التقسيم المركزي

يترك${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ليكن مركباً هندسياً بسيطاً. مركب${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ويُقال إنها قسم فرعي من${\displaystyle {\mathcal {S}}}$لو

• كل سيمبلكس من${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$يحتوي على عنصر بسيط من${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• كل سيمبلكس من${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هو اتحاد محدود من أشكال بسيطة من${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

تشير هذه الشروط إلى أن${\displaystyle {\mathcal {S}}}$و${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$متساوية كمجموعات وكفضاءات طوبولوجية، يتغير فقط التركيب التبسيطي. ^{[ 1 ]}

لشبكة أحادية الاتجاه${\displaystyle \Delta }$تمتد بواسطة نقاط${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$يُعرَّف مركز الثقل بأنه النقطة${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$لتعريف التقسيم الفرعي، سنعتبر المعقد البسيط مُركبًا بسيطًا يحتوي على معقد بسيط واحد فقط ذي بُعد أقصى، وهو المعقد البسيط نفسه. ويمكن تعريف التقسيم الفرعي المركزي للمعقد البسيط استقرائيًا من خلال بُعده.

بالنسبة للنقاط، أي المجسمات البسيطة ذات البعد 0، يتم تعريف التقسيم المركزي على أنه النقطة نفسها.

لنفترض إذن بالنسبة إلى سيمبلكس${\displaystyle \Delta }$من الأبعاد${\displaystyle n}$أن وجوهها ${\displaystyle \Delta _{i}}$من الأبعاد${\displaystyle n-1}$هي مقسمة بالفعل. لذلك، توجد أشكال بسيطة.${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$تغطية${\displaystyle \Delta _{i}}$يُعرَّف التقسيم المركزي بأنه المجمع الهندسي البسيط الذي تكون أبعاده القصوى من العناصر البسيطة ذات أبعاد${\displaystyle n}$كل منها عبارة عن غلاف محدب لـ${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$لزوج واحد${\displaystyle i,j}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$لذلك سيكون هناك${\displaystyle (n+1)!}$التبسيطات تغطي${\displaystyle \Delta }$.

يمكن تعميم التقسيم الفرعي للمجمعات التبسيطية التي لا تقع جميع تبسيطاتها ضمن تبسيط واحد ذي بُعد أقصى، أي المجمعات التبسيطية التي لا تتطابق هندسيًا مع تبسيط واحد. ويمكن تحقيق ذلك بتنفيذ الخطوات المذكورة أعلاه في آنٍ واحد لكل تبسيط ذي بُعد أقصى. وسيعتمد الاستقراء حينها على${\displaystyle n}$الهيكل العظمي رقم - للمركب التبسيطي. يسمح بإجراء التقسيم الفرعي أكثر من مرة. ^{[ 2 ]}

يمكن تطبيق عملية التقسيم الباريسنتري على أي متعدد سطوح محدب من أي بُعد، مما ينتج عنه متعدد سطوح محدب آخر من نفس البُعد. ^{[ 3 ]} في هذا النوع من التقسيم الباريسنتري، ليس من الضروري أن يُشكّل متعدد السطوح مُركّبًا تبسيطيًا: إذ يُمكن أن يحتوي على أوجه ليست تبسيطية. هذه هي العملية المُقابلة لعملية القطع الشامل . ^{[ 4 ]} تتوافق رؤوس التقسيم الباريسنتري مع أوجه جميع أبعاد متعدد السطوح الأصلي. يكون رأسان متجاورين في التقسيم الباريسنتري عندما يتوافقان مع وجهين من أبعاد مختلفة، حيث يكون الوجه ذو البُعد الأقل مُضمنًا في الوجه ذي البُعد الأعلى. أما أوجه التقسيم الباريسنتري فهي تبسيطية، وتُقابل أعلام متعدد السطوح الأصلي.

على سبيل المثال، التقسيم المركزي للمكعب ، أو لثماني السطوح المنتظم ، هو المجسم ذو الاثني عشر وجهاً ثنائي الزاوية . ^{[ 5 ]} تتوافق رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهاً ثنائي الزاوية من الدرجة 6، والدرجة 4، والدرجة 8 مع رؤوس المكعب، وحوافه، وأوجهه المربعة، على التوالي.

يترك ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$مبسط وتعريف${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|ab\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$إحدى طرق قياس شبكة مُركّب هندسي بسيط هي أخذ القطر الأقصى للمُجسمات البسيطة الموجودة في المُركّب.${\displaystyle \Delta '}$كن${\displaystyle n}$- مجسم بسيط ذو أبعاد ناتج عن تغطية${\displaystyle \Delta }$تم الحصول عليها عن طريق التقسيم المركزي. عندئذٍ، يكون التقدير التالي صحيحًا:

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$لذلك، من خلال تطبيق التقسيم المركزي بشكل متكرر بما فيه الكفاية، يمكن جعل أكبر ضلع صغيرًا بالقدر المطلوب. ^{[ 6 ]}

في بعض عبارات نظرية التماثل، يُراد استبدال المركبات التبسيطية بتقسيم فرعي. على مستوى مجموعات التماثل التبسيطية ، يلزم وجود خريطة من مجموعة التماثل للمركب التبسيطي الأصلي إلى مجموعات المركب المُقسّم. في الواقع، يمكن إثبات أنه لأي تقسيم فرعي${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$من مجمع تبسيطي محدود${\displaystyle {\mathcal {K}}}$توجد سلسلة فريدة من الخرائط بين مجموعات التماثل ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$بحيث يكون لكل${\displaystyle \Delta }$في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$تُحقق الخرائط${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$وبذلك، تُحفز الخرائط تشاكلات داخلية للمجمعات السلسلية. علاوة على ذلك، فإن الخريطة المُحفزة هي تشاكل: فالتقسيم لا يُغير من تماثلية المجمع. ^{[ 1 ]}

