تصنيف لانغلاندز

في الرياضيات ، يُعدّ تصنيف لانجلاندز وصفًا للتمثيلات غير القابلة للاختزال لزمرة لي اختزالية G ، وقد اقترحه روبرت لانجلاندز (1973). يوجد إصداران مختلفان قليلاً من تصنيف لانجلاندز. يصف أحدهما الوحدات النمطية غير القابلة للاختزال والمقبولة ( g , K ) ، حيث g جبر لي لزمرة لي اختزالية G ، مع زمرة جزئية مضغوطة قصوى K ، وذلك بدلالة التمثيلات المعتدلة لزمر أصغر. وقد صُنّفت التمثيلات المعتدلة بدورها بواسطة أنتوني كناب وجريج زوكرمان . أما الإصدار الآخر من تصنيف لانجلاندز فيقسم التمثيلات غير القابلة للاختزال إلى حزم L ، ويصنف حزم L بدلالة تشاكلات معينة لزمرة ويل في R أو C إلى زمرة لانجلاندز الثنائية .

• g هي جبر لي لمجموعة لي اختزالية حقيقية G في فئة هاريش-تشاندرا .
• K هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من G ، مع جبر لي k .
• ω هو تحويل كارتان لـ G ، مع تثبيت K.
• p هو الفضاء الذاتي -1 لعملية كارتان للدالة g .
• a هو فضاء جزئي أبيلي أقصى من p .
• Σ هو نظام الجذر لـ a في g .
• Δ هي مجموعة من الجذور البسيطة للمعادلة Σ.

ينص تصنيف لانجلاندز على أن التمثيلات المقبولة غير القابلة للاختزال لـ ( g , K ) يتم تحديدها بواسطة ثلاثيات

( F , σ, λ)

أين

• F هي مجموعة جزئية من Δ
• Q هي المجموعة الجزئية المكافئة القياسية لـ F ، مع تحليل لانجلاندز Q = MAN
• σ هو تمثيل معتدل غير قابل للاختزال لمجموعة لي شبه البسيطة M (حتى التشاكل).
• λ هو عنصر من Hom( a _F , C ) مع α(Re(λ)) > 0 لجميع الجذور البسيطة α غير الموجودة في F.

وبشكل أدق، فإن التمثيل المقبول غير القابل للاختزال الذي تقدمه البيانات أعلاه هو خارج القسمة غير القابل للاختزال لتمثيل مستحث بشكل مكافئ.

للحصول على مثال لتصنيف لانجلاندز، انظر نظرية التمثيل لـ SL2(R) .

توجد عدة اختلافات طفيفة في تصنيف لانجلاندز. على سبيل المثال:

• بدلاً من أخذ خارج قسمة غير قابل للاختزال، يمكن للمرء أن يأخذ وحدة فرعية غير قابلة للاختزال.
• بما أن التمثيلات المعتدلة تُعطى بدورها كتمثيلات معينة مُستنتجة من تمثيلات المتسلسلات المنفصلة أو نهايات المتسلسلات المنفصلة، ​​فإنه يُمكن إجراء كلا الاستقراءين معًا والحصول على تصنيف لانجلاندز مُعاملًا بتمثيلات المتسلسلات المنفصلة أو نهايات المتسلسلات المنفصلة بدلًا من التمثيلات المعتدلة. تكمن المشكلة في صعوبة تحديد متى يكون تمثيلان غير قابلين للاختزال متطابقين.

• آدامز، جيفري؛ بارباش، دان؛ فوغان، ديفيد أ. (1992)، تصنيف لانجلاندز والخصائص غير القابلة للاختزال للمجموعات الاختزالية الحقيقية ، التقدم في الرياضيات، المجلد  104، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، ISBN 978-0-8176-3634-0MR 1162533​ 
• إي بي فان دن بان، التمثيلات المستحثة وتصنيف لانجلاندز، في ISBN 0-8218-0609-2(تحرير تي. بيلي وإيه دبليو كناب).
• بوريل، أ. ووالاش ، ن. علم التماثل المستمر، والمجموعات الفرعية المنفصلة، ​​وتمثيلات المجموعات المختزلة . الطبعة الثانية. سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، 67. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2000. 18 + 260 صفحة. ISBN 0-8218-0851-6
• لانغلاندز، روبرت ب. (1989) [1973]، "حول تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات الجبرية الحقيقية" ، في سالي، بول ج.؛ فوغان، ديفيد أ. (محرران)، نظرية التمثيل والتحليل التوافقي على مجموعات لي شبه البسيطة ، سلسلة دراسات الرياضيات، المجلد  31، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 101-170 ، ISBN  978-0-8218-1526-7، MR 1011897 
• فوغان، ديفيد أ. (2000)، "تصنيف لانجلاندز للتمثيلات الوحدوية" (ملف PDF) ، في كوباياشي، توشيوكي؛ كاشيوارا، ماساكي ؛ ماتسوكي، توشيهيكو؛ نيشياما، كيو؛ أوشيما، توشيو (محررون)، التحليل على الفضاءات المتجانسة ونظرية تمثيل زمر لي، أوكاياما - كيوتو (1997) ، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة، المجلد  26، طوكيو: الجمعية الرياضية اليابانية، الصفحات 299-324 ، ISBN  978-4-314-10138-7MR 1770725​ 
• دي. فوغان، تمثيلات زمر لي الاختزالية الحقيقية ، ISBN 3-7643-3037-6