مخطط رسمي

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة الجبرية ، يُعدّ المخطط الصوري نوعًا من الفضاء يتضمن بيانات حول محيطه. وعلى عكس المخطط العادي ، يتضمن المخطط الصوري بيانات متناهية الصغر تُشير، في الواقع، إلى اتجاه خارج المخطط. لهذا السبب، تظهر المخططات الصورية بكثرة في مواضيع مثل نظرية التشوه . ولكن يُستخدم هذا المفهوم أيضًا لإثبات نظرية مثل نظرية الدوال الصورية ، والتي تُستخدم بدورها لاستنتاج نظريات ذات أهمية للمخططات العادية.

المخطط النويثري المحلي هو مخطط شكلي نويثري محلي بالمعنى المتعارف عليه: أي الإكمال الشكلي على نفسه. بعبارة أخرى، تشمل فئة المخططات الشكلية النويثرية المحلية جميع المخططات النويثرية المحلية.

استُلهمت المخططات الرسمية من نظرية زاريسكي للدوال الهولومورفية الرسمية ، وهي تعممها .

يُطلق على الهندسة الجبرية القائمة على المخططات الرسمية اسم الهندسة الجبرية الرسمية .

تعريف

تُعرَّف المخططات الرسمية عادةً في الحالة النويثرية فقط . ورغم وجود عدة تعريفات للمخططات الرسمية غير النويثرية، إلا أنها تواجه مشكلات تقنية. لذا، سنقتصر على تعريف المخططات الرسمية النويثرية المحلية.

سنفترض أن جميع الحلقات تبديلية ولها عنصر محايد . ليكن A حلقة طوبولوجية (نوثرية) ، أي حلقة A التي تمثل فضاءً طوبولوجيًا بحيث تكون عمليتا الجمع والضرب متصلتين. يُقال إن A طوبولوجية خطيًا إذا كان الصفر له قاعدة تتكون من مثاليات . المثالي هو تعريف ${\mathcal {J}}$ بالنسبة لحلقة ذات طوبولوجيا خطية، يوجد مثالي مفتوح بحيث أنه لكل جوار مفتوح V للحلقة 0، يوجد عدد صحيح موجب n بحيث ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ تكون الحلقة ذات الطوبولوجيا الخطية مقبولة مسبقًا إذا كانت تقبل مثاليًا للتعريف، وتكون مقبولة إذا كانت كاملة أيضًا . (في مصطلحات بورباكي ، هذا يعني "كاملة ومنفصلة").

لنفترض أن A مقبولة، ولنفرض ${\mathcal {J}}$ ليكن مثالاً للتعريف. يكون المثال الأولي مفتوحاً إذا وفقط إذا احتوى على ${\mathcal {J}}$ مجموعة المُثُل الأولية المفتوحة لـ A ، أو بصورة مكافئة، مجموعة المُثُل الأولية لـ $A/{\mathcal {J}}$ ، هي الفضاء الطوبولوجي الأساسي للطيف الرسمي لـ A ، ويُرمز لها بـ Spf A. تمتلك Spf A حزمة هيكلية تُعرَّف باستخدام حزمة هيكلية لطيف حلقة . ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ ليكن أساسًا مجاورًا للصفر يتكون من مُثُل التعريف. جميع أطياف $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ لها نفس الفضاء الطوبولوجي الأساسي ولكن حزمة بنية مختلفة. حزمة بنية Spf A هي الحد الإسقاطي $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_ {{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ .

يمكن إثبات أنه إذا كان f ∈ A و D _f هي مجموعة جميع المثاليّات الأولية المفتوحة في A التي لا تحتوي على f ، فإن ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$ ، أين ${\widehat {A_{f}}}$ هو اكتمال عملية تحديد الموقع A _f .

وأخيرًا، فإن المخطط الرسمي النويثري المحلي هو فضاء حلقي طوبولوجيًا $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (أي فضاء حلقي تكون حزمة حلقاته عبارة عن حزمة من الحلقات الطوبولوجية) بحيث تكون كل نقطة من ${\mathfrak {X}}$ يقبل جوارًا مفتوحًا متماثلًا (كفضاءات ذات حلقات طوبولوجية) مع الطيف الرسمي لحلقة نوثرية.

التشكلات بين المخططات الرسمية

التشكل $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ إن المخططات الشكلية النويثرية المحلية هي تشاكل لها كفضاءات حلقية محلية بحيث تكون الخريطة المستحثة $f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ هو تماثل مستمر للحلقات الطوبولوجية لأي مجموعة فرعية مفتوحة أفينية U.

يُقال أن f هو adic أو ${\mathfrak {X}}$ هو ${\mathfrak {Y}}$ مخطط رسمي -adic إذا كان هناك مثالي تعريف ${\mathcal {I}}$ بحيث $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ يُعدّ تعريفًا مثاليًا لـ ${\mathfrak {X}}$ إذا كان f عددًا صحيحًا، فإن هذه الخاصية تنطبق على أي مثالي تعريفي.

أمثلة

لأي مثالي $I$ وخاتم $A$ يمكننا تعريف $I$ الطوبولوجيا -adic على $A$ ، مُعرَّفة من خلال أساسها الذي يتكون من مجموعات من الشكل $a+I^{n}$ هذا مقبول مسبقًا، ومقبول إذا $A$ يكون $I$ -مكتمل جذريًا. في هذه الحالة $\operatorname {Spf} A$ الفضاء الطوبولوجي $\operatorname {Spec} A/I$ مع حزمة من الحلقات $\lim _{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ بدلاً من ${\widetilde {A/I}}$ .

$A=k[\![t]\!]$ و $I=(t)$ . ثم $A/I=k$ لذا المساحة $\operatorname {Spf} A$ نقطة واحدة $(t)$ والتي على أساسها تأخذ حزمة بنيتها قيمتها $k[\![t]\!]$ قارن هذا بـ $\operatorname {Spec} A/I$ ، الذي تأخذ حزمة بنيته قيمة $k$ في هذه المرحلة: هذا مثال على فكرة أن $\operatorname {Spf} A$ هو "تكثيف رسمي" لـ $A$ عن $I$ .
الإتمام الرسمي لمخطط فرعي مغلق. لنفترض المخطط الفرعي المغلق. $X$ من المستوى الأفيني فوق $k$ ، كما هو محدد بالمثالية $I=(y^{2}-x^{3})$ . لاحظ أن $A_{0}=k[x,y]$ ليس $I$ -أكمل بشكل جذري؛ اكتب $A$ لـ $I$ الإكمال -adic. في هذه الحالة، $\operatorname {Spf} A=X$ باعتبارها مساحات وهيكلها حزمة $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ أقسامها العالمية هي $A$ ، على عكس $X$ أقسامها العالمية هي $A/I$ .