كائن المجموعة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يعتبر كائن الزمرة تعميمًا للزمرة المبنية على هياكل أغنى من المجموعات، وتعميمًا لكائنات المجموعة عندما يكون الضرب محددًا جزئيًا فقط .

تعريف

يتكون الكائن الزمردي في الفئة C الذي يقبل منتجات الألياف المحدودة من زوج من الكائناتR،يو{\displaystyle R,U}بالإضافة إلى خمسة أشكال مورفولوجية

s،ت:R→يو، هـ:يو→R، م:R×يو،ت،sR→R، أنا:R→R{\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}

تحقيق بديهيات الزمرة التالية

  1. s∘هـ=ت∘هـ=1يو،s∘م=s∘ص1،ت∘م=ت∘ص2{\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}حيثصأنا:R×يو،ت،sR→R{\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}هما الإسقاطان،
  2. (الترابطية)م∘(1R×م)=م∘(م×1R)،{\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}
  3. (وحدة)م∘(هـ∘s،1R)=م∘(1R،هـ∘ت)=1R،{\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}
  4. (معكوس)أنا∘أنا=1R{\displaystyle i\circ i=1_{R}}،s∘أنا=ت،ت∘أنا=s{\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}،م∘(1R،أنا)=هـ∘s،م∘(أنا،1R)=هـ∘ت{\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}[ 1 ]​

أمثلة

كائنات المجموعة

الكائن الجماعي هو حالة خاصة من الكائن شبه الجماعي، حيثR=يو{\displaystyle R=U}وs=ت{\displaystyle s=t}وبالتالي، يمكن استعادة المجموعات الطوبولوجية عن طريق أخذ فئة الفضاءات الطوبولوجية ، أو مجموعات لي عن طريق أخذ فئة المتشعبات ، وما إلى ذلك .

مجموعة من

إنّ الكائن شبه الزمرّي في فئة المجموعات هو تحديدًا شبه زمرّي بالمعنى المعتاد: فئة يكون فيها كل تشاكل تماثلًا . في الواقع، إذا كانت لدينا فئة C ، ولتكن U مجموعة جميع الكائنات في C ، وR مجموعة جميع التشاكلات في C ، والتشاكلات الخمسة المعطاة بـs(x→y)=x،ت(x→y)=y{\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}،م(و،ز)=ز∘و{\displaystyle m(f,g)=g\circ f}،هـ(x)=1x{\displaystyle e(x)=1_{x}}وأنا(و)=و-1{\displaystyle i(f)=f^{-1}}عندما يشير مصطلح "المجموعة الجزئية" بشكل طبيعي إلى كائن المجموعة الجزئية في فئة معينة في الاعتبار، يتم استخدام مصطلح مجموعة جزئية للإشارة إلى كائن المجموعة الجزئية في فئة المجموعات.

ومع ذلك، على عكس المثال السابق مع مجموعات لي، فإن كائن المجموعة الجزئية في فئة المتشعبات ليس بالضرورة مجموعة جزئية من لي ، لأن التطبيقات s و t تفشل في تلبية متطلبات أخرى (فهي ليست بالضرورة عمليات غمر ).

مخططات المجموعة

المخطط الزمردي S هو كائن زمردي في فئة المخططات على مخطط أساسي ثابت S.يو=S{\displaystyle U=S}ثم مخطط زمرة جزئية (حيثs=ت{\displaystyle s=t}(هي بالضرورة خريطة البنية) هي نفسها مخطط المجموعة . يُطلق على مخطط الزمرة الجزئية أيضًا اسم الزمرة الجزئية الجبرية ، [ 2 ] للتعبير عن فكرة أنها تعميم للمجموعات الجبرية وتأثيراتها.

على سبيل المثال، لنفترض أن مجموعة جبرية G تؤثر من اليمين على مخطط U. ثم خذR=يو×جي{\displaystyle R=U\times G}، s الإسقاط، t الفعل المعطى. هذا يحدد مخطط الزمرة.

الإنشاءات

بالنظر إلى كائن زمرة ( R ، U )، فإن مُعادلR⇉تsيو{\displaystyle R\,{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}\,U}إن وُجد، فهو كائن جماعي يُسمى مجموعة القصور الذاتي للمجموعة الجزئية. أما المُعادل المُشترك لنفس الرسم التخطيطي، إن وُجد، فهو خارج قسمة المجموعة الجزئية.

يمكن اعتبار كل عنصر من عناصر المجموعة الجزئية في الفئة C (إن وُجد) بمثابة دالة تباين عكسي من C إلى فئة المجموعات الجزئية. وبهذه الطريقة، يُحدد كل عنصر من عناصر المجموعة الجزئية مكدسًا أوليًا في المجموعات الجزئية. هذا المكدس الأولي ليس مكدسًا ، ولكنه يُمكن تكديسه لإنتاج مكدس.

يتمثل الاستخدام الرئيسي لهذا المفهوم في أنه يوفر أطلسًا للمكدس. وبشكل أكثر تحديدًا، لنفترض[R⇉يو]{\displaystyle [R\rightrightarrows U]}كن فئة(R⇉يو){\displaystyle (R\rightrightarrows U)}-torsors . إذن، هي فئة مُليفة في مجموعات جزئية ؛ في الواقع (في حالة جيدة)، هي حزمة ديلين-مامفورد . على العكس من ذلك، فإن أي حزمة DM تكون من هذا الشكل.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع