طيف حلقي عالي التنظيم

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، طيف حلقي ذو بنية عالية أو أ∞{\displaystyle A_{\infty }}الحلقة- هي كائن في نظرية التماثل، تُشفّر تحسينًا لبنية ضربية في نظرية التماثل المشترك . وهي نسخة تبادلية منأ∞{\displaystyle A_{\infty }}يُطلق على الحلقة اسم حلقةهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}الحلقة -. على الرغم من أنها كانت مدفوعة في الأصل بأسئلة الطوبولوجيا الهندسية ونظرية الحزم ، إلا أنها تستخدم اليوم في أغلب الأحيان في نظرية التماثل المستقر .

خلفية

تتمتع أطياف الحلقات ذات البنية العالية بخصائص شكلية أفضل من نظريات التماثل الضربي - وهي نقطة استُخدمت، على سبيل المثال، في بناء الأشكال النمطية الطوبولوجية ، والتي سمحت أيضًا بإنشاءات جديدة لأشياء أكثر كلاسيكية مثل نظرية مورافا K. إلى جانب خصائصها الشكلية،هـ∞{\displaystyle E_{\infty }}تُعدّ البنى ذات أهمية بالغة في الحسابات، إذ تسمح بإجراء عمليات في نظرية التماثل الأساسية، على غرار (وتعميم) عمليات ستينرود المعروفة في التماثل العادي. ولأن ليس كل نظرية تماثل تسمح بمثل هذه العمليات، فليس من الممكن تحسين كل بنية ضربية إلىهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}-البنية وحتى في الحالات التي يكون فيها ذلك ممكناً، قد يكون إثبات ذلك مهمة شاقة.

تتلخص الفكرة العامة لأطياف الحلقات عالية التنظيم فيما يلي: إذا كان الضرب في نظرية التماثل (المماثل للضرب في التماثل المفرد، والذي يُنتج ضرب الكأس ) يحقق خاصية التجميع (والتبادلية) حتى التماثل فقط، فإن هذا يُعدّ متساهلاً للغاية بالنسبة للعديد من البنى (مثل النهايات والنهايات المشتركة في نظرية الفئات). من ناحية أخرى، فإن اشتراط التجميع (أو التبادلية) الصارم بطريقة ساذجة يُعدّ تقييدًا مفرطًا للعديد من الأمثلة المطلوبة. تتمثل الفكرة الأساسية في أن العلاقات يجب أن تتحقق فقط حتى التماثل، ولكن يجب أن تحقق هذه التماثلات بدورها بعض علاقات التماثل، والتي بدورها تحقق تماثلاتها شروط تماثل إضافية؛ وهكذا. يُنظم النهج الكلاسيكي هذه البنية عبر المؤثرات ، بينما يتعامل معها نهج جاكوب لوري الحديث باستخدام∞{\displaystyle \infty }-العمليات في∞{\displaystyle \infty }-الفئات. تستخدم أكثر المناهج استخداماً اليوم لغة فئات النموذج .

تعتمد كل هذه الأساليب على بناء فئة أساسية من الأطياف بعناية .

مناهج التعريف

العمليات

تستند نظرية المؤثرات إلى دراسة فضاءات الحلقات . فضاء الحلقة ΩX له عملية ضرب

ΩX×ΩX→ΩX{\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}

عن طريق تركيب الحلقات. هنا، يتم تسريع الحلقتين بمعامل 2، وتأخذ الأولى الفترة [0, 1/2] والثانية الفترة [1/2, 1]. هذا الناتج ليس تجميعيًا لأن المقاييس غير متوافقة، ولكنه تجميعي حتى التماثل، وتكون التماثلات متسقة حتى التماثلات الأعلى وهكذا. يمكن توضيح هذه الحالة بدقة بالقول إن ΩX هو جبر على مؤثر الفترة الصغيرة . هذا مثال علىأ∞{\displaystyle A_{\infty }}-operad، أي أوبيراد الفضاءات الطوبولوجية المكافئة تماثليًا للأوبيراد الترابطي ، ولكنها تتمتع بـ "حرية" مناسبة تسمح للأشياء بأن تصمد فقط أمام التماثل (باختصار: أي استبدال متوافق للأوبيراد الترابطي).أ∞{\displaystyle A_{\infty }}يمكن الآن تصور طيف الحلقة على أنه جبر علىأ∞{\displaystyle A_{\infty }}- تم تشغيلها في فئة مناسبة من الأطياف وظروف التوافق المناسبة (انظر مايو، 1977).

لتعريفهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}تعتمد أطياف الحلقة - بشكل أساسي على نفس النهج، حيث يتم استبدالأ∞{\displaystyle A_{\infty }}-تديرها شركةهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}-أوبيراد، أي أوبيراد فضاءات طوبولوجية قابلة للانكماش ذات شروط "حرية" مماثلة. يمكن استلهام مثال على هذا الأوبيراد من دراسة فضاءات الحلقات. ناتج فضاء الحلقة المزدوجةΩ2X{\displaystyle \Omega ^{2}X}الفضاء تبادلي بالفعل حتى التماثل، لكن هذا التماثل لا يحقق أي شروط أعلى. وللحصول على تماسك كامل للتماثلات الأعلى، يجب افتراض أن الفضاء (مكافئ لـ) فضاء حلقات من الرتبة n لجميع قيم n . وهذا يؤدي إلى... ∞{\displaystyle \infty }-مؤثر مكعب لمكعبات لا نهائية الأبعاد في فضاء لا نهائي الأبعاد، وهو مثال علىهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}-عملية جراحية.

كان ج. بيتر ماي رائدًا في هذا النهج . وقد طوّر، بالتعاون مع إلمندورف وكريز ومانديل، في التسعينيات صيغةً معدّلة من تعريفه القديم للأطياف، تُعرف باسم وحدات S (انظر إلمندورف وآخرون، 2007). تمتلك وحدات S بنية نموذجية ، وفئة التماثل الخاصة بها هي فئة التماثل المستقر . في وحدات S، تكون فئة الوحدات علىأ∞{\displaystyle A_{\infty }}-operad وفئة المونويدات متكافئتان وفقًا لـ Quillen ، وكذلك فئة الوحدات النمطية علىهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}-operad وفئة المونيدات التبادلية. لذلك، هل من الممكن تعريفأ∞{\displaystyle A_{\infty }}أطياف الحلقة وهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}تُعرَّف أطياف الحلقة S على أنها أحاديات (تبادلية) في فئة وحدات S، وتُسمى جبر S (التبادلي) . ولأن التعامل مع الأحاديات (التبادلية) أسهل من التعامل مع الجبر على المؤثرات المعقدة، فإن هذا النهج الجديد يُعدّ أكثر ملاءمةً لأغراضٍ عديدة. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن البناء الفعلي لفئة وحدات S معقدٌ تقنيًا.

مخطط الأطياف

ثمة مقاربة أخرى لتحقيق هدف رؤية أطياف الحلقات ذات البنية المعقدة كأحاديات ضمن فئة مناسبة من الأطياف، وهي فئات أطياف المخططات. ولعل أشهرها فئة الأطياف المتناظرة، التي وضعها جيف سميث. وتتلخص فكرتها الأساسية فيما يلي:

بأبسط معانيها، الطيف عبارة عن سلسلة من المساحات (المُشار إليها)(X0،X1،...){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}بالإضافة إلى الخرائطΣXأنا→Xأنا+1{\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}حيث يرمز ΣX إلى التعليق . وهناك منظور آخر يتمثل في النظر إلى فئة متتاليات الفضاءات مع البنية المونيدية المعطاة بواسطة حاصل الضرب التصادمي . عندئذٍ، تكون متتالية الكرة(S0،S1،...){\displaystyle (S^{0},S^{1},\dots )}يمتلك بنية أحادية، والأطياف هي مجرد وحدات فوق هذه الأحادية. لو كانت هذه الأحادية تبديلية، لظهرت بنية أحادية على فئة الوحدات فوقها (كما هو الحال في الجبر، حيث تمتلك الوحدات فوق حلقة تبديلية جداءً موترًا). لكن بنية الأحادية لمتتالية الكرة ليست تبديلية بسبب اختلاف ترتيب الإحداثيات.

