات المرتبة مسبقًا فئة ثنائية، حيث أن كل مجموعة متماثلة لها بنية مرتبة مسبقًا طبيعية؛ وبالتالي، فإن بنية الفئة هي${\displaystyle f\leq g\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)}$لكل عنصر x .

وبشكل أعم، فإن فئة الأشياء المرتبة في فئة ما هي فئة ثنائية. ^{[ 6 ]}

لنفترض فئة أحادية بسيطة ، مثل فئة الترتيب الجزئي الأحادي Bool ^{[ 8 ]} القائمة على الأحادية M = ({T, F}, ∧ , T). تُعرَّف هذه الفئة بكائنين {T, F} ومورفيزم واحد g : F → T.

يمكننا إعادة تفسير هذا المونويد كفئة ثنائية ذات عنصر واحد x (خلية صفرية واحدة)؛ هذا البناء مماثل لبناء فئة صغيرة من مونويد. يصبح العنصران {T, F} تشاكلين، ويصبح التشاكل g تحويلاً طبيعياً (يشكل فئة دالة للفئة المتجانسة الوحيدة B ( x , x )).

• كل فئة ثنائية "مكافئة ثنائياً" ^{[ 9 ]} لفئة ثنائية. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} وهذا مثال على التقييد (عملية استبدال التشاكلات المتماسكة بالمساواة).