لحساب مجموعات التماثل المفردة لفضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يتم النظر في الدوال المتصلة${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{n}\rightarrow X} حيث${\displaystyle \Delta ^{n}}$يشير إلى${\displaystyle n}$-dimensional-standard-simplex. بطريقة مماثلة لما وُصف لمجموعات التماثل التبسيطية، يمكن تفسير التقسيم المركزي على أنه تشاكل داخلي لمجمعات السلاسل المفردة. وهنا أيضًا، يوجد عامل تقسيم.${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$إرسال سلسلة${\displaystyle \sigma$ :\Delta \rightarrow X} إلى توليفة خطية${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$حيث يشمل المجموع جميع الأشكال البسيطة${\displaystyle B_{\Delta }}$التي تظهر في غلاف${\displaystyle \Delta }$عن طريق التقسيم المركزي، و${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$لكل ذلك${\displaystyle B_{\Delta }}$. كما أن هذه الخريطة تُحدث تشاكلاً داخلياً في مجمعات السلاسل. ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle {\mathcal {K}}}$،${\displaystyle {\mathcal {L}}}$لتكن مجمعات تبسيطية مجردة فوق المجموعات${\displaystyle V_{K}}$،${\displaystyle V_{L}}$. الدالة التبسيطية هي دالة${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$والتي تحدد كل مُجَسَّم بسيط في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$على سطح بسيط في${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. عن طريق التمديد الخطي التآلفي على العناصر البسيطة،${\displaystyle f}$يُنشئ هذا تطبيقًا بين التمثيلات الهندسية للمجمعات. تقع كل نقطة في مجمع هندسي داخل مُجسم بسيط واحد فقط، وهو حامله. لنفترض الآن تطبيقًا متصلًا${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$خريطة تبسيطية${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ويُقال إنها تقريب تبسيطي لـ${\displaystyle f}$إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$يتم رسم الخريطة بواسطة${\displaystyle g}$على دعم${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle {\mathcal {L}}}$إذا وُجد مثل هذا التقريب، فيمكن للمرء أن يُنشئ تماثلًا.${\displaystyle H}$تحويلي${\displaystyle f}$داخل${\displaystyle g}$من خلال تعريفها على كل عنصر بسيط؛ هناك، توجد دائمًا، لأن العناصر البسيطة قابلة للانكماش.

تضمن نظرية التقريب التبسيطي لكل دالة متصلة${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$وجود تقريب تبسيطي على الأقل بعد تحسين${\displaystyle {\mathcal {K}}}$على سبيل المثال عن طريق الاستبدال${\displaystyle {\mathcal {K}}}$من خلال تقسيمها المتكرر إلى أجزاء مركزية. ^{[ 8 ]} تلعب هذه النظرية دورًا مهمًا في بعض العبارات في الطوبولوجيا الجبرية من أجل تقليل سلوك الخرائط المستمرة على الخرائط التبسيطية، كما هو الحال في نظرية النقطة الثابتة لليفشيتز.

تُستخدم متتالية ماير-فيتوريس غالبًا لحساب مجموعات التماثل المفردة، وتُستخدم أيضًا في الاستدلال الاستقرائي في علم الطوبولوجيا. ويمكن صياغة العبارة ذات الصلة على النحو التالي:

يترك${\displaystyle X=A\cup B}$غطاء مفتوح للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$.

هناك تسلسل دقيق

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

حيث نأخذ بعين الاعتبار مجموعات التماثل المفردة،${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$ هي عمليات تضمين و${\displaystyle \oplus }$يرمز إلى المجموع المباشر للمجموعات الأبيلية.

لبناء مجموعات التماثل المفردة، يتم النظر في التطبيقات المتصلة المعرفة على المجسم البسيط القياسي.${\displaystyle \sigma$ :\Delta \rightarrow X} . تُعدّ التطبيقات عائقًا في إثبات النظرية${\displaystyle \sigma }$بحيث لا تكون صورتهم موجودة في${\displaystyle A}$ولا في${\displaystyle B}$يمكن إصلاح ذلك باستخدام عامل التقسيم الفرعي: من خلال اعتبار صور هذه الخرائط كمجموع صور لأشكال بسيطة أصغر، تقع في${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$يمكن للمرء أن يثبت أن الإدراج${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$يُحدث تماثلاً على التماثل، وهو أمر ضروري لمقارنة مجموعات التماثل. ^{[ 10 ]}

يمكن استخدام الاستئصال لتحديد مجموعات التماثل النسبية . فهو يسمح في بعض الحالات بتجاهل المجموعات الفرعية للفضاءات الطوبولوجية لمجموعات التماثل الخاصة بها، وبالتالي يبسط حسابها.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا وليكن${\displaystyle Z\subset A\subset X}$لتكن مجموعات جزئية، حيث${\displaystyle Z}$مغلق بحيث${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$ثم الإدراج${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$يُحدث تماثلاً${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$للجميع${\displaystyle k\geq 0.}$

مرة أخرى، في علم التماثل المفرد، الخرائط${\displaystyle \sigma$ قد تظهر المجموعة Δ → X بحيث لا تكون صورتها جزءًا من المجموعات الجزئية المذكورة في النظرية. وبالمثل، يمكن فهمها على أنها مجموع صور لمجسمات أبسط تم الحصول عليها عن طريق التقسيم المركزي. ^{[ 11 ]}