الفكرة الآن هي أنه يمكن دمج تغييرات الإحداثيات في تعريف المتتالية: المتتالية المتناظرة هي متتالية من الفضاءات(X0،X1،...){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}بالإضافة إلى تأثير المجموعة المتناظرة من الرتبة n علىXن{\displaystyle X_{n}}إذا زودنا هذا بضرب أحادي مناسب، نحصل على أن متتالية الكرات هي أحادي تبديلي . الآن ، الأطياف المتناظرة هي وحدات نمطية على متتالية الكرات، أي متتالية من الفضاءات (X0،X1،...){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}بالإضافة إلى تأثير المجموعة المتناظرة من الرتبة n علىXن{\displaystyle X_{n}}والخرائطΣXأنا→Xأنا+1{\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}مع استيفاء شروط التباين المناسبة. فئة الأطياف المتناظرة لها ناتج أحادي يُرمز له بـ∧{\displaystyle \wedge }يُعرَّف طيف الحلقة عالي البنية (التبديلي) الآن بأنه أحادي (تبديلي) في الأطياف المتناظرة، ويُسمى طيف الحلقة المتناظر (التبديلي) . ويتلخص هذا في إعطاء خرائط

Xن∧Xم→Xن+م،{\displaystyle X_{n}\wedge X_{m}\to X_{n+m},}

والتي تفي بشروط التباين والوحدوية والترابط (والتبادلية) المناسبة (انظر Schwede 2007).

توجد العديد من البنى النموذجية على الأطياف المتناظرة، والتي يكون لها فئة التماثل المستقر. وينطبق هنا أيضًا أن فئة الوحدات النمطية علىأ∞{\displaystyle A_{\infty }}-operad وفئة المونويدات متكافئتان وفقًا لـ Quillen ، وكذلك فئة الوحدات النمطية علىهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}-operad وفئة المونيدات التبادلية.

يُعدّ الطيف المتعامد أحد أنواع الأطياف المتناظرة ، حيث يُستبدل فيه الزمرة المتناظرة بالزمرة المتعامدة (انظر ماندل وآخرون، 2001). يتميز الطيف المتعامد بأن زمر التماثل المُعرّفة ببساطة تتطابق مع تلك الموجودة في فئة التماثل المستقر، وهو ما لا ينطبق على الأطياف المتناظرة. (أي أن طيف الكرة يصبح الآن متماسكًا). من ناحية أخرى، يتميز الطيف المتناظر بإمكانية تعريفه أيضًا للمجموعات التبسيطية . ويمكن القول إن الأطياف المتناظرة والمتعامدة هي أبسط الطرق لبناء فئة أحادية متناظرة منطقية للأطياف.

فئات لا نهائية

تُعدّ فئات اللانهاية نوعًا من الفئات الكلاسيكية حيث لا يكون تركيب التشكلات مُحددًا بشكلٍ فريد، بل يقتصر على الاختيار القابل للانكماش. عمومًا، لا يُعقل القول بأن مخططًا ما يتبادل بشكلٍ صارم في فئة اللانهاية، بل يُقال فقط إنه يتبادل حتى التماثل المتماسك. يُمكن تعريف فئة لانهاية للأطياف (كما فعل لوري ). كما يُمكن تعريف نسخ لانهاية من أحاديات (تبديلية) ثم تعريفأ∞{\displaystyle A_{\infty }}أطياف الحلقة كأحاديات في الأطياف وهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}أطياف الحلقة كأحاديات تبديلية في الأطياف. وقد تم شرح ذلك بالتفصيل في كتاب لوري " الجبر العالي" .

مقارنة

تُتيح فئات وحدات S، والأطياف المتناظرة والمتعامدة، وفئاتها من أحاديات (تبادلية)، إمكانية المقارنة عبر مكافئات كويلين، وذلك بفضل أعمال العديد من علماء الرياضيات (بمن فيهم شويدي). مع ذلك، فإن فئة نموذج وحدات S وفئة نموذج الأطياف المتناظرة تُظهران سلوكًا مختلفًا تمامًا: ففي وحدات S، يكون كل عنصر ليفيًا (وهذا غير صحيح في الأطياف المتناظرة)، بينما في الأطياف المتناظرة، يكون طيف الكرة ليفيًا مشتركًا (وهذا غير صحيح في وحدات S). وبحسب نظرية لويس، لا يُمكن بناء فئة واحدة من الأطياف تمتلك جميع الخصائص المطلوبة. يُمكن الاطلاع على مقارنة بين منهج فئة اللانهاية للأطياف ومنهج فئة النموذج الأكثر كلاسيكية للأطياف المتناظرة في كتاب لوري للجبر العالي 4.4.4.9.

أمثلة

من الأسهل كتابة أمثلة ملموسة لـهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}أطياف الحلقة في الأطياف المتناظرة/المتعامدة. المثال الأساسي هو طيف الكرة مع خريطة الضرب (الأساسية).Sن∧Sم→Sن+م{\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}}ليس من الصعب أيضاً كتابة خرائط الضرب لأطياف إيلنبرغ-ماكلين (التي تمثل علم التماثل العادي ) وبعض أطياف ثوم (التي تمثل نظريات الحدود ). تُعد نظرية K الطوبولوجية (الحقيقية أو المركبة) مثالاً آخر، ولكن الحصول عليها أصعب: في الأطياف المتناظرة، يُستخدم تفسير جبر C* لنظرية K، وفي منهج الأوبيراد، تُستخدم آلة نظرية فضاء الحلقة اللانهائية الضربية .

نهج أحدث لإيجادهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}تُعد نظرية غورس-هوبكنز للعوائق أحد التحسينات التي أُدخلت على نظريات التماثل الضربي . وقد نجحت في إيجادهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}تُظهر هياكل الحلقة على أطياف لوبين-تيت وعلى الأطياف الإهليلجية . وبطريقة مماثلة (لكنها أقدم)، أمكن أيضًا إثبات أن نظرية مورافا K، بالإضافة إلى متغيرات أخرى من علم التماثل براون-بيترسون، تمتلكأ∞{\displaystyle A_{\infty }}بنية الحلقة (انظر على سبيل المثال Baker و Jeanneret، 2002). وقد أظهر Basterra و Mandell أن علم التماثل Brown-Peterson له حتىهـ4{\displaystyle E_{4}}بنية الحلقة، حيثهـ4{\displaystyle E_{4}}يتم تعريف البنية عن طريق استبدال مجموعة المكعبات اللانهائية الأبعاد في الفضاء اللانهائي الأبعاد بمكعبات رباعية الأبعاد في الفضاء رباعي الأبعاد في تعريفهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}أطياف الحلقة. من ناحية أخرى، أظهر تايلر لوسون أن علم التماثل براون-بيترسون لا يمتلكهـ∞{\displaystyle E_{\infty }}بناء.

الإنشاءات

تتيح أطياف الحلقات ذات البنية العالية العديد من التركيبات.

  • إنها تشكل فئة نموذجية، وبالتالي توجد حدود (التماثل) وحدود مشتركة.
  • تشكل الوحدات النمطية على طيف حلقي عالي التنظيم فئة نموذجية مستقرة . وعلى وجه الخصوص، تكون فئة التماثل الخاصة بها مثلثية . إذا كان الطيف الحلقي يحتوي علىهـ2{\displaystyle E_{2}}-البنية، فئة الوحدات لها ناتج ضرب أحادي ؛ إذا كان على الأقلهـ4{\displaystyle E_{4}}، ثم يكون له ناتج أحادي متناظر (ضربة ساحقة).
  • يمكن للمرء تكوين أطياف حلقات المجموعة .
  • يمكن للمرء أن يحدد نظرية K الجبرية ، وتماثل هوتشيلد الطوبولوجي ، وما إلى ذلك، لطيف الحلقة عالي التنظيم.
  • يمكن للمرء أن يحدد فضاء الوحدات، وهو أمر بالغ الأهمية لبعض مسائل توجيه الحزم.

انظر أيضاً

مراجع

مراجع حول أطياف الحلقة E ∞

مراجع حول بنية أطياف الحلقة E ∞

مراجع حول أمثلة محددة